演習問題略解（6月14日実施分）

演習問題略解
問 11
弦の波動方程式は
ytt = v 2 uxx
である．y(x, t) = X(x)T (t) とし，方程式に代入すると，
XT ′′ = v 2 X ′′ T,
T ′′
X ′′
= v2
= µ (定数)
T
X
となる．µ の値によって解が異なるので場合分けをする．
(i)µ > 0 の場合
µ = λ2 とおくと，x と t の微分方程式は次式となる．
T ′′ − λ2 T = 0,
X ′′ −
λ2
X=0
v2
それぞれの解をまとめると，y(x, t) は
)
(
)( λ
λ
y(x, t) = c1 eλt + c2 e−λt c3 e v x + c4 e− v x
となる．境界条件 y(0, t) = 0，y(1, t) = 0 を代入すると
{
(
)
y(0, t) = c1 eλt + c2 e−λt (
(c3 + c4 ) = 0 )
( λt
)
λ
λ
−λt
y(1, t) = c1 e + c2 e
c3 e v + c4 e− v = 0
この境界条件を満たすには c3 = c4 = 0 で，そのときの解は y(x, t) = 0 となり，意味を持たない．
(ii)µ = 0 の場合
方程式は T ′′ = 0，X ′′ = 0 となり，解は
y(x, t) = (c1 t + c2 )(c3 x + c4 )
となる．境界条件を代入すると
{
y(0, t) = (c1 t + c2 )c4 = 0
y(1, t) = (c1 t + c2 )(c3 + c4 ) = 0
この境界条件を満たすには c3 = c4 = 0 で，そのときの解は y(x, t) = 0 となり，意味を持たない．
(iii)µ < 0 の場合
µ = −λ2 とおくと，x と t についての方程式は
T ′′ + λ2 T = 0,
X ′′ +
λ2
X=0
v2
となる．それぞれの解をまとめると，y(x, t) は
(
)
λ
λ
y(x, t) = (c1 cos λt + c2 sin λt) c3 cos x + c4 sin x
v
v
1
となる．境界条件 y(0, t) = 0，y(1, t) = 0 を代入すると
y(0, t) = (c1 cos λt + c2 sin λt) c3 = 0
(
)
λ
λ
y(1, t) = (c1 cos λt + c2 sin λt) c3 cos + c4 sin
=0
v
v
任意の時刻 t において，境界条件が成り立ち，c4 ̸= 0 であるには，
c3 = 0, λn = vπn (n = 1, 2, · · ·)
が成り立つ．このときの y(x, t) は
y(x, t) =
=
∞
∑
n=1
∞
∑
(c1n cos vnπt + c1n sin vnπt) c4n sin nπx
(An cos vnπt + Bn sin vnπt) sin nπx
n=1
ただし，An = c1n c4n ，Bn = c2n c4n である．次に初期条件から An ，Bn を求める．まず，y(x, 0) につ
いて，
y(x, 0) =
∞
∑
An sin nπx = f (x)
n=1
{
f (x) =
−x
x−1
0<x≤
1
2
1
2
<x<1
である．An はフーリエ正弦展開を適用することによって
∫
1
f (x) sin nπxdx = −
An = 2
0
( nπ )
4
sin
n2 π 2
2
を得る．次に ∂y/∂t|t=0 について，
∞
∑
∂y =
(Bn vnπ) sin (nπx) = 0
∂t t=0 n=1
である．フーリエ正弦展開を適用することにより Bn = 0 を得る．以上より，解は次のようになる．
y(x, t) =
∞
∑
n=1
−
( nπ )
4
sin
cos (nπvt) sin (nπx)
n2 π 2
2
2

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