(3) µが - SUUGAKU.JP

年番号
Z¼
a; b を実数とし，定積分
(x ¡ a ¡ b cos x)2 dx の値を I(a; b) とおく．次の問いに答えよ．
0
Z
(1) 不定積分
cos2 x dx を求めよ．
Z
(2) 不定積分
x cos x dx を求めよ．
1
3
氏名
1 次変換 f は点 (1; 3) を点 (3; 5) へ，点 (1; ¡1) を点 (1; ¡1) へ移すとする．f を表す行列
を A とするとき，次の問いに答えよ．
(1) A を求めよ．
(3) I(a; b) を a; b を用いて表せ．
(2) A2 ; A3 を求めよ．
(4) a; b が実数全体を動くときの I(a; b) の最小値，および，I(a; b) が最小値をとるときの a; b
(3) 自然数 n に対して An を推測し，その推測が正しいことを数学的帰納法によって証明せよ．
の値を求めよ．
（大阪市立大学 2014 ）
（大阪市立大学 2014 ）
4
座標空間内に 4 点 A(0; ¡1; 0)，B(2; t; 1 ¡ t)，C(0; s; ¡1)，D(3; 2; 1) がある．ただ
¡! ¡!
し，t と s は実数で t > ¡1 をみたし，また AB と AC は垂直であるとする．次の問いに答えよ．
(1) s を t を用いて表せ．
¡! ¡!
¡
!
(2) AB，AC の両方に垂直で大きさが 1 のベクトル n = (p; q; r) のうち p > 0 となるものを t
2
a > 0，b > 0 とし，座標平面上の楕円 K :
A(a cos µ; b sin µ);
B #a cos #µ +
y2
x2
+
= 1 上の 2 点
a2
b2
(3) 4 点 A，B，C，D が同一平面に含まれるための必要十分条件は，t = ¡
¼
¼
; ; b sin #µ +
;;
2
2
のそれぞれにおける K の接線を `，m とする．ただし，0 5 µ 5
交点を C(c; d) とし，さらに 2 点 D #a cos #µ +
積を S とする．次の問いに答えよ．
を用いて表せ．
1
または t = 1 であ
3
ることを証明せよ．
（大阪市立大学 2014 ）
¼
とする．2 直線 ` と m の
4
¼
; ; 0;，E(c; 0) をとる．台形 CBDE の面
2
5
¼
の範囲において，2 つの曲線 y = cos x と y = sin 2x の交点の座標を
4
(a; b) とし，2 つの曲線 y = cos x と y = tan x の交点の座標を (c; d) とする．次の問いに
座標平面の 0 5 x 5
答えよ．
(1) c および d を a; b; µ を用いて表せ．
(2) S を a; b; µ を用いて表せ．
¼
(3) µ が 0 5 µ 5
の範囲を動くときの S の最大値，および，S が最大値をとるときの m の傾き
4
を a; b を用いて表せ．
（大阪市立大学 2014 ）
(1) a; b および d2 の値を求めよ．
(2) c > a であることを示せ．
(3) 連立不等式
05x5
¼
;
4
cos x 5 y 5 sin 2x;
y = tan x
の表す領域を図示し，その領域の面積を求めよ．
（大阪市立大学 2013 ）
6
a > 1 を満たす定数 a に対し，座標が (a; a) である点を A とする．関数 y =
1
x
(x > 0)
1
; をとり，t > 0 で定義された関数 f(t) を，長さ AP を用いて
t
f(t) = AP2 で定める．次の問いに答えよ．
のグラフ上を動く点 P #t;
(1) f(t) を t と a を用いて表せ．
(2) f0 (t) = 0 となる t (t > 0) の値を求めよ．
(3) AP が最小になるような点 P の座標と，AP の最小値を求めよ．
（大阪市立大学 2013 ）
7
¡
! ¡! ¡
! ¡!
OA = 4，OB = 5 である三角形 OAB に対し，k = AB， a = OA， b = OB とおく．次の問
いに答えよ．
¡
! ¡
!
(1) 内積 a ¢ b の値を k を用いて表せ．
¡!
(2) ÎAOB の二等分線と辺 AB の交点を P，ÎOAB の二等分線と辺 OB の交点を Q とする．OP，
¡!
¡
! ¡
!
OQ を k， a ， b を用いて表せ．
¡
!
¡
! ¡
!
(3) 三角形 OAB の内心を I とする．OI を k， a ， b を用いて表せ．
¡
!
¡
! ¡
!
(4) (3) の I と直線 OA 上の点 H に対して，IH ? OA が成り立つとき，IH を k， a ， b を用いて
表せ．
（大阪市立大学 2013 ）

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