『振動と波動』小テスト

『振動と波動』小テスト
学籍番号
氏
名
【問題】
右図に示すような一端固定、他端単純支持ばりの曲げ
振動に関する振動数方程式を求めよ。
ただし、単位体積質量：w，断面積：A，曲げ剛性：EI
は、すべて一定とする。
評点
x

【解答】
y
【解答】
固定端でたわみとたわみ角が 0，単純支持端でたわみおよび曲げモーメントが 0 であるから、境界条
件は次のようになる。
dX

 x  0：X  0, dx  0

2
 x  ：X  0, d X  0

dx 2
したがって、次の 4 式が得られる。
………①
C1  C3  0
………②
C2  C4  0
………③
C1 cos   C2 sin   C3 cosh   C4 sinh   0
 2C1 cos    C2  2 sin    C3 2 cosh    C4  2 sinh    0
………④
※式①，②より、C3   C1 ，C4   C2 だから、これを式③，④に代入し、  0 を使って整理すると、
C1  cos    cosh     C2  sin    sinh     0
………③’
C1  cos    cosh     C2  sin    sinh     0
………④’
③’×  sin    sinh    －④’×  sin    sinh    を計算すると、
 cos   cosh     sin   sinh     cos   cosh     sin   sinh   C
1
0
ここで、 C1 は任意定数だから、
 cos    cosh      sin    sinh      cos    cosh      sin    sinh     0
∴
cos    sin    cos    sinh    sin    cosh    cosh    sinh  
 cos    sin    cos    sinh    sin    cosh    cosh    sinh  
 2  cos    sinh    sin    cosh     0
よって、振動数方程式は次のようになる。
cos   sinh   sin   cosh   0
※式①，②より、 C3   C1 ， C4   C2 だから、
X  C1 cos  x  C2 sin  x  C3 cosh  x  C4 sinh  x
 C1 cos  x  C2 sin  x  C1 cosh  x  C2 sinh  x
 C1  cos  x  cosh  x   C2  sin  x  sinh  x 
2
また、
d X
  2C1   cos  x  cosh  x    2C2   sin  x  sinh  x  だから、 x   での境界条件より、
dx 2
………③
C1  cos    cosh     C2  sin    sinh     0
 2C1   cos    cosh      2C2   sin    sinh     0
ここで、   0 だから、 C1  cos    cosh     C2  sin    sinh     0
………④
………④’
 cos    cosh   sin    sinh     C1  0 
    
 cos    cosh   sin    sinh    C2  0 
式③,④’を、マトリックス・ベクトル表示すると、 
C1 , C2 , C3 , C4 が有義解をもつ必要十分条件は、
cos    cosh   sin    sinh  
 0 だから、
cos    cosh   sin    sinh  
 cos    cosh      sin    sinh      cos    cosh      sin    sinh     0
∴
cos    sin    cos    sinh    sin    cosh    cosh    sinh  
 cos    sin    cos    sinh    sin    cosh    cosh    sinh  
 2  cos    sinh    sin    cosh     0
よって、振動数方程式は、 cos   sinh   sin   cosh   0 である。

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