第9回宿題

第9回宿題
学籍番号
氏名
１．図1のように半無限長無ひずみ線路に、時刻 t = 0 に電源E0
をコイルL1を介して接続する。ある時刻t=t0における線路
上の電圧v(x, t0)を求め、図示せよ。ただし、 v(x,0)=0 ,
i(x,0)=0とする。またα2=RG, β2=LCとし、𝛼𝛼 >
L∆x
i(x,t)
v(x,t)
R∆x
i(x+∆x,t)
図1
𝐶𝐶
とする。
𝐿𝐿
A
x=0
L1
C∆x
G∆x
𝛽𝛽
𝐿𝐿1
E0
v(x+∆x,t)
伝送線路の等価回路
V ( x, s ) = A( s ) exp[− γ ( s ) x ] + B( s ) exp[γ ( s ) x ]　, γ ( s) = α + βs
L
とすると境界条件は
C
Z0
E
1
V ( x, s ) x = 0 =
⋅ 0 = E0 ( −
sL1 + Z 0 s
s
Z0 =
1
V ( x, s ) x = ∞ = 0
), Z0
s+
L1
1
従ってA = E 0 ( −
s
1
), B = 0
Z0
s+
L1
1
∴V (x, s ) = E 0 ( −
s
1
) exp[−(α + βs ) x]
Z0
s+
L1

 Z
 
∴ v(x, t ) = E 0 exp(−αx)1 − exp − 0 (t − βs ) u[t − βx ]

 L1
 
v ( x, t )
Z0
Z 0 E 0 − L1 t0
e
L1
0
0
t0
β
x
２．図2に示すように、電圧E0に充電されたコンデンサC1を半無限長
無ひずみ線路に抵抗R1を介して接続し、t=0にスイッチを閉じる。
α2=RG, β2=LCとしたときの時刻t=t0における線路上の電位を求め、
𝛽𝛽
①𝛼𝛼 >
𝐶𝐶1 ( 𝐿𝐿/𝐶𝐶+𝑅𝑅1 )
L∆x
R∆x
②𝛼𝛼 <
𝛽𝛽
𝐶𝐶1 ( 𝐿𝐿/𝐶𝐶+𝑅𝑅1 )
③𝛼𝛼 =
𝛽𝛽
の3つの場
𝐶𝐶1 ( 𝐿𝐿/𝐶𝐶+𝑅𝑅1 )
合で図示せよ。ただし、 v(x,0)=0 , i(x,0)=0とする。
i(x,t)
A
i(x+∆x,t)
R１
v(x,t)
C∆x
G∆x
伝送線路の等価回路
C1
v(x+∆x,t)
i
+
-
E0
A点(x = 0 )において
v(0, t ) = −
q (t )
dq(t )
1
i (0, t )dt − R1i (0, t ) = −
− R1
C1
C1
dt
∫
ラプラス変換すると
Q(s )
V (0, s ) = −
− R1 (sQ(s ) − q(0 ))　q(0 ) = −C1 E 0
C1

 1
E
( sQ(s ) − q(0) = I (0, s ))
∴V (0, s ) = −
+ R1  I (0, s ) + 0 C
s
s

 1
L
とすると境界条件 : V (0, s ) = Z 0 I (0, s )
C
E0
Z0
E0
∴V (0, s ) =
=
⋅
R
Z 0 + R1 s + C1 (Z10 + R1 )
1 + Z 1 s + Z 1C
Z0 =
(
0
)
0 1
また、無ひずみ線路上の電位は
V ( x, s ) = A( s ) exp[− γ ( s ) x ] + B ( s ) exp[γ ( s ) x ]　より、
Z0
E0
⋅
境界条件 : V ( x, s ) x =0 = A( s ) + B ( s ) =
Z 0 + R1 s + C1 (Z10 + R1 )
V ( x, s ) x =∞ = 0 ⇒ ∴ A( s ) =
V ( x, s ) =
Z0
E0
⋅
, B ( s ) = 0
Z 0 + R1 s + C1 (Z10 + R1 )
Z0
E0
⋅
exp[− (α + βs ) x ]
Z 0 + R1 s + C1 (Z10 + R1 )
ラプラス逆変換より
∴ v ( x, t ) =


Z0
1
(t − βx )u (t − βx )
E 0 exp − αx −
C1 (Z 0 + R1 )
Z0 + R


図2
𝛽𝛽
1 (𝑍𝑍0 +𝑅𝑅1 )
①𝛼𝛼 > 𝐶𝐶
Z 0 E0
e
Z 0 + R1
−
t0
C1 ( Z 0 + R1 )
0
②𝛼𝛼 <
Z 0 E0
e
Z 0 + R1
③𝛼𝛼 =
−
0
t0
β
x
𝛽𝛽
𝐶𝐶1 (𝑍𝑍0 +𝑅𝑅1 )
t0
C1 ( Z 0 + R1 )
0 0
𝛽𝛽
𝐶𝐶1 (𝑍𝑍0 +𝑅𝑅1 )
t0
β
x
t0
Z 0 E 0 − C1 ( Z 0 + R1 )
e
Z 0 + R1
0
0
t0
β
x

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