年 番号 1 3 x を 2 より小さい実数として,関数 f(x) を f(x) = 4x ¡ 7 x¡2 また,n を自然数とする.このとき以下の問いに答えよ. (1) z = n であるような三角形の個数を an とするとき,a5 および a6 を求めよ. (2) (1) の an を n の式で表せ. (1) 曲線 y = f(x) のグラフの概形を座標平面上に描け. 5 5 (2) 点 # ; f # ;; における曲線 y = f(x) の接線の方程式を求めよ. 4 4 (3) 直線 5x ¡ 2y = a が曲線 y = f(x) の法線となるときの実数 a の値を求めよ. (4) 曲線 y = f(x) と x 軸,y 軸で囲まれた図形の面積 S を求めよ. (5) 曲線 y = f(x) と x 軸,y 軸で囲まれた図形を x 軸のまわりに 1 回転してできる回転体の体積 V を求めよ. x = 0 を満たす実数 x の範囲を定義域とする関数 x¡1 E f(x) = 3x (3) z 5 n であるような三角形の個数を bn とする. ‘ bn を n の式で表せ. ’ bn > 2015 となるような最小の自然数 n を求めよ. (4) z = n であるような三角形で二等辺三角形でないものの個数を cn とするとき,cn を n の式で 表せ. ( 東京理科大学 2015 ) ( 東京理科大学 2015 ) 不等式 各辺の長さが整数であるような三角形を考え,その 3 辺の長さを x; y; z (x 5 y 5 z) とする. (x < 2) と定め,座標平面上で曲線 y = f(x) を考える. 2 氏名 x x¡1 について,以下の問いに答えよ. (1) 関数 f(x) の定義域を求めよ. f(x) f(x) (2) a1 = lim ,a2 = lim とする.a1 ,a2 の値を求めよ. x x x!1 x!¡1 (3) (2) の a1 ; a2 に対して,b1 = lim (f(x) ¡ a1 x),b2 = lim (f(x) ¡ a2 x) とする.b1 ,b2 x!1 x!¡1 の値を求めよ. (4) 関数 f(x) の極小値を求めよ. (5) 曲線 y = f(x) の漸近線の方程式を求めよ. (6) k を定数とするとき,方程式 f(x) = k の実数解の個数を求めよ. ( 東京理科大学 2015 ) 4 次の ∼ ア にあてはまる 0 から 9 までの数字,および, ヒ あ にあてはまる + か ¡ の符号を入れよ. 5 定数 a に対し, f(x) = a sin 2x ¡ tan x p を 3 で割り切れない整数とする.このとき,整数 a と b に対し, 「 pa ¡ b が 3 の倍数ならば,a ¡ pb も 3 の倍数になる. 」 は 0,1,2 いずれかの数で pa1 ¡ b1 が 3 の倍数になるようなものとし,n = 2; 3; Ý に対し, an ; bn を次のように定める. 1 ¼ であるとする.実数 µ を,0 < µ < かつ f(µ) = 0 を満たすものとするとき,cos µ 2 2 を a を用いて表せ. (1) a > (2) 不定積分 ² an = 1 (an¡1 ¡ pbn¡1 ) 3 Z ² bn は,0; 1; 2 いずれかの数で pan ¡ bn が 3 の倍数となるようなものとする. このように定められた 2 つの整数列 fan g; fbn g について,以下の各問いに答えよ. a4 = ¡ カ ,b4 = ア キ ,a2 = ¡ ,a5 = ¡ ,b192 = タ 200 P (3) p = ¡13 のとき, ak = となる. k=1 30 P (4) p = ¡13 のとき, k=1 2 k bk = チ ,b190 = ツ ウ ,b5 = ク サ ソ ,b2 = イ (2) p = ¡13 のとき,a190 = a192 = シ ケ ,a3 = ¡ ,a6 = ¡ ,a191 = ス エ ,b4 = コ オ , となる. ,b191 = セ , ノ f(x) dx を求めよ. 1 (3) < a < 1 であるとする.このとき, 2 Z 0 ¼ 4 f(x) dx + log a を a の 1 次式で表せ.ただし,log は自然対数を表す. となる. テ ( 東京理科大学 2015 ) ト ナ ニ ヌ となる. (5) p = 311 + 1 のとき,数列 fbn g の第 2 項目以降で 0 でない値が初めて出てくるのは,第 ネ ¼ ; 2 とおく. がわかる.これを認めて,2 つの整数列 fan g; fbn g を以下のように定める.a1 = 1 とし ,b1 (1) p = 8 のとき,b1 = #0 5 x < 項目であり,その項の値は ハ である. (6) 数列 fbn g のすべての項が 1 となるような整数 p で絶対値が最小となるものは, あ ヒ である.0 のときは,+0 で表すものとする. ( 東京理科大学 2015 )
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