年 番号 Z¼ a; b を実数とし,定積分 (x ¡ a ¡ b cos x)2 dx の値を I(a; b) とおく.次の問いに答えよ. 0 Z (1) 不定積分 cos2 x dx を求めよ. Z (2) 不定積分 x cos x dx を求めよ. 1 3 氏名 1 次変換 f は点 (1; 3) を点 (3; 5) へ,点 (1; ¡1) を点 (1; ¡1) へ移すとする.f を表す行列 を A とするとき,次の問いに答えよ. (1) A を求めよ. (3) I(a; b) を a; b を用いて表せ. (2) A2 ; A3 を求めよ. (4) a; b が実数全体を動くときの I(a; b) の最小値,および,I(a; b) が最小値をとるときの a; b (3) 自然数 n に対して An を推測し,その推測が正しいことを数学的帰納法によって証明せよ. の値を求めよ. ( 大阪市立大学 2014 ) ( 大阪市立大学 2014 ) 4 座標空間内に 4 点 A(0; ¡1; 0),B(2; t; 1 ¡ t),C(0; s; ¡1),D(3; 2; 1) がある.ただ ¡! ¡! し,t と s は実数で t > ¡1 をみたし,また AB と AC は垂直であるとする.次の問いに答えよ. (1) s を t を用いて表せ. ¡! ¡! ¡ ! (2) AB,AC の両方に垂直で大きさが 1 のベクトル n = (p; q; r) のうち p > 0 となるものを t 2 a > 0,b > 0 とし,座標平面上の楕円 K : A(a cos µ; b sin µ); B #a cos #µ + y2 x2 + = 1 上の 2 点 a2 b2 (3) 4 点 A,B,C,D が同一平面に含まれるための必要十分条件は,t = ¡ ¼ ¼ ; ; b sin #µ + ;; 2 2 のそれぞれにおける K の接線を `,m とする.ただし,0 5 µ 5 交点を C(c; d) とし,さらに 2 点 D #a cos #µ + 積を S とする.次の問いに答えよ. を用いて表せ. 1 または t = 1 であ 3 ることを証明せよ. ( 大阪市立大学 2014 ) ¼ とする.2 直線 ` と m の 4 ¼ ; ; 0;,E(c; 0) をとる.台形 CBDE の面 2 5 ¼ の範囲において,2 つの曲線 y = cos x と y = sin 2x の交点の座標を 4 (a; b) とし ,2 つの曲線 y = cos x と y = tan x の交点の座標を (c; d) とする.次の問いに 座標平面の 0 5 x 5 答えよ. (1) c および d を a; b; µ を用いて表せ. (2) S を a; b; µ を用いて表せ. ¼ (3) µ が 0 5 µ 5 の範囲を動くときの S の最大値,および,S が最大値をとるときの m の傾き 4 を a; b を用いて表せ. ( 大阪市立大学 2014 ) (1) a; b および d2 の値を求めよ. (2) c > a であることを示せ. (3) 連立不等式 05x5 ¼ ; 4 cos x 5 y 5 sin 2x; y = tan x の表す領域を図示し,その領域の面積を求めよ. ( 大阪市立大学 2013 ) 6 a > 1 を満たす定数 a に対し ,座標が (a; a) である点を A とする.関数 y = 1 x (x > 0) 1 ; をとり,t > 0 で定義された関数 f(t) を,長さ AP を用いて t f(t) = AP2 で定める.次の問いに答えよ. のグラフ上を動く点 P #t; (1) f(t) を t と a を用いて表せ. (2) f0 (t) = 0 となる t (t > 0) の値を求めよ. (3) AP が最小になるような点 P の座標と,AP の最小値を求めよ. ( 大阪市立大学 2013 ) 7 ¡ ! ¡! ¡ ! ¡! OA = 4,OB = 5 である三角形 OAB に対し,k = AB, a = OA, b = OB とおく.次の問 いに答えよ. ¡ ! ¡ ! (1) 内積 a ¢ b の値を k を用いて表せ. ¡! (2) ÎAOB の二等分線と辺 AB の交点を P,ÎOAB の二等分線と辺 OB の交点を Q とする.OP, ¡! ¡ ! ¡ ! OQ を k, a , b を用いて表せ. ¡ ! ¡ ! ¡ ! (3) 三角形 OAB の内心を I とする.OI を k, a , b を用いて表せ. ¡ ! ¡ ! ¡ ! (4) (3) の I と直線 OA 上の点 H に対して,IH ? OA が成り立つとき,IH を k, a , b を用いて 表せ. ( 大阪市立大学 2013 )
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