年番号氏名 1 x 軸上を点 A が次の規則にしたがって

年番号
1
x 軸上を点 A が次の規則にしたがって動くとする．1 回サイコロを振るご
氏名
とに，
2
² 5 以下の目が出ると，x 軸の正の方向に 1 進む．
² 6 の目が出ると，原点に移動する．ただし，原点にある場合はその位置に
とどまる．
定数 a，関数 f(x)，および数列 fxn g を次のように定める．
1 < a < 2;
x1 = a;
1
(3x2 ¡ x3 )
2
= f(xn ) (n = 1; 2; 3; Ý)
f(x) =
xn+1
(1) 関数 f(x) の増減を調べよ．
点 A は最初に原点にあるとする．
(1) 3 回サイコロを振った後の点 A が x = 2 にある確率を求めよ．
(2) n を自然数，k を 0 5 k 5 n をみたす整数とする．n 回サイコロを振った後
の点 A が x = k にある確率 pk を求めよ．
(3) n を自然数とする．n 回サイコロを振った後の点 A の x 座標の期待値 En
(2) すべての自然数 n に対して 1 < xn < 2 を示せ．
(3) すべての自然数 n に対して xn+1 > xn を示せ．
(4) 次の不等式を満たす n に無関係な定数 b (0 < b < 1) があることを示せ．
2 ¡ xn+1 5 b(2 ¡ xn ) (n = 1; 2; 3; Ý)
を求めよ．
(5) 数列 fxn g が収束することを示し，その極限値を求めよ．
(4) lim En を求めよ．
n!1
（名古屋工業大学 2007 ）
（名古屋工業大学 2010 ）
3
4
2 つの関数
f(x) =
2
;
2x + 3
g(x) =
2x + 1
¡x + 2
放物線 y = x2 上の動点 P(p; p2 )，Q(q; q2 ) が次の条件をみたしている．
0 < p < q;
ÎPOQ =
¼
4
ただし O は原点である．点 P と点 Q における接線の交点を R とする．
がある．
(1) 関数 g(x) の逆関数 g¡1 (x) を求めよ．
(1) p のとり得る値の範囲を求めよ．
(2) 合成関数 g¡1 (f(g(x))) を求めよ．
(2) q を p の式で表せ．
(3) 実数 c が無理数であるとき，f(c) は無理数であることを証明せよ．
(3) 点 R の x 座標，y 座標それぞれのとり得る値の範囲を求めよ．
(4) 次の条件によって定められる数列 fan g の一般項を求めよ．
(4) 点 R が描く曲線の方程式を求めよ．
(5) 点 R が描く曲線の漸近線を求めよ．
B
a1 = g( 2);
an+1 = f(an )
(n = 1; 2; 3; Ý)
(5) (4) で定められた数列 fan g の極限 lim an を求めよ．
n!1
（名古屋工業大学 2015 ）
（名古屋工業大学 2014 ）

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