Blatt 9 - TU Dortmund

SS 16
TU Dortmund
Prof. Dr. Matthias Röger
Dipl.-Math. Carsten Zwilling
Analysis II
Blatt 9
Abgabe: 20.06.2016
Aufgabe 1 (4 Punkte).
i) Sei A ⊂ Rn nichtleer und sei f : Rn → R definiert durch
f (x) := dist(x, A) := inf{|x − y| : y ∈ A}.
Zeigen Sie, dass f stetig ist.
ii) Seien U ⊂ Rn offen und c : [0, 1] → U eine stetige Kurve. Zeigen Sie: Es existiert r > 0
mit
|x − c(t)| ≥ r
für alle x ∈ Rn \ U, t ∈ [0, 1].
Tipp: Benutzen Sie die Ergebnisse von Aufgabenteil (i) und von Blatt 5, Aufgabe 3.
2
Aufgabe 2 (4 Punkte). Sei f : − 21 , 21 → R gegeben durch
x
1 1 2
:=
f (x, y)
, (x, y) ∈ − ,
.
1+y
2 2
Berechnen Sie das zweite Taylorpolynom von f zum Entwicklungspunkt (0, 0). Bestimmen Sie
damit näherungsweise den Wert von f (0.2, 0.1).
Aufgabe 3 (4 Punkte).
i) Geben Sie alle Polynome P : R3 → R höchstens dritten Grades an, für die gilt:
∂ α P (x) = 0
für alle x ∈ R3 und α ∈ {(0, 0, 2), (1, 1, 0), (3, 0, 0)}.
ii) Sei x ∈ R und sei q : R → R Polynom vom Grad höchstens k mit
q(x + t)
= 0.
tk
Zeigen Sie, dass q die Nullfunktion ist.
lim
t→0
1

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