留数定理と積分計算

2W 数学演習 V・VI
担当教員 : 浜中真志
標準 H211
研究室 : A453
E-mail:[email protected]
留数定理と積分計算
作成日 : September 30, 2004 Updated : January 8, 2005 Version : 1.0
実施日 : December 24, 2004
留数定理と積分計算
(ローラン展開) f (z) を D = {z ∈ C | 0 < |z − a| < R} で正則な関数とし, 0 < ρ < R
とする. このとき, f (z) は D 上で
f (z) =
∞
n
cn (z − a) +
n=0
∞
c−n (z − a)
−n
n=1
1
ここに, cn =
2πi
f (ξ)
dξ
n+1
|ξ−a|=ρ (ξ − a)
のように書くことができる.
右辺の後半の項を a における主要部と言い, 主要部が有限個の項からなるとき, c−k =
0, cn = 0 (n ≤ −k − 1) となる k に対して, a を関数 f の位数 k の極であると言う.
ローラン展開における係数 c−1 を f の z = a における留数といい, Res z=a f (z) と
書く.
f (z) が z = a で k 位の極を持つとき,
Res
z=a f (z)
=
dk−1
1
lim k−1 ((z − a)k f (z)).
(k − 1)! z→a dz
(留数定理) D を単連結な領域とし, f (z) を D \ {a1 , . . . , an } で正則な関数とする. ai
をすべてその内部に含む D 内の C 1 級単純閉曲線を C とすると, 次が成立する.
C
f (z) dz = 2πi
n
Res
z=ai f (z)
i=1
問題 1. 次の積分の値を求めよ. (ただし a > b > 0)
∞
1
1
ヒント
]
例えば
,
f
(z)
=
を図 1 の積分路で積分せよ.
(1)
dx
[
x3 + 1
z3 + 1
0
2π
1
dθ [ヒント] 例えば, z = eiθ と変数変換し, 被積分関数を z の関数
(2)
a
+
b
cos
θ
0
として表し, 単位円周上で積分せよ.
∞
z2 − z + 2
x2 − x + 2
dx
[
(3)
ヒント
]
例えば
,
f
(z)
=
を図 2 の積分路で積
4
2
z 4 + 10z 2 + 9
−∞ x + 10x + 9
分せよ.
∞
z2
x2
(4)
dx
[
ヒント
]
例えば
,
f
(z)
=
を図 2 の積分路で積分せよ.
(x2 + a2 )3
(z 2 + a2 )3
0
∞
cos bx
eibz
(5)
dx
[
ヒント
]
例えば
,
f
(z)
=
を図 2 の積分路で積分せよ.
x2 + a2
z 2 + a2
0
標準 H2-2W04-11
難易度 : C
名古屋大学・理学部・数理学科
2W 数学演習 V・VI
担当教員 : 浜中真志
(6)
0
∞
標準 H211
研究室 : A453
x sin bx
dx
x2 + a2
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[ヒント] 例えば, (4) の結果の両辺を b で微分せよ.
CR
B
2
π
3
A
O
R
図 1: 問題 1(1) の積分路の例
CR
A
-R
B
O
R
図 2: 問題 1(3), (4), (5) の積分路の例
標準 H2-2W04-11
難易度 : C
名古屋大学・理学部・数理学科

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