第11回宿題

第11回宿題
学籍番号
氏名
１．半無限長無損失線路にt=0でe(t)=E0cos[ωt]u[t]を印加した。この
時のv(x,t)をラプラス変換を用いて求め、位置x0 =4πvp/ωでの波
形及び時刻t0 =4π/ωにおける線路上の電位を図示せよ。ただし
位相速度をvp 、v(x,0)=0, i(x,0)=0とする。
Z0
Z1
E0cosωt
図1
∂i( x, t )
 ∂V ( x, s)
 ∂v( x, t )
− ∂x = (R + sL )I ( x, s)
− ∂x = Ri ( x, t ) + L ∂t
⇒

− ∂i( x, t ) = Gv( x, t ) + C ∂v( x, t ) − ∂I ( x, s) = (G + sC )V ( x, s)


∂x
∂t
∂x

∂ 2V ( x, s)
s
= γ ( s) 2 V ( x, s), γ ( s) =
,  v p =
2
vp
∂x

1 

LC 
s
s

V ( x, s ) = A( s ) exp[− v x] + B( s ) exp[ v x]
p
p

⇒
 I ( x, s ) = 1  A( s ) exp[− s x] − B ( s ) exp[ s x] 

Z 0 
vp
v p 

Z0
sE
1
⋅ 2 0 2 ∗
境界条件 : V (0, s ) = A( s ) + B ( s ) =
Z 0 + Z1 s + ω
s
x → ∞のときV ( x, s ) = 0 ⇒ B ( s ) = 0 ∴ A( s ) =
V ( x, s ) =
Z0
sE
1
⋅ 2 0 2 ∗
Z 0 + Z1 s + ω
s
Z 0  sE 0
Z 0  sE 0
1
1
s
s
∗  exp[−
x] =
∗  exp[−
x]
 2
 2
2
2
Z 0 + Z1  s + ω
s
vp
Z 0 + Z1  s + ω
s
vp
ラプラス逆変換より v( x, t ) =
v(x0,t)
 
Z0
x
E 0 cos ω  t −
Z 0 + Z1
  v p
 

u t − x    v p 
 

v(x,t0)
Z0
E0
Z 0 + Z1
Z0
E0
Z 0 + Z1
0
0
0
4π/ω
t
0
4πvp/ω
x
２．特性インピーダンスがZ1とZ2の無損失線路の間に抵抗Rが図2
のように接続されている。第1の線路から電圧E0のステップ
進行波が伝搬してくるとき、第1線路への反射波Vr(s)及び第2
線路への透過波Vt(s)を求めよ。また、入射電力に対する抵抗
Rで消費される電力の比が最大となる条件を求めよ。
Z1
Vi
Z2
Vt
Vr
R
図2
Vt = Z 2 I t , Vr = − Z 1 I r , Vi = Z 1 I i
Vt
E0
, Vi =
Vi + Vr = Vt , I i + I r = + I t R
s
Vi − Vr Vt Vt
R + Z2
⇒
= +
=
Vt
Z1
R Z2
RZ 2
E0
2 RZ 2
− RZ 1 + RZ 2 − Z 1 Z 2 E 0
∴Vt =
⋅
⋅
, Vr =
s
RZ 1 + RZ 2 + Z 1 Z 2 s
RZ 1 + RZ 2 + Z 1 Z 2
2
PR Vt
=
Pi
R
2
2
Vi
4 RZ 1 Z 2
=
Z 1 {R(Z 1 + Z 2 ) + Z 1 Z 2 }2
 4Z 1 Z 2 2 {R(Z 1 + Z 2 ) + Z 1 Z 2 } − 8RZ 1 Z 2 2 (Z 1 + Z 2 )
 =
= 0より
3
{R(Z1 + Z 2 ) + Z1 Z 2 }

ZZ
∴ R = 1 2 のとき最大
Z1 + Z 2
d  PR

dR  Pi
３．特性インピーダンスがZ1とZ2の無損失線路の間にRC並列回路
が図3のように接続されている。第1の線路から進行波viが入
射するとき、第2線路への透過波vt(t)を求め、図示せよ。た
だし、 vi(t)=E0 e-αtu(t)とし、CZ1Z2α=2Z1+Z2 とする。
Vi
Z1
Z2
Vr
Vt = Z 2 I t , Vr = − Z 1 I r , Vi = Z 1 I i
Vi + Vr = Vt , I i + I r = sCVt +
⇒
Vt
+ It
Z2
C
Vt
図3
Z2
Vi − Vr sCZ 2 + 1
V
sCZ 2 + 2
Vt
=
Vt + t =
Z2
Z1
Z2
Z2
sCZ 1 Z 2 + 2 Z 1 + Z 2
Vt
2Z 2
Vi =
⇒ Vt =
∴Vt =
E0
2Z 2
Vi , Vi =
sCZ 1 Z 2 + 2 Z 1 + Z 2
s +α
2 E0 Z 2
( sCZ 1 Z 2 + 2 Z 1 + Z 2 )( s + α )
2 E0
1
⋅
CZ 1 (s + α )2
2 E 0 Z 2 −αt
te u (t )
∴ vt (t ) =
CZ 1
=
vt(t)
0
0
t

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