(2) a = 0 (1)

年番号
1
氏名
4
i を虚数単位とする．複素数 z が等式 iz + 3 = 2z ¡ 6 を
F(x); f(x); g(x) は関数である．次の問いに答えよ．
Zx
(1) 0 < a 5 ¼ とし，F(x) =
cos(t ¡ a)g(sin(t ¡ a)) dt ¡
満たすとき，次の問いに答えよ．
a
(1) この等式を満たす点 z 全体は，どのような図形を表すか答
f(x) とする．
えよ．
‘ f(x) は (1¡x)
(2) z ¡ z = 0 を満たす z を求めよ．
Z
x
0
f(t) dt = x
Z
1
x
f(t) dt と f(1) = 1
を満たすとする．f(x) を求めよ．
(3) z + i の最大値を求めよ．
’ f(x) は ‘ で求めた関数である．g(x) は，x < y なら
1
ば g(x) > g(y) を満たし，g $ p < = 0 であるとする．
2
このとき，開区間 (a; 2a) で F(x) が極大値をただ 1 つ
（秋田大学 2016 ）
もつように，a の値の範囲を定めよ．
Z x+a
cos(t ¡ a)g(sin(t ¡ a)) dt ¡
(2) a = 0 とし，F(x) =
a
2
f(x) とする．f(x) > 0，f0 (x) > 0 であり，g(x) = xf(x)
¼
であるとする．0 5 x 5
のとき F(x) 5 0 となることを
4
示せ．
原点を O とする座標平面上に 2 点 A(1; 0)，B(0; 1) をとり，
O を中心とする半径 1 の円の第 1 象限にある部分を C とする．
（秋田大学 2015 ）
3 点 P(x1 ; y1 )，Q(x2 ; y2 )，R は C の周上にあり，2y1 = y2
および ÎAOP = 4 Î AOR を満たすものとする．直線 OQ と
直線 y = 1 の交点を Q0 ，直線 OR と直線 y = 1 の交点を R0
とする．ÎAOP = µ とするとき，次の問いに答えよ．
(1) 点 Q の座標を µ を用いて表せ．
(2) 点 Q0 と点 R0 の座標を µ を用いて表せ．
BR0
(3) 点 P が点 A に限りなく近づくとき，
の極限を求めよ．
BQ0
sin x
= 1 であることは用いてよい．
ただし，lim
x
x!0
（秋田大学 2016 ）
5
0 以上の整数 n に対して，
gn (x) = e¡n (x ¡ n)(n + 1 ¡ x)
とおく．次の問いに答えよ．
(1) n 5 x 5 n + 1 において，曲線 y = gn (x) 上の点 (®; gn (®))
における接線の傾きが ¡gn (®) となる ® を求めよ．
(2) f(x) = ce¡x (c > 0) とおく．曲線 y = f(x) が曲線
y = gn (x) と共有点をもち，その点におけるそれぞれの曲
3
a は実数とする．座標平面上に 3 点 A(a3 + a ¡ 4; 5)，
B(2a; 3)，C(a + 1; 2) がある．次の問いに答えよ．
線の接線が一致するような c を求めよ．
(3) 曲線 y = gn (x) と (2) で求めた曲線 y = f(x) の共有点を
Pn とし，点 Pn における y = f(x) の接線を `n とする．また，
¡!
(1) a = 0 のとき，ベクトル AB に垂直で，大きさが 1 のベクト
`n と x 軸との交点を Qn とする．曲線 y = f(x) と接線 `n ，
ルを求めよ．
および点 Qn を通り y 軸に平行な直線で囲まれた部分の面積を
(2) a = 0 のとき，4ABC の面積を求めよ．
Sn とする． lim (S0 + S1 + Ý + Sn ) を求めよ．
n!1
(3) 3 点 A，B，C が一直線上に並ぶ場合があるか調べよ．
（秋田大学 2014 ）
（秋田大学 2016 ）
-1-
6
原点 O を中心とする半径 1 の円 C 上の点を P とし，線分 OP と
¼
x 軸の正の向きとのなす角を µ とする．ただし，0 5 µ 5
2
とする．また，C 上の点 Q を，線分 OQ と x 軸の正の向きとの
µ
となる点とする．このとき，次の問いに答えよ．
なす角が
2
(1) 直線 OQ と直線 x = 1 との交点を (1; t) とするとき，P の
8
数列 fan g が
a1 = ¡1;
an+1 = 2an + 3n ¡ 3
(n = 1; 2; 3; Ý)
で定められているとき，次の問に答えよ．
(1) bn = an + 3n (n = 1; 2; 3; Ý) とする．このとき，bn+1
座標を t を用いて表せ．
と bn の関係式を求めよ．
(2) P から x 軸におろした垂線の交点を H とする．4OPH の三
(2) 数列 fan g の一般項を求めよ．
辺の長さの和を µ で表す関数を r(µ) とするとき，関数 y =
1
のグラフをかけ．ただし，横軸に µ，縦軸に y をとるも
r(µ)
のとする．
Z ¼
2
1
(3) 定積分
dµ を求めよ．
0
r(µ)
(3) すべての自然数 n に対し，an Ë 0 であることを示せ．
(4) 次の式で定められる数列 fcn g の一般項を求めよ．
c1 = 8;
（秋田大学 2014 ）
cn+1 =
cn
ncn + 1
(n = 1; 2; 3; Ý)
(5) 次の式で定められる数列 fdn g の一般項を求めよ．
d1 = ¡8;
dn+1 =
an+1 dn
ndn + an
(n = 1; 2; 3; Ý)
（山形大学 2016 ）
7
n を自然数とし，t > 0 とする．曲線 y = xn e¡nx と x 軸およ
び 2 直線 x = t，x = 2t で囲まれた図形の面積を Sn (t) とす
9
る．このとき，次の問に答えよ．
複素数平面上の 3 点 A(®)，W(w)，Z(z) は原点 O(0) と異
なり，
(1) 関数 f(x) =
xe¡x
の極値を求めよ．
p
1
3
®=¡ +
i;
2
2
(2) S1 (t) を t を用いて表せ．
(3) 関数 S1 (t) (t > 0) の最大値を求めよ．
d
(4)
S (t) を求めよ．
dt n
(5) 関数 Sn (t) (t > 0) が最大値をとるときの t の値 tn と極限値
w = (1 + ®)z + 1 + ®
とする．ただし，® は ® の共役な複素数とする．2 直線 OW，
OZ が垂直であるとき，次の問に答えよ．
(1) (1 + ®)¯ + 1 + ® = 0 を満たす複素数 ¯ を求めよ．
lim tn を求めよ．
n!1
（山形大学 2016 ）
(2) z ¡ ® の値を求めよ．
(3) 4OAZ が直角三角形になるときの複素数 z を求めよ．
（山形大学 2016 ）
-2-
¼x
(0 5 x 5 1) で与えられる曲線を C とする．曲
2
線 C と x 軸，y 軸で囲まれた図形 S について，以下の問いに
10 y = cos
12 以下の問いに答えよ．
(1) 連立不等式 x2 + y2 5 25; y = 4 を満たす領域を y 軸の周り
答えよ．
に一回転させてできる立体の体積を求めよ．
(2) 連立不等式 x2 + y2 · 25; x = 4; y = 0 を満たす領域を y
(1) 図形 S の面積を求めよ．
(2) 図形 S を x 軸のまわりに 1 回転させて得られる立体の体積を
軸の周りに一回転させてできる立体の体積を求めよ．
(3) 連立不等式 x2 + y2 5 25; 0 5 x 5 4; 0 5 y 5 4 を満
3
たす領域の面積を求めよ．ただし，sin µ0 =
を満たす角
5
¼
; を使用せよ．
µ0 #0 < µ0 <
2
求めよ．
(3) 部分積分法を用いて次の不定積分を求めよ．
Z
x2 sin x dx
（山形大学 2014 ）
(4) 図形 S を y 軸のまわりに 1 回転させて得られる立体の体積を
求めよ．その際，曲線 C は変数 t を媒介変数として
x=
2
t;
¼
y = cos t
#0 5 t 5
¼
;
2
と表せることを利用せよ．
（山形大学 2015 ）
13 面積が 1 である 4ABC の辺 BC 上に点 D があり，辺 CA 上に
点 E があり，辺 AB 上に点 F がある．正の実数 x; y; z; w
を AF : FB = x : y，BD : DC = y : z，CE : EA = z : w
となるように定める．線分 AD，BE，CF が 4ABC の内部の
点 G で交わるとき，次の問に答えよ．
11 曲線 y = ex 上の点 A(a; ea ) における接線 ` と x 軸との交点
を B(b; 0) とする．ただし，a > 1 とする．この曲線と直線 `
(1) 三角形の面積の比を用いて，
および直線 x = b で囲まれた図形を D とする．このとき，次
x y
z
¢
¢
= 1 となることを
y z w
示せ．
の問に答えよ．
(2) 4AFE の面積を x; y; z を用いて表せ．
y
x
; ¯=
とする．このとき，4DEF の面積を ®; ¯
(3) ® =
y
z
を用いて表せ．
(1) b を a を用いて表せ．
(2) 図形 D の面積 S を a を用いて表せ．
Z ea
(3) 定積分 b (log y)2 dy を a を用いて表せ．
(4) 4DEF の面積が最大となるのは，点 D，E，F が各辺の中点
e
となるときであることを示せ．
(4) 図形 D を y 軸のまわりに 1 回転してできる立体の体積 V を
a を用いて表せ．
V
V
を求めよ．
(5) lim
と lim
a!1 aea
a!1 aS
（山形大学 2013 ）
（山形大学 2015 ）
-3-

Download Report