t - 千葉大学

講義予定
信頼性工学
第４回
2016.10.25
千葉大学工学部都市環境システム学科
山崎文雄
http://ares.tu.chiba-u.jp/
1
(1) 2016年10月 4日（火）信頼性と信頼性工学（イントロダクション）
(2) 2016年10月11日（火）信頼性解析の基礎数理1（確率論の基礎）
(3) 2016年10月18日（火）信頼性解析の基礎数理2（信頼性の基本量）
(4) 2016年10月25日（火）信頼性解析の基礎数理3（故障率と確率分布）
(5) 2016年11月 1日（火）データの統計解析1（統計データ処理）
(6) 2016年11月 8日（火）データの統計解析2（最尤法と確率紙）
(7) 2016年11月15日（火）データの統計解析3／システムの信頼性1
(8) 2016年11月22日（火）中間試験
(9) 2016年12月 6日（火）システムの信頼性2（一般システムと信頼性設計）
(10) 2016年12月13日（火）故障モードの同定（FMEA, FTA, ETA）
(11) 2016年12月20日（火）構造物の信頼性工学1（破壊確率と信頼性指標）
(12) 2017年 1月17日（火）構造物の信頼性工学2（信頼性解析モデル）
(13) 2017年 1月24日（火）モンテカルロ法
(14) 2017年 1月31日（火）確率過程のモデル化
2
(15) 2017年 2月 7日（火）期末試験
平均寿命と故障時間の密度関数
故障を減らすには
平均寿命(mean life)の計算
デバギング(debugging)：初期故障を少なくするための作
業；事前に不良品を取り除くスクリーニング(screening)，
安定化のためのエージング(aging)やならし運転など
偶発故障期の故障は，デバギングで取り除けない故障原
因の組み合わせによる．
MeanLife 
(2.43)
平均寿命は
•修理可能なシステムでは，平均故障時間間隔(mean time between
failures)
•修理不可能なシステムでは，平均故障時間(mean time to failure)
Mean Life
故障時間の密度関数
予防保全(preventive maintenance, PM)：耐用寿命を延ば
すために，寿命に達した部品を故障が発生する前に取
り替える．
3
4
2.4 故障時間の確率分布
［例2.3］故障率が一定の場合の平均寿命
(1) 正規分布(Normal distribution)
t)=  =一定の場合の平均寿命を求めよ．
正規分布(ガウス分布)の確率密度関数は，
R (t ) 
(解) (2.35)より信頼度関数は
f (t )  
故障時間の密度関数は


0
0
 ( x   )2 
1
exp 
f X ( x) 

2 2 
2 

dR(t )

dt
ここに，, は平均値と標準偏差を表す．
また、確率分布関数は密度関数を積分して
MeanLife   tf (t )dt   te dt 
 t
   x  
(2.45)
FX x 
1.0
FX(x)
fX(x)
部分積分より
指数分布では平均寿命は故障率の逆数となる．
 x
5
x

fX(x)
確率密度関数は平均値を中心として左右
対象．標準偏差が分布の広がりを表す．
正規分布: N(, 2)
f X  x 
FX x   fX t )dt
x

6
標準正規分布: N(, )
 1  x   2 
1
exp 

2 
 2    
 s  
f X  x 
確率密度関数の関係
-x  x
N(, 2)
fX(x)
FX  x   fX t )dt
x

平均値(mean)は中央値(median),
最頻値(mode)と一致する．
http://www.weibull.com/LifeDataWeb/characteristics_of_the_normal_distribution.htm
x
正規分布と標準正規分布の関係
正規分布の特徴: N(, 2)
FX  x   fX t )dt  1 FX x
 x
0
 x
7
確率分布関数の関係
N(, )
 s 
s 
=
FX x 
0
s=(x-)/
s
8
http://www.math.unb.ca/~knight/utility/NormTble.htm
Tables of the Normal Distribution
正規分布表の使い方練習問題
標準正規分布表
１．標準正規分布表よりxが1以下(sが1以下)となる確率を求めよ．
（zはsと同じ意味）
N(0, 1)
解答： z=1の値より
２．標準正規分布表よりxが-1以下(sが-1以下)となる確率を求めよ．
重要な
逆引きの値
p
z
0.01
-2.3263
0.05
-1.6449
0.1
-1.2816
0.9
1.2816
0.95
1.6449
0.99
2.3263
解答： z=-1の値は
３．累積確率がp=0.90となるzの値を標準正規分布表から逆引きに
より求めよ．（表の数字の間は直線補間でよい）
解答：
 (1.28)  0.8997,
 (1.29)  0.9015
 1 (0.90) 
10
9
統計関数とExcel (分布名からの検索)
正規分布
正規分布の％点逆引
標準正規分布
標準正規分布の％点逆引
カイ２乗分布
カイ２乗分布の％点逆引
Ｆ分布
Ｆ分布の％点逆引
t 分布
t 分布の％点逆引
ベータ(B)分布
Excel 関数名
NORMDIST
NORMINV
NORMSDIST
NORMSINV
CHIDIST
CHIINV
ＦDIST
ＦINV
TDIST
TINV
BETADIST
説明
正規分布の累積分布関数
NORMDIST の「逆関数」
標準正規分布の累積分布関数
NORMSDIST の「逆関数」
カイ２乗分布の上側確率
CHIDIST の「逆関数」
Ｆ分布の上側確率
ＦDISTの「逆関数」
t 分布の片側・両側尾部確率(x 以上・± x 以遠)
TDIST の「逆関数」
ベータ分布の累積分布関数(ふつう A = 0, B = 1 の間)
ベータ(B)分布の％点逆引
指数分布
ガンマ(Γ)分布
ガンマ(Γ)分布の％点逆引
二項分布
同％点逆引き
超幾何分布
BETAINV
EXPONDIST
GAMMADIST
GAMMAINV
BINOMDIST
CRITIBINOM
HYPGEOMDIST
BETADIST の「逆関数」
指数分布の累積分布関数。平均 = 1/λ。
ガンマ分布の累積分布関数
GAMMADIST の「逆関数」
確率 0.4 で 5 回試行 => 3 回成功する確率
確率 0.4 で 10 回試行 => 何回までで確率 0.9?
サイズ N 個中 M 個が○ => n 個とって ○ x 個の確率
対数正規分布
同％点逆引き
ポアソン分布
負の二項分布
ワイブル分布
LOGNORMDIST
LOGINV
POISSON
NEGBINOMDIST
WEIBUL
exp(X) （X は正規）の累積分布関数
LOGNORMDISTの逆関数
年平均 10 件の事故が 4 件起こる確率
確率 0.4 で、3 回成功するまでに 5 回の失敗あり。
寿命の確率分布。指数分布の一般化。
分布名
http://www.qmss.jp/e-stat/excel/commands-dist.htm
EXCELを用いた正規分布の計算
練習問題
１．累積確率がp=0.95となるzの値を標準正規分布から
求めよ．
２．日本人成年男性の身長が，平均値170cm, 標準偏
差7cmとする．この場合，累積確率がp=0.95となる
身長は幾つか？
１）正規分布より求めよ
２）標準正規分布より求めよ
３）180cmを越える人の割合はどれだけか？
３．4σを越える確率を求めよ．
11
12
正規分布に従うシステムの故障率
http://www.itl.nist.gov/div898/handbook/eda/section3/eda362.htm#PPF
システムの故障時間が正規分布
するとすると，故障率は下図
f (t )
 (t ) 

(2.33)
R(t )
f(t)
=NORMINV(0.95,170,7)
=NORMINV(0.95,170,7)
=NORMSINV(0.95)
=170+B7*7
=1-B10
=NORMDIST(180,170,7,TRUE)
=NORMSDIST(4)
 (t ) 
=1-B13
f (t )
1  F (t )
F(t)
図2.9と同じ
13
(2) 指数分布(Exponential distribution)
指数分布 (2)
1
R (t )  P0 (t )  exp(t ) 
R ( x)  e
0.8

x

(2.46)
 e  x
,x0
0.6
ただし， t  1 /  は平均寿命を表す．
c
また，故障時間の密度関数は，
R(x)
指数分布に従うシステムの故障率
は一定となる．
0
0
dR(t )
f (t )  
 e t 
dt
(2.47)
 (t ) 
f (t )

R(t )
0
x
1 x
f ( x )  e   e x


故障率は当然ながら一定値となる．
時間 t

T  E[T ]   tf (t )dt   te t dt 
0.2
, x0
0
0
x
http://www.engineeredsoftware.com/papers/exp_dist.doc
15





(2.48)
2
1
 1
  E (T  E[T ])    t   e t dt  2 


0
2
したがって寿命の変動係数は，
0
1
寿命の分散は，
2
T
f(x)
f ( x) 1
 
R( x) 
=一定
平均寿命は，

0.4
故障率 (t)
故障の発生をポアソン分布（過程）とみなせるとき，信頼度R(t)は
時刻tまでに故障が１つも発生しない確率なので(2.42)より
 ( x) 
14
T 
(2.49)
T
 1 .0
T
16
指数分布 (3)
(3) ワイブル分布(Weibull distribution)
の場合
Exp(-t)
1.2
1
0.8
平均寿命に対応する信頼度；
信頼性の分野で最も頻繁に用いられる分布．1939年にスウェー
デンの科学者ワイブル(W. Weibull)により，材料の破壊強度の分
布形を表すものとして提案された．
Exp
0.6
0.4
R (tc )  e 1 
0.2
(2.50)
0
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
t
 tm 
R (t )  exp   
 tc 
信頼度と時間の関係は，(2.46)： R (t )  exp(t ) より
t
(2.51)
f (t )  
これより，=10-6 （平均寿命106 時間）の場合
t(R=0.9) = 1.05 x 105 時間
t(R=0.99) = 1.01 x 104 時間
高信頼度の期間は平均寿命よりずっと短い．
17
ワイブル分布 (2)
http://www.weibull.com/LifeDataWeb/characteristics_of_the_weibull_distribution.htm
は尺度パラメータ
m
m



ただし，  tc1/ m , t  0, tc  0, m  0 である．
ここでmは形状(shape)パラメータ，は尺度(scale)パラメータと呼ば
れる．
18
ワイブル分布 (3)
ワイブル分布の故障率は，
ワイブル分布の確率密度関数の形
この図では形状パラメータ(m)を表す
 t
 t 
dR(t )
t
t m 1
m
exp    m m exp   
dt
tc

 tc 
   
m 1
 (t ) 
f (t )

R(t )
m()の値によって，ワイ
ブル分布の故障率は
DFR, CFR, IFRになる．
19
20

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