第9回宿題 学籍番号 氏名 1.図1のように半無限長無ひずみ線路に、時刻 t = 0 に電源E0 をコイルL1を介して接続する。ある時刻t=t0における線路 上の電圧v(x, t0)を求め、図示せよ。ただし、 v(x,0)=0 , i(x,0)=0とする。またα2=RG, β2=LCとし、𝛼𝛼 > L∆x i(x,t) v(x,t) R∆x i(x+∆x,t) 図1 𝐶𝐶 とする。 𝐿𝐿 A x=0 L1 C∆x G∆x 𝛽𝛽 𝐿𝐿1 E0 v(x+∆x,t) 伝送線路の等価回路 V ( x, s ) = A( s ) exp[− γ ( s ) x ] + B( s ) exp[γ ( s ) x ] , γ ( s) = α + βs L とすると境界条件は C Z0 E 1 V ( x, s ) x = 0 = ⋅ 0 = E0 ( − sL1 + Z 0 s s Z0 = 1 V ( x, s ) x = ∞ = 0 ), Z0 s+ L1 1 従ってA = E 0 ( − s 1 ), B = 0 Z0 s+ L1 1 ∴V (x, s ) = E 0 ( − s 1 ) exp[−(α + βs ) x] Z0 s+ L1 Z ∴ v(x, t ) = E 0 exp(−αx)1 − exp − 0 (t − βs ) u[t − βx ] L1 v ( x, t ) Z0 Z 0 E 0 − L1 t0 e L1 0 0 t0 β x 2.図2に示すように、電圧E0に充電されたコンデンサC1を半無限長 無ひずみ線路に抵抗R1を介して接続し、t=0にスイッチを閉じる。 α2=RG, β2=LCとしたときの時刻t=t0における線路上の電位を求め、 𝛽𝛽 ①𝛼𝛼 > 𝐶𝐶1 ( 𝐿𝐿/𝐶𝐶+𝑅𝑅1 ) L∆x R∆x ②𝛼𝛼 < 𝛽𝛽 𝐶𝐶1 ( 𝐿𝐿/𝐶𝐶+𝑅𝑅1 ) ③𝛼𝛼 = 𝛽𝛽 の3つの場 𝐶𝐶1 ( 𝐿𝐿/𝐶𝐶+𝑅𝑅1 ) 合で図示せよ。ただし、 v(x,0)=0 , i(x,0)=0とする。 i(x,t) A i(x+∆x,t) R1 v(x,t) C∆x G∆x 伝送線路の等価回路 C1 v(x+∆x,t) i + - E0 A点(x = 0 )において v(0, t ) = − q (t ) dq(t ) 1 i (0, t )dt − R1i (0, t ) = − − R1 C1 C1 dt ∫ ラプラス変換すると Q(s ) V (0, s ) = − − R1 (sQ(s ) − q(0 )) q(0 ) = −C1 E 0 C1 1 E ( sQ(s ) − q(0) = I (0, s )) ∴V (0, s ) = − + R1 I (0, s ) + 0 C s s 1 L とすると境界条件 : V (0, s ) = Z 0 I (0, s ) C E0 Z0 E0 ∴V (0, s ) = = ⋅ R Z 0 + R1 s + C1 (Z10 + R1 ) 1 + Z 1 s + Z 1C Z0 = ( 0 ) 0 1 また、無ひずみ線路上の電位は V ( x, s ) = A( s ) exp[− γ ( s ) x ] + B ( s ) exp[γ ( s ) x ] より、 Z0 E0 ⋅ 境界条件 : V ( x, s ) x =0 = A( s ) + B ( s ) = Z 0 + R1 s + C1 (Z10 + R1 ) V ( x, s ) x =∞ = 0 ⇒ ∴ A( s ) = V ( x, s ) = Z0 E0 ⋅ , B ( s ) = 0 Z 0 + R1 s + C1 (Z10 + R1 ) Z0 E0 ⋅ exp[− (α + βs ) x ] Z 0 + R1 s + C1 (Z10 + R1 ) ラプラス逆変換より ∴ v ( x, t ) = Z0 1 (t − βx )u (t − βx ) E 0 exp − αx − C1 (Z 0 + R1 ) Z0 + R 図2 𝛽𝛽 1 (𝑍𝑍0 +𝑅𝑅1 ) ①𝛼𝛼 > 𝐶𝐶 Z 0 E0 e Z 0 + R1 − t0 C1 ( Z 0 + R1 ) 0 ②𝛼𝛼 < Z 0 E0 e Z 0 + R1 ③𝛼𝛼 = − 0 t0 β x 𝛽𝛽 𝐶𝐶1 (𝑍𝑍0 +𝑅𝑅1 ) t0 C1 ( Z 0 + R1 ) 0 0 𝛽𝛽 𝐶𝐶1 (𝑍𝑍0 +𝑅𝑅1 ) t0 β x t0 Z 0 E 0 − C1 ( Z 0 + R1 ) e Z 0 + R1 0 0 t0 β x
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