確 率 論 ～演習問題～ 演 習 １から９までの数字から、相異なるものを4つ選 んで作った4桁の整数全体の集合をAとする。 （（１）（２）3点（３）4点） （１）Aの要素の個数を求めよ。 （２）Aから整数を１つ取り出すとき、それが5以 下の数字のみで作られている確率を求めよ。 （３）Aから整数を１つ取り出すとき、4桁のうち少 なくとも１つは奇数が入っている確率を求めよ。 解答 （１） （２）各桁が5以下であればよいので （３）すべての桁が偶数である確率は であるので、求める確率は 演 習 教育学部の男女の構成は、男性60%、女 性40%であり、男性のうち30%、女性のうち 50%が東京都出身者である。この学部の 学生1名をくじで選んだとき、その1名が東 京都出身者であると分かった場合、その 人が女性である確率を求めよ。 解答 事象M「男である」、事象W「女である」、事象T 「東京出身者である」とする。 問題文から であるので、ベイズの定理から求める確率は 演 習 離散型確率変数Xに対して次の等式を示せ。 （Xの取り得る値は とする。） （１） （２） （ は定数） 解答 （１）確率変数が xi になる確率を pi とする。 （２） 演 習 確率変数Xの確率密度関数が次のように与え られているとき、Xの積率母関数を求め、積率 母関数を用いて を求めよ。 (その他) ただし、t >1とする。 解答 演 習 確率変数Xの期待値が0で、分散が1のとき の下限を求めよ。 解答 問題文から チェビシェフの不等式から つまり のとき なので の下限は である。 演 習 Xが確率変数で、 であるとする。 a,bを定数として、Y=aX+bとしたとき になることを示せ。 解答 Y=aX+bとしたとき、共分散は よって、 演 習 赤玉３個と白玉６個の入っている袋の中から１ 個ずつ３回玉を取り出す（１回毎に取りだした玉 は袋に返す）とき、赤玉の出る回数をXとすると、 Xの確率分布を表に表せ。 x 0 1 2 3 P(X=x) また、この確率分布の期待値を求めよ。 合計 1 解答 1回で赤玉を取り出す確率は であり、それを 3回繰り返すので、赤玉の出る回数X は､次の 二項分布に従う。 これより確率は下表のようになり、期待値は x 0 1 2 3 合計 P(X=x) 8/27 12/27 6/27 1/27 1 演 習 １．確率変数Zが標準正規分布に従うとき を求めよ。 ２．確率変数Xが平均2,分散16の正規分布に従 うとき を求めよ。 解答 １． ＝ ＋ 解答 ２． ＝ － 演 習 確率変数Xが自由度nのカイ2乗分布に 従うとき を示せ。 解答 ところで なので 演 習 確率変数 がそれぞれ互いに独 立で、期待値μ、分散σ2のある確率分布に従うと する。つまり、 である。このとき、標本平均 の期待値と分散を求めよ。 解答 演 習 1冊の重さが期待値20ｇ、標準偏差1gの 確率分布に従うパンフレットがある。これ を30冊束ねるとき、その重さが590g以上 610以下である確率を求めよ。ただし、各 冊の重さは独立であるとする。 解答 各パンフレットの重さをXi（i=1,…,30）として、パ ンフレット30冊分の重さの平均を とする。つ まり とすると、 の期待値は20となり、分散は に なる（前回の演習と同様にすると示される）。中 心極限定理から の確率分布は期待値20、分 散 の正規分布で近似でき
© Copyright 2024 ExpyDoc
