a ，¡! (1) - SUUGAKU.JP

1
C1 を半径 1 の円とし，C2 を C1 に外接している半径 2 の円とする．C を円 C1 と円 C2 の両方に外接してい
る半径 r の円とする．円 C の中心を A，円 C1 の中心を B，C1 と C2 の接点を O とし，ÎAOB を µ とする．
(1) r = 3 のとき cos µ の値を求めよ．
(2) 線分 AO の長さを r を用いて表せ．
（千葉大学 2007 ）
2
¡! ¡
! ¡! ¡
!
1 辺の長さが 1 である正五角形 ABCDE において，AB = a ，AE = b とし，線分 AC の長さを k とする．
¡! ¡
! ¡
!
(1) AC を a ; b ; k を用いて表せ．ただし，線分 AB と線分 EC が平行であることを用いてよい．
¡
! ¡
!
(2) 内積 a ¢ b を k を用いて表せ．
(3) k の値を求めよ．
(4) cos ÎBAE の値を求めよ．
（東京海洋大学 2014 ）
3
関数 f(x) =
e2x ¡ e¡2x
に対して，曲線 y = f(x) を C とする．このとき，次の問いに答えよ．
e2x + e¡2x
(1) 極限値 lim f(x) と lim f(x)，および，f00 (x) = 0 を満たす x の値を求めよ．
x!1
x!¡1
(2) 曲線 C の概形をかけ．
(3) 曲線 C について，傾きが 2 の接線 ` の方程式を求めよ．
p
(4) 曲線 C，(3) で求めた接線 `，直線 x = log 2 によって囲まれた図形 D の面積を求めよ．
(5) (4) の図形 D を x 軸のまわりに 1 回転してできる回転体の体積を求めよ．
（静岡大学 2013 ）
4
xy 平面で，x 座標，y 座標がともに整数である点を格子点とよぶ．x = 0; y = 0 の範囲にあるすべての格
子点 (m; n) に，下図のような規則で番号をふる．ただし，下図において，° の中の数字がその格子点の
番号である．このとき，次の問いに答えよ．
(1) 格子点 (0; n) の番号を n を用いて表せ．
(2) 格子点 (2; 25) の番号を求めよ．
(3) 格子点 (m; n) の番号を m; n を用いて表せ．
（高知大学 2007 ）
5
不等式
log2 (2y ¡ 1) ¡ 1 = log2 (1 ¡ x) = log2 y ¡ log2 x ¡ 2
の表す xy 平面上の領域を D とする．
(1) D を図示せよ．
(2) D の面積を求めよ．
(3) 点 (x; y) が D を動くとき，z = xy の最大値を求めよ．
（県立広島大学 2011 ）
6
0 < a < 2 に対して，三角形 ABC は 3 辺が AB = AC = 2，BC = 2a を満たすとする．三角形 ABC の 3
辺に接する円 C1 の半径を R1 とするとき，以下の問いに答えなさい．
(1) R1 を a についての式で表しなさい．
(2) 三角形 ABC 内にある円 C2 は，円 C1 に外接し，2 辺 AB，BC に接するとする．円 C2 の半径を R2 とす
R2
るとき，
を a についての式で表しなさい．
R1
（首都大学東京 2009 ）
7
楕円 C : x2 + 4y2 = 5 について，次の問いに答えよ．
(1) 楕円 C 上の点 P(a; b) における接線の方程式は ax + 4by = 5 で表されることを示せ．
3
; から楕円 C に 2 本の接線をひき，その接点を T1 ，T2 とする．このとき，2 点 T1 ，T2 を通
(2) 点 A #1;
2
る直線の方程式を求めよ．
（福岡教育大学 2008 ）
8
数列 fan g，fbn g が，a1 = 5，b1 = 1，
V
an+1 = 5an + bn
bn+1 = an + 5bn
(n = 1; 2; 3; Ý)
を満たすとき，一般項 an ; bn を求めよ．
（倉敷芸術科学大学 2013 ）
9
n を 2 以上の自然数とし，整式 xn を x2 ¡ 6x ¡ 12 で割った余りを an x + bn とする．
(1) a2 ; b2 を求めよ．
(2) an+1 ; bn+1 を an と bn を用いて表せ．
(3) 各 n に対して，an と bn の公約数で素数となるものをすべて求めよ．
（東北大学 2007 ）
10 a; b は定数とする．関数 f(x) = e¡x sin x，g(x) = e¡x (a cos x + b sin x) について，次の問いに答
えよ．
d
g(x) = f(x) となるように a; b の値を定めよ．
dx
(2) (2k ¡ 1)¼ 5 x 5 2k¼ (k = 1; 2; 3; Ý) の範囲で，曲線 y = f(x) と x 軸で囲まれた図形の面積 Sk
(1) すべての x に対して
を k の式で表せ．
n
P
(3) 極限 lim
Sk を求めよ．
n!1 k=1
（富山県立大学 2014 ）
11 tan ® = 2，tan ¯ = 5，tan ° = 8，0 < ®; ¯; ° <
¼
とする．
2
(1) sin ® を求めよ．
(2) tan(® + ¯ + °)，® + ¯ + ° を求めよ．
(3) ¯ ¡ ® > ° ¡ ¯ となることを示せ．
5¼
となることを示せ．
(4) ¯ >
12
（お茶の水女子大学 2013 ）
12 三角形 ABC において，辺 AB，BC，CA の中点をそれぞれ D，E，F とし，辺 CA を 2 : 1 に内分する点
を G とする．また，2 点 D，G を通る直線と 2 点 E，F を通る直線の交点を H とし，2 点 B，H を通る直
線と辺 CA の交点を I とする．このとき，次の問いに答えよ．
¡! ¡!
¡! ¡!
(1) DG，EF をそれぞれ BA，BC を用いて表せ．
¡! ¡! ¡!
(2) BH を BA，BC を用いて表せ．
¡
! ¡! ¡!
(3) BI を BA，BC を用いて表せ．
(4) 4ABI の面積を S，4BCI の面積を T とするとき，
T
の値を求めよ．
S
（宮城教育大学 2007 ）
13 次の問いに答えよ．
p
p
(1) p; q; r; s を整数とする．このとき p + q 2 = r + s 2 が成り立つならば，p = r かつ q = s となるこ
p
とを示せ．ここで 2 が無理数であることは使ってよい．
p
p
(2) 自然数 n に対し，(3 + 2 2)n = an + bn 2 を満たす整数 an ; bn が存在することを数学的帰納法により
示せ．
(3) an ; bn を (2) のものとする．このときすべての自然数 n について (x; y) = (an ; bn ) は方程式 x2 ¡2y2 = 1
の解であることを数学的帰納法により示せ．
（三重大学 2010 ）
14 直角三角形でない三角形 ABC において，頂点 A，B，C に対応する角の大きさを A，B，C で表すことに
する．このとき，次の 3 つの等式が成り立つことを証明せよ．
(1)
cos A
1
=1¡
sin B sin C
tan B tan C
(2) tan A + tan B + tan C = tan A tan B tan C
(3)
cos A
cos B
cos C
+
+
=2
sin B sin C
sin C sin A
sin A sin B
（埼玉大学 2014 ）
15 数列 fan g; fbn g は条件
a1 = 1;
1
an Ë
2
bn = 2 %
n
P
i=1
ai = ¡ n;
b2n+1 ¡ b2n + 1 = 2an+1 ;
(n = 1; 2; 3; Ý)
を満たしているとする．
(1) a2 を求めよ．
(2) bn+1 + bn = 1 であることを示せ．
(3) fan g の一般項を求めよ．
（滋賀県立大学 2009 ）

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