f(x) - SUUGAKU.JP

年番号
1
3
x を 2 より小さい実数として，関数 f(x) を
f(x) =
4x ¡ 7
x¡2
また，n を自然数とする．このとき以下の問いに答えよ．
(1) z = n であるような三角形の個数を an とするとき，a5 および a6 を求めよ．
(2) (1) の an を n の式で表せ．
(1) 曲線 y = f(x) のグラフの概形を座標平面上に描け．
5
5
(2) 点 # ; f # ;; における曲線 y = f(x) の接線の方程式を求めよ．
4
4
(3) 直線 5x ¡ 2y = a が曲線 y = f(x) の法線となるときの実数 a の値を求めよ．
(4) 曲線 y = f(x) と x 軸，y 軸で囲まれた図形の面積 S を求めよ．
(5) 曲線 y = f(x) と x 軸，y 軸で囲まれた図形を x 軸のまわりに 1 回転してできる回転体の体積
V を求めよ．
x
= 0 を満たす実数 x の範囲を定義域とする関数
x¡1
E
f(x) = 3x
(3) z 5 n であるような三角形の個数を bn とする．
‘ bn を n の式で表せ．
’ bn > 2015 となるような最小の自然数 n を求めよ．
(4) z = n であるような三角形で二等辺三角形でないものの個数を cn とするとき，cn を n の式で
表せ．
（東京理科大学 2015 ）
（東京理科大学 2015 ）
不等式
各辺の長さが整数であるような三角形を考え，その 3 辺の長さを x; y; z (x 5 y 5 z) とする．
(x < 2)
と定め，座標平面上で曲線 y = f(x) を考える．
2
氏名
x
x¡1
について，以下の問いに答えよ．
(1) 関数 f(x) の定義域を求めよ．
f(x)
f(x)
(2) a1 = lim
，a2 = lim
とする．a1 ，a2 の値を求めよ．
x
x
x!1
x!¡1
(3) (2) の a1 ; a2 に対して，b1 = lim (f(x) ¡ a1 x)，b2 = lim (f(x) ¡ a2 x) とする．b1 ，b2
x!1
x!¡1
の値を求めよ．
(4) 関数 f(x) の極小値を求めよ．
(5) 曲線 y = f(x) の漸近線の方程式を求めよ．
(6) k を定数とするとき，方程式 f(x) = k の実数解の個数を求めよ．
（東京理科大学 2015 ）
4
次の
∼
ア
にあてはまる 0 から 9 までの数字，および，
ヒ
あ
にあてはまる + か
¡ の符号を入れよ．
5
定数 a に対し，
f(x) = a sin 2x ¡ tan x
p を 3 で割り切れない整数とする．このとき，整数 a と b に対し，
「 pa ¡ b が 3 の倍数ならば，a ¡ pb も 3 の倍数になる．
」
は 0，1，2 いずれかの数で pa1 ¡ b1 が 3 の倍数になるようなものとし，n = 2; 3; Ý に対し，
an ; bn を次のように定める．
1
¼
であるとする．実数 µ を，0 < µ <
かつ f(µ) = 0 を満たすものとするとき，cos µ
2
2
を a を用いて表せ．
(1) a >
(2) 不定積分
² an = 1 (an¡1 ¡ pbn¡1 )
3
Z
² bn は，0; 1; 2 いずれかの数で pan ¡ bn が 3 の倍数となるようなものとする．
このように定められた 2 つの整数列 fan g; fbn g について，以下の各問いに答えよ．
a4 = ¡
カ
，b4 =
ア
キ
，a2 = ¡
，a5 = ¡
，b192 = タ
200
P
(3) p = ¡13 のとき，
ak =
となる．
k=1
30
P
(4) p = ¡13 のとき，
k=1
2
k bk =
チ
，b190 =
ツ
ウ
，b5 =
ク
サ
ソ
，b2 =
イ
(2) p = ¡13 のとき，a190 =
a192 =
シ
ケ
，a3 = ¡
，a6 = ¡
，a191 =
ス
エ
，b4 =
コ
オ
，
となる．
，b191 =
セ
，
ノ
f(x) dx
を求めよ．
1
(3)
< a < 1 であるとする．このとき，
2
Z
0
¼
4
f(x) dx + log a
を a の 1 次式で表せ．ただし，log は自然対数を表す．
となる．
テ
（東京理科大学 2015 ）
ト
ナ
ニ
ヌ
となる．
(5) p = 311 + 1 のとき，数列 fbn g の第 2 項目以降で 0 でない値が初めて出てくるのは，第
ネ
¼
;
2
とおく．
がわかる．これを認めて，2 つの整数列 fan g; fbn g を以下のように定める．a1 = 1 とし，b1
(1) p = 8 のとき，b1 =
#0 5 x <
項目であり，その項の値は
ハ
である．
(6) 数列 fbn g のすべての項が 1 となるような整数 p で絶対値が最小となるものは，
あ
ヒ
である．0 のときは，+0 で表すものとする．
（東京理科大学 2015 ）

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