演習問題10 および略解

微分積分学および演習Ⅰ 演習問題 10
2015 年度前期
工学部・未来科学部 1 年
担当: 原隆 (未来科学部数学系列・助教)
※本演習問題は、講義の時間中の問題演習用に使います。
問題 10-1. (有理関数の積分)
以下の不定積分、定積分を計算しなさい。
∫
(1)
∫
∫
3
2
1
dx
x2 − 4x + 7
∫
∫
∫
4x2 − 18x + 12
dx
2x2 − 9x − 5
(2)
2x2 + 16x
dx (5)
(x2 + 1)(x − 5)
(4)
(7)∗
∫
x+7
dx
2
x + 2x − 3
0
−1
1
(8)
−1
x2 + 5x + 3
dx
(x + 1)3
(3)
2x2 − 8x + 20
dx (6)
(x − 1)(x − 3)(x − 5)
3x + x − 14
dx
(x + 2)2 (x − 2)
2
∫
∫
5
3
3
(9)
2
4x − 3
dx
− 3x + 5
2x2
3x + 3
dx
x3 − 1
【ヒント集】
有理関数の積分は部分分数分解をするのが定石 (石原・浅野の教科書の § 24 参照)
(2) 先ずは割り算をして (分子の次数) < (分母の次数) とする。
(3) 石原・浅野の教科書 § 24 例題 3 参照
(4)
f ′ (x)
ax
b
は
タイプ、 2
は Arctan 型の積分
+1
f (x)
x +1
x2
(7) 分母を平方完成して Arctan 型に無理矢理持ち込もう (やや難)
f ′ (x)
タイプも混ざっているので注意すること!!!
※
f (x)
問題 10-2. (広義積分)
以下の広義積分を計算しなさい。
∫
x=∞
(1)
e
x=0
x=∞
∫
(4)
x=0
x=∞
∫
(7)
x=1
−5x
dx
∫
x=3
(3)
log x dx
(6)
(2)
1
dx
1 + x2
x=0
x=1
∫
(5)
1
dx (8)∗
x(x + 1)
x=0
x=∞
∫
∫
1
√
dx
3
x
x=1
1
√
dx
1 − x2
x=0
x=∞
∫
e−x sin x dx (9)∗
x=0
x=0
x=∞
∫
x=1
xe−2x dx
1
dx
e2x − ex
【ヒント集】
(5) 極限値 lim x log x の計算にはド・ロピタルの定理を用いよう。
x→+0
∫
(8) 先ずは不定積分 I = e−x sin x dx を求めよう。
(問題 7-2. (5) と同様に、部分積分法を用いて I に関する方程式を立てよう)
x
(9) t = e とおいて置換積分しなさい。
【略解】
問題 10-2.
∫
(8)
∫ x=K
∫ x=K
e−x sin x dx = lim
e−x sin x dx. 定積分
e−x sin x dx を計算するため
K→∞
x=0
x=0
x=0
∫
−x
に、I =
e sin x dx とおこう。すると、部分積分法を 2 回用いることで
x=∞
∫
(−e−x )′ sin x dx
∫
= −e−x sin x + e−x (sin x)′ dx
(部分積分)
∫
∫
−x
−x
−x
= −e sin x + e cos x dx = −e sin x + (−e−x )′ cos x dx
∫
−x
−x
= −e sin x − e cos x + e−x (cos x)′ dx
(部分積分)
∫
= −e−x sin x − e−x cos x − e−x sin x dx = −ex (sin x + cos x) − I,
I=
即ち I に関する方程式 2I = −e−x (sin x + cos x) が得られる。これを解くと
∫
1
e−x sin x dx = − (sin x + cos x) + C
2
I=
(C は積分定数),
1
2
つまり e−x sin x の原始関数 (のひとつ) として − (sin x + cos x) が取れることが分かるので、
∫
x=∞
e
−x
∫
x=K
sin x dx = lim
K→∞
x=0
[
e−x sin x dx
x=0
]x=K
1 −x
= lim − e (sin x + cos x)
K→∞
2
x=0
{
}
1 1 −K
1
= lim
− e (sin K + cos K) =
K→∞ 2
2
2
と計算出来る*1 。
∫
x=∞
【参考】広義積分
e−x sin x dx は、下図のオレンジ色の部分の符号付き面積 (即ち
x=0
x 軸より上側の部分は + の面積、x 軸より下の部分は − の面積として足しあわせたもの) を
表しています。
*1
lim e−K sin K = 0 (および lim e−x cos x = 0) は、sin K が −1 から 1 の間の数で e−K は K が大きくな
K→∞
K→∞
る程どんどん 0 に近づくことから直観的にも分かりやすいでしょう。厳密に計算したければ、−1 ≤ sin K ≤ 1 より
K→∞
−e−K ≤ e−K sin K ≤ e−K となりますから、挟みうちの原理を用いれば e−K sin K −−−−→ 0 が従うことが分か
ります。
y
y = e−x
y = e−x sin x
O
x
y = −e−x
∫
x=∞
(9)
x=1
e2x
1
dx
− ex
t = ex と置換して置換積分を実行する。このとき
1
1
- 2x
= 2
,
x
e −e
t −t
1
- dt = (ex )′ dx = ex dx, 即ち dt = dx,
t
- x = 1 のとき t = e, x → ∞ のとき t → ∞
に注意して計算すると
∫
x=∞
x=1
∫
1
dx =
2x
e − ex
t=K
となる。定積分
t=e
∫
t=∞
t=e
1
1
· dt = lim
2
K→∞
t −t t
∫
t=K
t=e
t2 (t
1
dt.
− 1)
1
1
dt を計算するために、 2
を部分分数分解しよう。
t2 (t − 1)
t (t − 1)
(♯) :
t2 (t
1
A B
C
= + 2+
− 1)
t
t
t−1
とおく。両辺に t2 (t − 1) を掛け算して分母を払うと
(∗) :
1 = At(t − 1) + B(t − 1) + Ct2
となる。(∗) に t = 1 を代入して C = 1 が得られる。また、(∗) に t = 0 を代入すると
1 = −B, 即ち B = −1 が得られる。次に (∗) の両辺を t で微分すると
0 = A(t − 1) + At + B + 2Ct
となるので、t = 1 を代入すると 0 = A + B + 2C = A − 1 + 2, 即ち A = −1 が得られる。
斯くして部分分数分解
*2
t2 (t
1
1
1
1
=− − 2 +
が得られた*2 。
− 1)
t
t
t−1
勿論、講義中に説明した様に (♯) の右辺を通分して、両辺の分子の t2 の係数, t の係数, 定数項を比較して A, B, C の
連立方程式を立式するという方針で A, B, C を求めても構いません。
以上をまとめると、
∫
x=∞
x=1
1
dx = lim
2x
K→∞
e − ex
∫
t=K
1
dt
− 1)
t=e
(
)
1
1
1
= lim − − 2 +
dt
K→∞
t
t
t−1
[
]t=K
[ ]
t − 1 1 t=K
1
= lim − log |t| + + log |t − 1|
= lim log +
K→∞
K→∞
t
t t t=e
t=e
(
)
K −1
1
e−1 1
e−1 1
+
− log
−
= − log
−
= lim log
K→
K
K
e
e
e
e
t2 (t
となる*3 。
∫
x=∞
【参考】広義積分
e2x
x=1
1
dx は、下図のオレンジ色の部分の面積を表しています。
− ex
y
y=
O
1
*3
− log
e2x
1
− ex
x
e−1
e−1
= − log(e − 1) + log e であり、さらに log e = 1 なので、答えは
− log(e − 1) とも書けます。
e
e
勿論これでも正解。

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