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2015年度
高
総合学力テスト・11月
100分／ 100点満点
模擬試験の問題および解答解説は著作物です。著作権法で許容される範囲を超えて，それらの掲載内容
を無断でコピーするなどの行為は違法であり，これを固く禁じます。
受験上の注意
１．試験開始の合図があるまで，この問題冊子の中を見てはいけません。
２．解答用紙は，この冊子の間にA，Bそれぞれ１枚ずつはさんであります。
３．問題はA，Bの２コースに分かれています。いずれか１つを選んで解答してください。
A，Bの出題科目は裏表紙に記載していますので，よく読んでから選択してくださ
い。
各コースの掲載ページは，下表のとおりです。コースおよび選択問題は，学校から指
示がある場合は，それに従って解答してください。
数学A
（５題解答）
数学B
（５題解答）
ページ
必答問題
２∼５
A1 ， A2 ， A3
６∼ 10
B1 ， B2 ， B3
選択問題
A4 ・ A5 ・ A6 ・ A7
※上記のいずれか２題を選択
B4 ・ B5 ・ B6 ・ B7 ・ B8
※上記のいずれか２題を選択
４．解答用紙には，学校名・受験番号・名前・フリガナを必ず記入してください。
５．解答は，必ず解答用紙の所定の解答欄の枠内に収まるように記入してください。
６．選択問題は，選択した問題番号を解答用紙に必ず明記してください。
７．問題文に指示のない限り，解答には必ず必要な説明・計算過程を示してください。
受験番号
51120520
名前
＊この冊子は再生紙を使用しています。
数学 A 問題
【必答問題】数学 A 受験者は
A 1 次の
⑴ A =
（100 分）
A 1 ， A 2 ， A 3 を全問解答せよ。
を正しくうめよ。解答欄には答えのみを記入せよ。
2
がある。 A の分母を有理化すると， A =
3 -1
の値を計算すると，
である。また， A+
2
A
である。
⑵ x は実数である。 A = {x ;-7 E 2x-1 E 3} とする。集合 A の要素 x のうち，最大の要
である。また，a を正の定数とし， B = {x ;-a E x E a} とする。 A 1 B
素は x =
となるような a のとり得る値の範囲は
である。
⑶ 2 次関数 y = a (x-1) 2 +3 （a は定数）のグラフが点 (2, 5) を通るとき， a =
ある。このとき，グラフと y 軸との交点の座標は ` 0,
j である。
⑷ 0c E i E 180c とする。 sin i+cos i = 2 のとき， sin i cos i =
1
1
+
=
sin 2 i cos 2 i
で
，
である。
⑸ 下の図は，40 人の生徒が受験したテストの得点データの箱ひげ図である。データの範
囲が 81 点であるとき，図中 x の値は
である。またこのとき，四分位範囲は
点である。
13 20
40
x-20
x
（点）
（配点 20）
− −
2
ABDC において， iABC は AB =
A 図のような四角形
2
3 ， BC = 2 ，
D
CA = 1 の直角三角形である。また， +BCD = 90c ， +ABC = +CBD
であり，線分 BC と線分 AD の交点を E とする。
C
E
⑴ 線分 CD の長さを求めよ。
⑵ 線分 AD の長さを求めよ。また， iACD の面積を求めよ。
⑶ 線分 CE の長さを求めよ。また， iABE の外接円の半径を求めよ。
A 2
3 次関数
A
B
（配点 20）
f (x) = 3x 2 -4ax+3a+7 （a は定数）があり， y = f (x) のグラフの頂点の x 座
標は 2 である。
⑴ a の値を求めよ。
⑵ t を正の定数とする。 t E x E 2t における f (x) の最小値が 4 であるとき，t のとり得る
値の範囲を求めよ。
⑶ t を正の定数とする。 t E x E 2t における f (x) の最小値が 4 であり，かつ最大値が 8 で
あるとき，t の値を求めよ。
（配点 20）
− −
3
【選択問題】数学 A 受験者は，次の
A 4 ∼ A 7 のうちから２題を選んで解答せよ。
A k
4 を実数の定数とする。2 次方程式
x 2 +2kx-k+20 = 0 ……① がある。
⑴ 2 次方程式①が実数解をもつような k の値の範囲を求めよ。
⑵ 2 次方程式①の解を a ， b とおく。 ab = 1 のとき，k の値を求めよ。また，このとき，
(3a-1)(3b-1) の値を求めよ。
⑶ 3 次方程式 (x-2)(x 2 +2kx-k+20) = 0 が異なる解を 2 つだけもつような k の値を求
めよ。
3 点 A (-10,
A 座標平面上に
5
（配点 20）
0) ， B (6, -8) ， C (10, 0) がある。また，2 点 B，C を通る
直線を l とする。
⑴ 直線 l の方程式を求めよ。
⑵ 線分 AB を 3：1 に内分する点 D の座標を求めよ。また，点 D を中心とし，直線 l に接
する円 K の方程式を求めよ。
⑶ ⑵のとき，円 K の周上を動く点 P と直線 l の距離が 2 5 となるような点 P の座標を
求めよ。
（配点 20）
− −
4
A x
6 の不等式
2
a-4
x-1 2 x+
……①， x+3 E 5 ……②，ax 1 2a 2 +3a ……③がある。
3
3
ただし，a は定数であり， a ] 0 とする。
⑴ 不等式①を解け。
⑵ 不等式①，②をともに満たす整数 x がちょうど 2 個存在するような a の値の範囲を求
めよ。
⑶ 不等式①，②，③をすべて満たす x が存在するような a の値の範囲を求めよ。
（配点 20）
3 個と白玉 4 個の合わせて 7 個の玉があり，これらを横一列に並べる。このとき，
A 赤玉
7
同じ色の玉が続いて並んでいる部分をブロックと呼ぶ。また，連続して並ぶ赤玉の個数の最
大値を X とする。例えば，玉が（赤白白赤白白赤）と並んでいるとき，ブロックの数は
赤│白白│赤│白白│赤
の 5 個であり， X = 1 である。
⑴ 7 個の玉を横一列に並べる並べ方は全部で何通りあるか。また，ブロックが 2 個である
並べ方は全部で何通りあるか。
⑵ X = 3 である並べ方は全部で何通りあるか。また，ブロックが 3 個である並べ方は全
部で何通りあるか。
⑶ X = 2 である並べ方は全部で何通りあるか。
− −
5
（配点 20）
数学 B 問題
【必答問題】数学 B 受験者は
B 1 次の
⑴ A =
（100 分）
B 1 ， B 2 ， B 3 を全問解答せよ。
を正しくうめよ。解答欄には答えのみを記入せよ。
2
がある。 A の分母を有理化すると， A =
3 -1
の値を計算すると，
である。また， A+
2
A
である。
⑵ x は実数である。 A = {x ;-7 E 2x-1 E 3} とする。集合 A の要素 x のうち，最大の要
である。また，a を正の定数とし， B = {x ;-a E x E a} とする。 A 1 B
素は x =
となるような a のとり得る値の範囲は
である。
⑶ 2 次関数 y = a (x-1) 2 +3 （a は定数）のグラフが点 (2, 5) を通るとき， a =
ある。このとき，グラフと y 軸との交点の座標は ` 0,
で
j である。
⑷ 2 つのさいころ A，B を同時に投げる。A は偶数の目が出て，B は奇数の目が出る確率
は
である。また，A は 3 以下の目が出て，A と B の目の数の積が偶数となる確率
は
である。
⑸ 下の図は，40 人の生徒が受験したテストの得点データの箱ひげ図である。データの範
囲が 81 点であるとき，図中 x の値は
である。またこのとき，四分位範囲は
点である。
13 20
40
x-20
x
（点）
（配点 20）
− −
6
ABDC において， iABC は AB =
B 図のような四角形
2
3 ， BC = 2 ，
D
CA = 1 の直角三角形である。また， +BCD = 90c ， +ABC = +CBD
であり，線分 BC と線分 AD の交点を E とする。
C
E
⑴ 線分 CD の長さを求めよ。
⑵ 線分 AD の長さを求めよ。また， iACD の面積を求めよ。
A
⑶ 線分 CE の長さを求めよ。また， iABE の外接円の半径を求めよ。
B k
3 を実数の定数とする。x の 3 次式
B
（配点 20）
P (x) = x 3 +x 2 -(k 2 +k+1) x+k がある。
⑴ P (k) の値を求めよ。また， P (x) を x-k で割ったときの商を求めよ。
⑵ 方程式 P (x) = 0 が異なる 3 個の実数解をもつような k の値の範囲を求めよ。
⑶ 方程式 P (x) = 0 が b-a = c-b を満たす異なる 3 個の実数解 a ， b ， c をもつとき，
k の値を求めよ。
（配点 20）
− −
7
【選択問題】数学 B 受験者は，次の
3 点 A (-10,
B 座標平面上に
4
B 4 ∼ B 8 のうちから２題を選んで解答せよ。
0) ， B (6, -8) ， C (10, 0) がある。また，2 点 B，C を通る
直線を l とする。
⑴ 直線 l の方程式を求めよ。
⑵ 線分 AB を 3：1 に内分する点 D の座標を求めよ。また，点 D を中心とし，直線 l に接
する円 K の方程式を求めよ。
⑶ ⑵のとき，円 K の周上を動く点 P と直線 l の距離が 2 5 となるような点 P の座標を
求めよ。
（配点 20）
B 5 A = cos i-cos 2i ， B = sin i+sin 2i
⑴ i =
がある。ただし， 0 E i 1 2r とする。
r
のとき， A の値を求めよ。
4
⑵ B = 0 を満たす i の値を求めよ。
⑶ A 2 +B 2 を cos 3i を用いて表せ。また， A 2 +B 2 の最大値とそのときの i の値を求めよ。
（配点 20）
− −
8
B 関数
6
f (x) = x 3 +ax+4 （a は定数）があり， f l(-2) = 9 を満たしている。
⑴ a の値を求めよ。
⑵ 関数 f (x) の極小値を p とする。p の値を求めよ。また， f (x) = p を満たす x の値をす
べて求めよ。
⑶ k を定数とする。 x F k における関数 f (x) の最小値が 3k となるような k の値を求めよ。
（配点 20）
{a n} を次のような群に分ける。第 k 群には k 個の分数が入り，その分母は
B 分数の列
7
k+1 ，分子は 1 から k までの自然数である。
⑴ 1
2
1 2
，
3 3
1 2 3
，，
4 4 4
1 2 3 4
，，，
5 5 5 5
1
，……
6
3
と書かれた数は数列 {a n} の第何項か求めよ。
8
⑵ 数列 {a n} の第 5 項
2
1
1
は約分するととなるので， a 5 は 2 回目のである。 a l ， a m を
4
2
2
それぞれ 4 回目，8 回目の
1
とするとき，l，m の値を求めよ。
2
m
⑶ 第 k 群のすべての項の和を k を用いて表せ。また，⑵の l，m の値に対して， ! a k を
k=l
求めよ。
（配点 20）
− −
9
OACB があり， OA = a ， OB = b
B 平行四辺形
8
とする。辺 AC を 2：1 に内分する点を
D，辺 BC を 1：2 に内分する点を E とし，直線 AE と直線 BD の交点を P とする。
⑴ OD ， OE をそれぞれ a ， b を用いて表せ。
⑵ OA = 2 ， OB = 5 ， AE $ BD = 0 のとき，内積 a $ b の値を求めよ。
⑶ OP を a ， b を用いて表せ。また，⑵のとき， ;OP; を求めよ。
− −
10
（配点 20）
※ 受験上の注意
数学Ａ・数学Ｂの出題科目について
問題は，数学Ａ，数学Ｂの２コースに分かれています。Ａ，Ｂの出題範囲は次の表のとおりです。
コース
出題範囲
【必答問題】
・数学Ⅰ全範囲から３題
数学Ａ
【選択問題】
・式と証明・高次方程式（数学Ⅱ）
・図形と方程式（数学Ⅱ）
・数と式（数学Ⅰ）
・場合の数と確率（数学Ａ）
より２題選択
【必答問題】
・数学Ⅰ全範囲
・場合の数と確率（数学Ａ）
・式と証明・高次方程式（数学Ⅱ）から３題
数学Ｂ
【選択問題】
・図形と方程式（数学Ⅱ）
・三角関数（数学Ⅱ）
・微分法（数学Ⅱ）
・数列（数学Ｂ）
・ベクトル（数学Ｂ）
より２題選択
１．学校の指示に従って，いずれか１つを選択して解答してください。
２．数学Ａ，数学Ｂの各コースは次のように設定しています。
・数学Ａは２年生までで数学Ⅰ，Ⅱ，Ａを履修予定の受験者のコース
・数学Ｂは２年生までで数学Ⅰ，Ⅱ，Ａ，Ｂのすべてを修了予定の受験者のコース
無断転載・無断使用をお断りいたします。
©Benesse Corporation 2015 Printed in Japan
2015年度11月実施高２学力テスト
数学Ａ解答用紙（100分）
数Ａ
《ここから上には解答を記入しないでください。採点の対象となりません。
》
解答用紙は，A，Bの２種類あります。この解答用紙はA専用ですので注意してください。
A1 ※ A1 の解答欄には，答えのみを記入せよ。
⑴
⑵
⑶
⑷
⑸
大問得点/20点
A2
⑴
⑶
⑵
⑴
⑵
⑶
大問得点/20点
A3
⑴
⑶
⑵
⑴
⑵
⑶
大問得点/20点
《ここから下には解答を記入しないでください。採点の対象となりません。
》
高校
2
年
受験番号
数学
A
組
クラス番号
フリガナ
名前
出席番号
※すべての記入は鉛筆等を用いて必ず黒色を使用してください。受験番号は受験カードと同じ番号を記入してください。
フリガナは姓と名の間を１マスあけて記入してください（，は１マス分とること）
。
数学 A
数学Ａ
※すべての記入は鉛筆等を用いて，必ず黒色を使用してください。
《ここから上には解答を記入しないでください。採点の対象となりません。
》
︵
例
↑
A
∼
↓
A4
A4
から一つ選んで数字のみを丁寧に記入せよ。
︶
A 4
A7
⑴
⑶
⑵
⑴
⑵
⑶
大問得点/20点
︵
例
↑
A
∼
↓
A4
A4
から一つ選んで数字のみを丁寧に記入せよ。
︶
A 4
A7
⑴
⑶
⑵
⑴
⑵
⑶
大問得点/20点
《ここから下には解答を記入しないでください。採点の対象となりません。
》
2015年度11月実施高２学力テスト
数学Ｂ解答用紙（100分）
B1
数Ｂ
《ここから上には解答を記入しないでください。採点の対象となりません。
》
解答用紙は，A，Bの２種類あります。この解答用紙はB専用ですので注意してください。
※ B1 の解答欄には，答えのみを記入せよ。
⑴
⑵
⑶
⑷
⑸
大問得点/20点
B2
⑴
⑶
⑵
⑴
⑵
⑶
大問得点/20点
B3
⑴
⑶
⑵
⑴
⑵
⑶
大問得点/20点
《ここから下には解答を記入しないでください。採点の対象となりません。
》
高校
2
年
受験番号
数学
B
組
クラス番号
フリガナ
名前
出席番号
※すべての記入は鉛筆等を用いて必ず黒色を使用してください。受験番号は受験カードと同じ番号を記入してください。
フリガナは姓と名の間を１マスあけて記入してください（，は１マス分とること）
。
数学 B
数学Ｂ
※すべての記入は鉛筆等を用いて，必ず黒色を使用してください。
《ここから上には解答を記入しないでください。採点の対象となりません。
》
︵
例
↑
B
∼
↓
B4
B4
から一つ選んで数字のみを丁寧に記入せよ。
︶
B 4
B8
⑴
⑶
⑵
⑴
⑵
⑶
大問得点/20点
︵
例
↑
B
∼
↓
B4
B4
から一つ選んで数字のみを丁寧に記入せよ。
︶
B 4
B8
⑴
⑶
⑵
⑴
⑵
⑶
大問得点/20点
《ここから下には解答を記入しないでください。採点の対象となりません。
》

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