2 + Ý + (xN ¡ x)

1
以下の問いに答えよ．
(1) ある大学で N 人の学生が数学を受験した．その得点を x1 ; x2 ; Ý; xN と
とおく．a; b; c; d を自然数として，(X; Y) が再び方程式
X2 ¡ 3Y2 = 13
する．平均値 x および分散 s2 は各々
x1 + x2 + Ý + xN
N
2 + (x ¡ x)2 + Ý + (x ¡ x)2
x)
(x
¡
N
1
2
s2 =
N
x=
を満たすための組 (a; b; c; d) を 1 つ求めよ．
次に，解の組 (x; y) で x > 500 となる (x; y) を 1 つ求めよ．
(3) n を自然数とする．漸化式
で与えられる．標準偏差 s (> 0) は
C
s=
an+2 ¡ 5an+1 + 6an ¡ 6n = 0
a1 = 1; a2 = 1
s2
で定められる数列 fan g の一般項を求めよ．
となる．このとき x 点を取った学生の偏差値は
t = 50 + 10 £
x¡x
s
で与えられる（ x 2 fx1 ; x2 ; Ý; xN g ）．偏差値は無単位であることに注
(4) n を 0 以上の整数とする．以下の不定積分を求めよ．
Z
T¡
n
P
(log x)n
l dx =
2
x
k=0
ただし，積分定数は書かなくてよい．
意せよ．
Y 大学で N = 3n 人の学生が数学を受験し，たまたま 2n 人の学生が a 点，
残りの n 人の学生が b 点を取ったとしよう．簡単にするために a < b とす
る．a 点を取った学生および b 点を取った学生の偏差値を求めよ．
(2) 方程式
x2 ¡ 3y2 = 13
の整数解を求める．簡単にするために x > 0; y > 0 とする．まず
X = ax + by;
Y = cx + dy
（横浜市立大学 2016 ）
2
n 枚のカードの表（おもて）面に相異なる整数値が書かれている．ただし，
どのような数値が書かれているのかはあらかじめわかっていない．
はじめにすべてのカードが裏返しでおかれている．ここから 1 枚ずつ好き
なカードをめくっていき，書かれている数値が n 枚のカードの中で最大だと
思ったらめくるのをやめる 1 人ゲームを考える．n 枚のカードをすべてめく
り終えてしまった場合，次にめくるカードがないのでゲームは終了である．
ゲームの勝敗は，最後にめくったカードに書かれていた数値が n 枚のカー
ドの中で最大であれば勝ち，そうでなければ負けとする．
n 未満の自然数 k について以下の戦略 Sk を考える：
はじめの k 枚までは必ずめくり，その k 枚に書かれていた数値のうち最大
のものを M とする．k + 1 枚目以降で M より大きな数が書かれたカードを
めくったら，ただちにめくるのをやめる．
戦略 Sk にしたがった場合に，このゲームに勝つ確率を Pn;k とする．以下
の問いに答えよ．
(1) P3;1 を求めよ．
(2) i を k + 1 以上，n 以下の整数とする．戦略 Sk にしたがった場合に，ちょ
うど i 枚のカードをめくって勝つ確率を求めよ．
(3) n が十分に大きいとき，戦略 Sk を使ってどのくらい勝つことが出来るのか
を考えてみよう．n に対してどのくらいの k を用いるかによって勝てる確率
は変わる．簡単にするため，n = 3p の場合を考える．ただし，p は自然数
である．このとき k = p として，極限値
lim Pn;k
p!1
を求めよ．
（横浜市立大学 2016 ）
3
¼
¼
<x<
で単調増加である．したがって，
2
2
この区間で逆関数を作ることが出来る．それを
関数 y = tan x は，区間 ¡
y = Á(x)
4
以下の問いに答えよ．
(1) ド・モアブルの定理を用いて
(¡1 < x < 1)
sin(7µ)
と書く（この逆関数を Arctan x と書く参考書もある）．正確を期すた
¼
¼
めに，¡
< Á(x) <
としておく．以下の問いに答えよ．ただし，
2
2
「 ¡1 < x < 1 」は「 x は実数」という意味である．
を sin µ; cos µ およびそれらの累乗で表わせ．
(2) 3 次方程式
7x3 ¡ 35x2 + 21x ¡ 1 = 0
(1) 関数 f(x) を
p
B
B
1
x2 + p 2x + 1
1
p
f(x) =
log 2
+ p RÁ( 2x + 1) + Á( 2x ¡ 1)j
4 2
x ¡ 2x + 1
2 2
を解け．
(3) 和
とおく．f(x) の導関数 f0 (x) を求めよ．
1
1
1
+
+
2 ¼
2¼
3¼
2
2
tan
tan
tan
7
7
7
(2) 積分
Z
1
0
x4
1
dx
+1
を求めよ．
（横浜市立大学 2016 ）
を求めたい．正確な値は求められないので，以下のようにする．即ち，関数
G(x) で
Z
1
0
x4
B
1
dx = G( 2 + 1)
+1
となる関数を求めよ．
(3) 積分の等式
Z
¼
0
x sin x
dx = ¼
1 + cos4 x
を示せ．
(4) 積分
n を n = 2 である整数とするとき，以下の各問に答えよ．
Z
(1) 不定積分
tan x dx を求めよ．
5
Z
0
¼
2
sin x
dx
1 + cos4 x
(2)
tann x
の導関数を求めよ．
sin x
(3) 不定積分
Z
tann¡2 x
dx を求めよ．
cos2 x
(4) 式
Z
1
tan x dx =
tann¡1 x ¡
n¡1
n
Z
tann¡2 x dx
が成り立つことを証明せよ．
Z ¼
4
tan3 x dx を求めよ．
(5) 定積分
0
（横浜市立大学 2016 ）
6
三角形があり，その頂点を反時計回りの順に A，B，C とおく．表と裏の出
現確率が等しいコインを投げ，表が出たら時計回りに隣り合う次の頂点へ，
裏が出たら反時計回りに隣り合う次の頂点へ移動する試行を繰り返し行う．
たとえば，頂点 A にいてコインの裏が出たならば，頂点 B へ移動すること
になる．
頂点 A から移動を開始するとき，n 回の試行の後に頂点 A にいる確率を
Pn (A) とする．このとき，以下の各問に答えよ．ただし，n は n = 1 であ
る整数とする．
(1) P1 (A) を求めよ．
(2) P4 (A) を求めよ．
(3) n = 2 のとき Pn (A) を Pn¡1 (A) の式で表せ．
(4) n = 2 のとき Pn (A) ¡ Pn¡1 (A) を n の式で表せ．
(5) Pn (A) を求めよ．
（横浜市立大学 2016 ）

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