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１変数の関数と微分
数について
• 解析の教科書は数から始まることが多い
• 頭を慣らしがてら、スタート
数の種類
• 鉛筆が一本10円で、5本買うと、10円／本×5本
＝50円になる
• 鉛筆が一本p円で、 x 本買うと、 p x円
• 鉛筆の例では、 pと x は、自然数(Natural
Number)(1や10や32)
• マイナスも入れると整数(Integer)
– マイナスの経済変数は、すべて正の変数の差?
• 分数で書けるのが有理数(rational number) 2
3
• 有理数の代数的性質(Field Property)
– 和と積が定義
– 0と1があり、すべてのaに対し、０＋a=1×a=a
– －と逆数の存在
1
1


a :   a  , a    a   1 a  0     , a     1
a
a


– 交換則・結合則・分配則
a  b  b  a, ab  ba
 a  b   c  a   b  c  ,  ab  c  a  bc 
a  b  c   ab  ac
• これらから  1   1  1
• 他に大小関係がある
無理数と実数
• 分数で書けないのが無理数(irrational number)2, 
• ここまでが実数(real number)・・経済学で主に使
う
• 実数は連続である、極限について閉じている
• 解析概論(高木貞二「解析概論」岩波書店)では、
Dedekind切断を用いた連続性の話で始まる
• ・・大学生の教養
複素数
x  iy
経済学で出てくることがある。
だいたい三角関数と一緒にでてくる
上界と下界
A : 実数の部分集合
x  A  x  a : aはAの上界  x  a : aはAの上界
Aの上界 下界が存在  Aは上に 下に 有界
Aが有界  Aが上と下に有界
Aの上限  Aの最小上界  sup A  uなら
x  A  x  u　は
(u Aの上界)
v  u  x  A, v  x　( uはAの上界で最小)
ある、存在する すべての
nm, m  n : 整数について正しい
nm, m  n :自然数について正しい
 ,  小さい正の実数によく使う
  0  x  A, u    x ( uはAの上界で最小)
Aの下限  Aの最大下界  inf A
対称的に定義される
Aが上( 下) に有界⇒sup A  inf Aが存在
実数の連続性の公理の一つ
 1 1

A   1, , ,....   sup A  1  A,inf A  0  A
 2 3

数列の収束
lim n an  a
  0,N ,
n  N  an  a <
コ－シー列
  0,N ,
n, m  N  an  am <
• 実数のコーシー列は収束する(実数の連続
性)
• コ－シ－列は収束先が定義できなくても定義
できる
• コ－シ－列が収束する空間は、完備空間で
実数空間は、その例
• 実数空間は、有理数空間の完備化空間=有
理数空間のコ－シ－列の空間
上極限と下極限
lim sup n an  lim inf n an  a
lim an  a
上極限と下極限(続き)
limsupn an  a
aより少しでも大きい aに対しては、それより小さいanは、有限しかないが、
aより少しでも小さい aに対しては、それより大きいanは、無限にある。
b  a, N , n  N  an  b



& b  a, N , n  N  an  b
liminf n an  a
対称的に定義
上極限と下極限(続き2)
n
n 1
n
n
an 
 1 , bn 
 1
n 1
n

lim sup n an  lim sup n bn  1
1より大きいanは一つもない、
1より大きいbnは、無限にある。
上極限と下極限(続き3)
limsupn an  limn supan , an1,......
liminfn an  limn inf an , an1,.....
supan , an1,......は単調減少
inf an , an1,......は単調増加
有界な単調数列の極限の存在も
実数の連続性の公理
一変数の(実(数値))関数
• 実数を一つ決めたとき、実数が一つ決まる
– 例 x22x5
– x :変数(variable)
線形関数
• 鉛筆が一本p円で、 x 本買うと、 p x円
x :変数(variable)とすると線形関数
a x と同じ
原点を通り傾きがpの直線
• アフィン関数(1次関数)
最初b円持っていて、p円の鉛筆、 x 本買うと、残り
は b p x円
切片がbで傾きが pの直線
変数とパラメータ
• 鉛筆が一本p円で、 x 本買うと、 p x円
pを変えると様々な関数になる。
このとき、 xが変数だとpはパラメータ
• 何が変数で何がパラメータかは、文脈で決ま
る
• 推測統計学のパラメータとは異なる。
１変数の関数の例
ax
ax  b
線形関数、
アフィン関数、
a0  a1 x  ...  an x
n
a0  a1 x  ...  an x
m
b0  b1 x  ...  bm x
多項式
n
有理関数
べき(冪 )関数(power function)
x

2  2  48  2  2
2
3
5
22  21  4  21  221  2

1 x x

x
 
x
0
23


 
x x x
1
2 
2
1
x0  1
x

1
 
x
べき関数(つづき)
x

2
 
2   2 2  2
 
1
2
x
1
2
n
m
極限を取る
1
2
1 1

2 2
2
1
2
2  2
xのm乗根のn乗
x

x>0,は実数
べき関数のグラフ
x1.5
x
0.8
x>0, 10右上がり、上に凸(凹関数 )
x>0,1右上がり、下に凸(凸関数 )
反比例と直角双曲線
1
1
x
反比例
グラフは直角双曲線
x>0, 0 右下がり、下に凸・・直角双曲線(1と似
た形
指数関数
a
x
a0
指数関数のグラフ
1.5
x
0.8x
a
x
a>1, 右上がり、下に凸
1>a>0, 右さがり、下に凸
普通の指数関数(exponential
function)
n
1 1
 1
a  e  lim n 1    1    .....  2.7182818284590451....
2 3!
 n
にとる(自然対数の底・ネピア数)
e  exp  x 
x
de
x
e
dx
x
微分しても不変
対数関数(logarithmic function)
a  y  y  log a x
x
• 普通の対数関数(自然対数)はa=e
log x, ln x
• 微分すると
1
x
指数関数と対数関数の定義
• １つ定義すると残りは出る
– ネピア数の指数関数
– ネピア数が底の対数関数

k
x
e 
k 0 k !
x1
ln x   dt
1 t
x
片対数のグラフ
水準に関係なく、二倍になるのが同程度難しい
経済変数(例物価)の長期変動は、縦軸を対数
にとったほうが分かりやすい
消費者物価指数(CPI)
CPIの対数
120.00
5
4.5
100.00
4
3.5
80.00
3
60.00
2.5
2
40.00
1.5
1
20.00
57
53
49
45
41
37
33
29
25
21
17
13
9
5
0
1
57
53
49
45
41
37
33
29
25
21
17
13
9
5
0.00
1
0.5
対数関数の和と指数関数の積
exp  x  exp  y   e e  e
x y
x y
 exp  x  y 
ln  X   ln Y   ln  XY 
 X  e x , Y  e y , XY  e x  y
a 
x
y
 a で a は×
xy
xy
自信がなくなったら、2とか3を入れて確認
逆関数(inverse function)
f  x が厳密に増加的あるいは厳密に減少的な関数
f  g  y   y
g  y  f
1
 y
f  x  の逆関数
ff
1
 y    y, f  f  x    x
1
exp  x  : ln  x の逆関数
ln  x  : exp  x の逆関数
y
f  x
x f 1  y 
三角関数
sin 60  sin

3
(0,1)から円周上に計った弧の長さ

3

2
sin 
,sin 
,sin 2  0
3
2
4
2
必要に応じて説明
関数の微分
• 関数(function)
実数を一つ決めると、実数が一つ決まる
写像(mapping) と同じ
f(x),g(x)など
経済学では、 D(p):需要関数
定義域(domain)
有理式では、分母が0でない領域
対数関数やベキ関数では、正の実数
値の範囲が値域
連続関数
f  x がaで連続  limxa f  x   f  a 
εｰδ式の定義
すべての   0に対して、ある   0があって
x  a    f  x  f a  
  0,   0, x  a    f  x   f  a   
εｰδ式の定義の例
f  x   x がx  aで連続
2
xa  
f  x   f  a   x2  a2  x  a x  a
 x  a  2a x  a   x  a  2a  x  a    2a  

 2a  4a 2  4
  2a       
2


  x  a    f  x  f a  



開区間と閉区間
a<bの
(a,b) aとbを含まない
[a,b] aとbを含む
(,b) bより厳密に小さい実数の集合
Exteded real number
とを含む
測度論で出てくる
) やは、00のように定義できないようにすればい
い×00
区間での連続
f (x)が (a,b)の各点で連続のとき
f (x) は(a,b)で連続
(a,b]などのときは、片側の区間でいい
一様連続
• 普通の連続はεｰδ式で、 δが評価点に依存
f  x   x がx  aで連続
2

 2a  4a 2  4
 
2


  x  a    f  x  f a  



 2a  4a 2  4


 0   a  
2
2
a a 
• 評価点に依存しないで、区間で一定に取れれ
ば一様連続
定義域が0,b    b  b   でいい
2
区間のいたるところ不連続な関数
の例
• 有理数で1無理数で0をとる関数
(ii)関数の微分(differentiation)
lim x a
f  x  f a
が存在
xa
f  x  が aで微分可能
lim x a
f  x  f a
 f 'a
xa
f 'a
a
導関数(derivative)
区間の各点で微分可能なら区間で微分可能
f '  a はaの関数　: 導関数
df  x  df
f ' x ,
, などの記法
dx dx
中に何が入っているか文脈で判断
より一般的な議論
limsup xa
f  x  f a
f  x  f a
 liminf xa
xa
xa
は∞、－ ∞を入れれば必ず存在
両者が一致して有限のとき
f '  a   lim xa

limsup xa
f  x  f a
xa
f  x  f a
f  x  f a 

 limba supb x a

xa
xa


中括弧の中は、単調減少なので必ず極限がある
微分可能性と連続性
• 微分可能な関数は連続
• 導関数が連続な関数は連続微分可能
• 導関数が微分可能なときその微分が二階微
分
• 二階微分が連続のとき二階連続微分可能
• 連続なのは、微分(導関数)のほう
• このあたりだと、微分と積分が逆になるなど、
だいたい都合のいい性質を持つ
主な微分公式
a
dx
a 1
 ax
dx
d sin x
 cos x
dx
x
de
x
e
dx
d ln x 1

dx
x
d cos x
  sin x
dx
• 導くのは難しくないが略
• これと、積と合成関数の公式をくみあわせれ
ば、いくらでも練習問題ができる。
積の微分
定理
f(x) と g(x)がある区間 (a,b)で微分可能であるとする。
h(x)= f(x)g(x) とするとh(x)は(a,b)で微分可能で
h’(x)= f’(x) g(x)+ f(x)g’(x)
• 「数学者の仕事は、定理(theorem)を証明する(prove)ことで
ある」
• 定義(definition)を作ること?
• 命題(proposition)・・定理とほとんど同じ
• 補題 (lemma)・・・主要な定理・命題の証明に使う小定理
• 系(Corollary ) ・・・定理や命題からすぐに出る命題
積の微分の説明
h  x    h  x f  x   g  x    f  x g  x



f  x   g  x    f  x g  x    f  x g  x    f  x g  x


 f  x    f  x 
 g  x    g  x 
 g  x  
  f  x








f ' x

g ' x
積の公式の応用例
d
d 
d 
 x  x   x  x  x   x 
dx
 dx 
 dx 
d n
n 1
帰納法を使うと  x   nx
dx
(v)合成関数の微分
合成関数
h(x)= f(g(x))
xの値⇒ g(x)の値 ⇒ h(x)= f(g(x))の値
合成関数の微分の公式
h’(x)= f’(g(x)) g’(x)
f’(g(x)) :導関数f’(・)にg(x) の値を入れる
合成関数の微分公式の説明
f  g  x     f  g  x 

f  g  x     f  g  x  g  x     g  x 

g  x    g  x

 
f '  g  x  g '  x  g  x     g  x  が0を取ったり取らなかったりすると困る
 2
1
x
sin
x0



g  x  
x

0
x0

解析概論では別の証明
微分公式を使った例
1
d  1  d

   g  x  
dx  g  x   dx
 f '  g  x   g '  x   f  z   z , f '  z   1 z
1

g ' x
g  x
2
2
 f '  g  x    1 g  x   
2
1
g  x
2
商の微分の公式
d  f  x d 
1 

   f  x  

dx  g  x   dx 
g  x
1
d  1 
 f ' x
 f  x  

g  x
dx  g  x  
f ' x
g ' x

 f  x
2
g  x
g  x

f ' x g  x  f  x g ' x
g  x
2
f ' f g'


g g g
対数微分
d
ln g  x  

dx
 f '  g  x  g '  x 
g ' x
1

g ' x 
g  x
g  x
1
 f  z   ln z , f '  z  
z
逆関数の微分
ff
1
 y   y

f ' f
1
 y 
df
1
 y  1
dy

df 1  y 
1

1
dy
f ' f  y 
平均費用と限界費用
C  x
あるものをx作るのに必要な(総)費用
C  x
AC  x  
x
MC  x   C '  x 
平均費用
限界費用
平均費用と限界費用(続き)
d
d C  x
AC  x  
dx
dx x
xC '  x   C  x   f  f ' g  g ' f

  
, g  x   x, f  x   C  x 
2
2
x
g
g
C  x  1
1
 C '  x  
  C '  x   AC  x 
x
x  x
平均費用と限界費用(続き2)
d
1
AC  x   C '  x   AC  x 
dx
x

MC  x  § AC  x   AC '  x  § 0
限界費用が平均費用より
大きい(小さい)ときは、
平均費用が右上がり(右下がり)、
限界費用と平均費用が等しいときは、
平均費用の傾きが0
x
生産
中間値の定理、
[a,b], ab でf (x)が連続、
min[f (a), f (b)] c  max[f (a), f (b)]
なら
f (z) cがスパッと成り立つzが一つとは限らないが存在する。
c
a
zb
関数の極大極小
f  x  が aで極大    0 : x   a   , a     f  x   f  a 
x0
 x

f  x   0
0  x 1
x 1 1  x

極大
f  x  が aで極大    0 : x   a   , a     f  x   f  a 
x   a, a   
f  x  f a
0
xa
lim xa
f  x  f a
 f '  a   0
xa
x   a   , a  , 分母の符号に注意
f  x  f a
0
xa
lim xa
f  x  f a
 f '  a   0
xa
f  x  がaで微分可能  0  f '  a   f '  a   f '  a   0  f '  a   0
極小も f '  a   0
Rolleの定理
f  b   f  a  , f は  a, bで微分可能

  0,1 , f '  b  1    a   0
 a, bはコンパクト、 f は微分可能⇒連続
 f が定数でない
　   0,1 ,  b  1    で最大をとる

f '  b  1    a   0
a
 b  1    a
b
平均値の定理
fは微分可能
f  x
f a
a
 x  1    a
x
f  x   f  a    x  a  f '  x  1    a 
がスパッと成り立つ   0,1がある。
  0,1 , f  x   f  a    x  a  f '  x  1    a 
f b  f  a 
  x  f  x 
 x  a
ba
  a     b  f  a 
Rollの定理
   0,1 :  '  b  1    a 
f b   f  a 
 f '  b  1    a  
ba
0
平均値の定理(序)
f  a    x  a  f '  a  aの近くでのf (x)の近似
f a   x  a f 'a
f  x
a
x
平均値の定理
fは微分可能
f  x
f a
a
 x  1    a
x
f  x   f  a    x  a  f '  x  1    a 
がスパッと成り立つ   0,1がある。
平均値の定理(積分型)
f  x   f  a    x  a  f '  x  1    a 
f  x  f a
 f '  x  1    a  : 平均変化率  微分
xa

b
a
f '  x dx
 f '  b  1    a 
ba
 g  f '
 g  x dx  g  b  1    a 
b
a
ba
平均値の定理(積分型・続き)
 g  x dx  g  b  1    a 
b
a
ba
b
b
1
1
a b  a g  x dx  g  b  1    a  , a b  adx  1
より一般に以下の命題が成立する・・
 h  x dx  1, h  x   0
b
a

   0,1 ,  g  x  h  x dx  g  b  1    a 
b
a
テーラー展開(2次)
f " a 
2
f a   x  a f 'a 
 x  a
2
aの近くでのf (x)の2次の近似
f  x  f a   x  a f 'a 
f "  x  1    a 
2
 x  a
2
二回連続微分可能なら
ある 0,1 でスパッと成り立つ
テーラー展開(n次)
f " a 
2
f  x  f a   x  a f 'a 
x

a

 
2
 n
f
 x  1    a 
f  n 1  a 

n 1
n
.... 
 x  a 
 x  a
n!
 n  1!
n回連続微分可能なら
ある 0,1 でスパッと成り立つ
テーラー級数
a=0のテーラー展開を無限の伸ばす
f " 0 2
f  x   f  0   xf '  0  
x 
2
n 1
n
k
f    0  n 1 f    0  n

k  x
.... 
x 
x ....   k 0 f  0 
n!
k!
 n  1!
これが成立するのが整関数
指数関数のテーラー展開
exp  x   exp  0   x exp  0 
exp  0 "

'
x
2
2
 ....
exp  0  2
 exp  0   exp  0  x 
x  .....
2
n
 x
  n 0
n!
複素数まで入れたときの指数関数の定義
正弦関数のマクローリン展開
sin  x   sin  0   x sin  0 
sin  0 "
sin  0  '''


'
x 
x
2
2
3!
sin  0  2 cos  0  3
 sin  0   x cos  0  
x 
x  ...
2
3!
2 k 1
1 3 1 5
  1 x
 0  x  x  x  ...   k 0
3!
5!
 2k  1!
k
複素数まで入れたときのsin(x)の定義
3
 ....
余弦関数のマクローリン展開
cos  x   cos  0   x cos  0 
cos  0 "
cos  0  '''


'
x 
x
2
2
3!
cos  0  2 sin  0  3
 cos  0   x sin  0  
x 
x  ...
2
3!
2k
1 2 1 4
  1 x
 1  x  x  ....   k 0
2!
4!
 2k  !
k
複素数まで入れたときのcos(x)の定義
3
 ....
オイラーの公式
n
1 2
 x
exp  x   1  x  x  ....   n 0
2
n!
1
1
2
3
exp  ix   1   ix    ix    ix   ......
2
3!
1 3 1 5
 1 2 1 4
 
 1  x  x  ...   i  x  x  x 
4!
3!
5! 
 2
 
 cos  x   i sin  x 
三角関数の加法定理
exp  ix  exp  iy    cos  x   i sin  x    cos  y   i sin  y  
 cos  x  cos  y   sin  x  sin  y   i  sin  x  cos  y   cos  x  sin  y  
exp  ix  exp  iy   exp  i  x  y  
 cos  x  y   i sin  x  y 

cos  x  y   cos  x  cos  y   sin  x  sin  y 
sin  x  y   sin  x  cos  y   cos  x  sin  y 

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