年番号氏名 1 1 辺の長さが 1 の正三角形 ABC に，図

年番号
1
1 辺の長さが 1 の正三角形 ABC に，図のように正方形
2
氏名
下の図のように，F1 を 1 辺の長さが 1 の正三角形とす
る．F1 の 3 つの辺のそれぞれを 3 等分し 3 つの線分に
S1 ，S2 ，S3 ，Ý を順に内接させるものとする．
分ける．この 3 つの線分の中央の線分に，その線分を 1
辺とする正三角形を F1 の外側に追加して得られる多角
形を F2 とする．次に，F2 の 12 個の辺のそれぞれを 3
等分し 3 つの線分に分ける．この 3 つの線分の中央の線
分に，その線分を 1 辺とする正三角形を F2 の外側に追
加して得られる多角形を F3 とする．以下同様にして，
F4 ; F5 ; F6 ; Ý を作るものとする．Fn の辺の個数を
(1) 正方形 S1 の 1 辺の長さを求めよ．
Kn ，周の長さを Ln ，面積を Sn とする．
(2) n 番目の正方形 Sn の面積 sn を求めよ．
(3) これらの正方形の面積の総和
s = s1 + s2 + Ý + sn + Ý
を求めよ．
（日本女子大学 2014 ）
(1) Kn (n = 1) を求めよ．
(2) Ln (n = 1) を求めよ．
(3) S1 と Sn ¡ Sn¡1 (n = 2) を求めよ．
(4) Sn (n = 1) を求めよ．
(5) 数列 fLn g の極限を調べよ．
(6) 数列 fSn g の極限を調べよ．
（日本女子大学 2013 ）
3
半径 1 の球を O1 とし，球 O1 に内接する立方体を B1 と
する．次に立方体 B1 に内接する球を O2 とし，球 O2 に
内接する立方体を B2 とする．以下この操作を繰り返し
てできる球を On ，立方体を Bn (n = 3; 4; Ý) とする．
このとき，次の問いに答えよ．
(1) 立方体 B1 の 1 辺の長さ l1 を求めよ．
(2) 球 On の半径 rn を n を用いて表せ．
(3) 球 On の体積を Vn とし，Sk = V1 + V2 + Ý + Vk と
するとき， lim Sk を求めよ．
k!1
（島根大学 2011 ）
4
三角形 A0 B0 C は辺 A0 B0 の長さが a，ÎA0 = 60± ，
0
0
ÎB0 = 90± の直角三角形であり，三角形 A0 B0 C0 は辺
0
0
0
0
A0 B0 の長さが a，ÎA0 = 45± ，ÎB0 = 90± の直角三
角形である．右図に示すように三角形 A0 B0 C の 3 つの辺
上にそれぞれ点 D1 ，A1 ，B1 をとり，正方形 B0 D1 A1 B1
を作る．次に，三角形 A1 B1 C の 3 つの辺上に点 D2 ，A2 ，
B2 をとり，正方形 B1 D2 A2 B2 を作る．これを繰り返し，
正方形 Bj¡1 Dj Aj Bj を作る．その正方形の面積を Sj と
おく．ただし，j = 1; 2; Ý である．同様な操作で，三
0
0
0
0
0
0
角形 A0 B0 C0 にも正方形 Bj¡1 Dj Aj Bj を作り，その
0
正方形の面積を Sj とおく．これらの図形について以下
の問いに答えよ．
(1) S1 を a を用いた式で示せ．
(2) Sj を a と j を用いた式で示せ．
(3) 三角形 A0 B0 C 内に正方形を描くことを無限に繰り返す
とき，正方形の面積の総和 ST が三角形 A0 B0 C の面積 S0
に占める割合を求めよ．
Sj+2
(4) cj =
で定義される一般項 cj を持つ無限級数は，
Sj 0
収束するか発散するかを，根拠を式で示した上で答えよ．
（豊橋技術科学大学 2011 ）

Download Report