演習問題略解 問 11 弦の波動方程式は ytt = v 2 uxx である.y(x, t) = X(x)T (t) とし,方程式に代入すると, XT ′′ = v 2 X ′′ T, T ′′ X ′′ = v2 = µ (定数) T X となる.µ の値によって解が異なるので場合分けをする. (i)µ > 0 の場合 µ = λ2 とおくと,x と t の微分方程式は次式となる. T ′′ − λ2 T = 0, X ′′ − λ2 X=0 v2 それぞれの解をまとめると,y(x, t) は ) ( )( λ λ y(x, t) = c1 eλt + c2 e−λt c3 e v x + c4 e− v x となる.境界条件 y(0, t) = 0,y(1, t) = 0 を代入すると { ( ) y(0, t) = c1 eλt + c2 e−λt ( (c3 + c4 ) = 0 ) ( λt ) λ λ −λt y(1, t) = c1 e + c2 e c3 e v + c4 e− v = 0 この境界条件を満たすには c3 = c4 = 0 で,そのときの解は y(x, t) = 0 となり,意味を持たない. (ii)µ = 0 の場合 方程式は T ′′ = 0,X ′′ = 0 となり,解は y(x, t) = (c1 t + c2 )(c3 x + c4 ) となる.境界条件を代入すると { y(0, t) = (c1 t + c2 )c4 = 0 y(1, t) = (c1 t + c2 )(c3 + c4 ) = 0 この境界条件を満たすには c3 = c4 = 0 で,そのときの解は y(x, t) = 0 となり,意味を持たない. (iii)µ < 0 の場合 µ = −λ2 とおくと,x と t についての方程式は T ′′ + λ2 T = 0, X ′′ + λ2 X=0 v2 となる.それぞれの解をまとめると,y(x, t) は ( ) λ λ y(x, t) = (c1 cos λt + c2 sin λt) c3 cos x + c4 sin x v v 1 となる.境界条件 y(0, t) = 0,y(1, t) = 0 を代入すると y(0, t) = (c1 cos λt + c2 sin λt) c3 = 0 ( ) λ λ y(1, t) = (c1 cos λt + c2 sin λt) c3 cos + c4 sin =0 v v 任意の時刻 t において,境界条件が成り立ち,c4 ̸= 0 であるには, c3 = 0, λn = vπn (n = 1, 2, · · ·) が成り立つ.このときの y(x, t) は y(x, t) = = ∞ ∑ n=1 ∞ ∑ (c1n cos vnπt + c1n sin vnπt) c4n sin nπx (An cos vnπt + Bn sin vnπt) sin nπx n=1 ただし,An = c1n c4n ,Bn = c2n c4n である.次に初期条件から An ,Bn を求める.まず,y(x, 0) につ いて, y(x, 0) = ∞ ∑ An sin nπx = f (x) n=1 { f (x) = −x x−1 0<x≤ 1 2 1 2 <x<1 である.An はフーリエ正弦展開を適用することによって ∫ 1 f (x) sin nπxdx = − An = 2 0 ( nπ ) 4 sin n2 π 2 2 を得る.次に ∂y/∂t|t=0 について, ∞ ∑ ∂y = (Bn vnπ) sin (nπx) = 0 ∂t t=0 n=1 である.フーリエ正弦展開を適用することにより Bn = 0 を得る.以上より,解は次のようになる. y(x, t) = ∞ ∑ n=1 − ( nπ ) 4 sin cos (nπvt) sin (nπx) n2 π 2 2 2
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