第2回宿題・解答

公共経済分析 I
宿題２
問 1（25 点）
：二人の消費者 A,B が私的財ｙと公共財 X を消費しているとする。各消費者
の効用関数は次のように与えられているとしよう：
（1.1）
U A = X + α ln y A
（1.2）
U B = X + β ln y B
j
各消費者の所得は I （ｊ＝A,B）で与えられている。公共財供給の限界費用はｃで一定と
しよう。各消費者の公共財への拠出（自発的生産）を x j とすれば、その予算制約式は
（1.3）
cx j + y j = I j
（ｊ＝A,B）
に等しい。ただし、 X = x A + x B 。
（１）個人 B の拠出 x B を与件としたときに個人 A が選択する拠出量 x *A を求めよ。
（２）個人 A の拠出 x A を与件としたときに個人 B が選択する拠出量 x B* を求めよ。
（３）この公共財供給ゲームの非協力（ナッシュ）均衡における公共財供給量 X と各消費
者の拠出 x j を求めよ。ただし、どちらの消費者もプラスの拠出をする「内点解」を
仮定しても構わない。
（４）仮に個人 A から個人 B に一定額（1 万円）の所得移転を行ったとき、各個人の公共
財の拠出 x j はどれくらい変わるか、公共財供給量 X の変化について述べよ。
解答：
(1) (5 点)
1 α
α
IA
A
*
*
=
= A
⇒
I
−
cx
=
c
α
⇒
x
=
−α
A
A
c y A I − cx *A
c
1 β
IB
β
B
*
*
（2）(5 点) =
=
⇒ I − cx B = cβ ⇒ x B =
−β
c y B I B − cx B*
c
（3）(5 点) 均衡量＝ x *A + x *B =
IA +IB
− (α + β )
c
1
（4）(10 点)
∆x *A =
− ∆I
；
c
∆x B* =
∆I
；
c
∆X = ∆x *A + ∆x B* = 0
問 2（25 点）
：
「混雑現象」を伴う次のような準公共財 X が供給されているとする。個人は
皆同じ効用関数、所得 I を有していると仮定しよう。個人の効用関数は
(7.1)
U = α ln X + y
で与えられる。一人当たり均等に公共財費用を負担するとすれば、予算制約式は
(7.2)
C( X , N ) / N + y = I
ただし、準公共財の供給費用は
(7.3)
C ( X , N ) = cX α N β + F
F > 0 c, z > 0, β > 1
N は消費者（利用者数）である。
(1) 所定の N に対して「効率的」な公共財の水準を求めよ。
(2) 所定の X に対して「効率的」な利用者数（クラブ規模）を求めよ
(3) 効率的な X 及び N の水準を算出せよ
解答：
（1）(10 点)
Max{ X }U = α ln X + I −
⇒
α
X
1
(cX α N β + F )
N
= cαX α −1 N β −1
 1 
⇒ X * =  β −1 
 cN 
1/ α
(2) (10 点)
Max{ N }U = α ln X + I −
⇒
1
(cX α N β + F )
N
F
= ( β − 1)cX α N β − 2
2
N


F

⇒ N = 
α 
 ( β − 1)cX 
1/ β
*
（3）(15 点)
2
X
 1 
=  β −1  =
 cN 
α
1  ( β − 1)cX α

c 
F



( β −1) / β
c1−1 / β  β − 1 
=


c  F 
( β −1) / β
X α (1−1 / β )
⇒
X α /β =
1  β −1

1/ β 
c  F 
( β −1) / β
⇒
1
X* = 
c 
1/ α
 β −1


 F 
 F 

N = 
 ( β − 1)c 
1/ β
*
( β −1) / α
(X )
* −α / β
 F 

= 
 ( β − 1)c 
1/ β
c
1/ β
 F 


 β −1
( β −1) / β
=
F
β −1
問 3(25 点)：公共財が多数決投票でもって決定されているとする。有権者は j＝A,B,C の 3
人である。各消費者の選好は
(3.1)
ただし、
1


U j = y j +  β j X − (X )2 
2


β A < β B < βC
(3.2)
。公共財費用は均等に負担される。
y j = I j − cX / 3
j=A,B, C
(1) 各有権者が最も選好する公共財の水準 X j
を求めよ。
解答：(5 点)
d
d  j
1

2 
Uj =
( I − cX / 3) +  β j X − ( X )  = β j − X − c / 3 = 0
dX
dX 
2


⇒ X j = β j −c/3
(2) 多数決投票で決まる公共財の水準を理由と合わせて述べよ
解答：(5 点)多数決で拮抗する水準は中位な選好をもっている有権者 B が好む公共財水準
X m = X B = βB − c / 3
(3)「サミュエルソン条件」を満たす効率的な公共財水準 X * を求めよ。
3
解答：(5 点)
Σ j = A, B ,C MB j = 3β − 3 X = c ⇒ X * = β − c / 3
(4) 公共財の効率水準と多数決均衡水準を比較せよ
解答：(10 点)
X * = β − c / 3 >< X m = β B − c / 3 ⇔ β >< β B
問 4(25 点)：公共財が多数決投票でもって決定されているとする。有権者は j＝A,B,C の 3
人である。各消費者の選好は
(4.1)
1


U j = y j +  βX − ( X ) 2 
2


公共財は「所得税」で財政調達される。所得税率はｔとおく。
(4.2)
ただし、
y j = (1 − t ) I
I A < I B < IC
(4.3)
j
j=A,B, C
政府の予算制約式は
cX = tΣ j = A, B ,C I j ⇒ t =
c
Σ j = A, B , C I
(1) 各有権者が最も選好する公共財の水準 X j
j
X
を求めよ。
解答：(5 点)

d
d  j
Ij
Ij
1

2 
β
β
−
+
−
=
−
−
=0
Uj =
I
cX
X
X
X
(
)




Σ i = A, B ,C Ii
Σ i = A, B ,C Ii
dX
dX 
2


Σ i = A, B ,C Ii
cIj
⇒ Xj =β−
I =
;
3 I
3
(2) 多数決投票で決まる公共財の水準を理由と合わせて述べよ
解答：(5 点)多数決で拮抗する水準は中位な所得をもっている有権者 B が好む公共財水準
Xm =β −
c IB
;
3 I
I =
Σ i = A, B ,C Ii
3
4
(3)「サミュエルソン条件」を満たす効率的な公共財水準 X * を求めよ。
解答：(5 点)問 4 と同様；
Σ j = A, B ,C MB j = 3β − 3 X = c ⇒ X * = β − c / 3
(4) 公共財の効率水準と多数決均衡水準を比較せよ
解答：(10 点)
Xm =β −
c IB
c
>< β − = X * ⇔ I >< I B
3 I
3
5

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