Übungsblatt 11
Lineare Algebra I, SoSe 2016
Dr. Matthias Köhne, Dr. Benno Kuckuck
Ausgabe: Di., 21.06.2016, Abgabe: Di., 28.06.2016
Aufgabe 44: (Lineare Gleichungssysteme, Elementarmatrizen)
Betrachten Sie das lineare Gleichungssystem
[12 Punkte]
x1 − 2x2 + x3 + x4 + x5 = −1,
2x1 − 4x2 + 2x3 + 3x4 + x5 =
1,
2x3 + 2x4 − 2x5 =
4,
−x1 + 2x2 − x3 − 2x4
= −2.
Geben Sie zunächst eine Matrix A ∈ R45 und einen Vektor y ∈ R4 an, so dass sich das Gleichungssystem
schreiben lässt als Ax = y. Wenden Sie dann den Gauß-Algorithmus auf die erweiterte Matrix (A | y) an, um
alle Lösungen x ∈ R5 des Gleichungssystems zu bestimmen. Bestimmen Sie rnk A sowie eine Basis von N (A).
Geben Sie Elementarmatrizen M1 , . . . , Mn ∈ R44 an, so dass B := M1 M2 · · · Mn A ∈ R45 in Zeilenstufenform ist.
Schreiben Sie dabei die Elementarmatrizen explizit aus und verifizieren Sie Ihre Wahl durch explizite Berechnung
von B als Produkt der Elementarmatrizen und A.
Aufgabe 45: (Inverse Matrizen)
Betrachten Sie die Matrizen
1 −2 0
2 1 ∈ R33
A= 0
−1
1
[12 Punkte]
und
[1]n [−2]n
[0]n
An = [0]n
[2]n
[1]n ∈ (Zn )33
[−1]n
[1]n
[2]n
2
für n ∈ { 3, 5 }.
Bringen Sie die erweiterten Matrizen (A | E3 ), (A3 | E3 ) und (A5 | E3 ) durch elementare Zeilenoperationen jeweils
in Zeilenstufenform und – falls möglich – in die Form (E3 | B) mit einer geeigneten Matrix B ∈ F33 . Hierbei
bezeichnet F im Falle von A den Körper der reellen Zahlen bzw. im Falle von An den Körper Zn für n ∈ { 3, 5 }
und E3 ∈ F33 die zugehörige 3 × 3-Einheitsmatrix. Entscheiden Sie, ob A, A3 bzw. A5 invertierbar ist und
bestimmen Sie ggf. die inverse Matrix.
Aufgabe 46: (Basiswechselmatrizen)
Betrachten Sie die beiden Basen
1
1
2
BX = 1 , 0 , −3 ,
0
−1
0
[10 Punkte]
0
BX
1
1
2
= 0 , 2 , −1
1
0
0
0
und bestimmen Sie die Basiswechselmatrix S = M (id, BX , BX
). Bestimmen Sie weiterhin die Basiswechselma0
trix T = M (id, BX
, BX ) einmal direkt und einmal unter Ausnutzung von T = S −1 .
Aufgabe 47: (Alternierende Multilinearformen)
[6 Punkte]
Seien F ein Körper und X ein F -linearer Raum mit dimF X = n ∈ N. Sei ω eine alternierende Multilinearform
auf X und seien x1 , . . . , xn ∈ X linear abhängig. Zeigen Sie, dass dann ω(x1 , . . . , xn ) = 0 ist.
Hinweis: Überlegen Sie sich zunächst, ob einer der Vektoren xk als Linearkombination der anderen Vektoren
{ xj : 1 ≤ j ≤ n, j 6= k } dargestellt werden kann.
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