or 2e cos(θ1

複素関数論第 2 回小テスト解答例
担当: 南
√
問 1 複素数 3 − i について、以下の問いに答えよ。
(1) 絶対値を求めよ。
√
| 3 − i| =
√(
√ )2
3 + 12 =
2
(2) 極形式 [ reiθ , または r(cos θ + i sin θ) の形式 (r, θ ∈ R)] で表せ。符号に注意すること。
√
3−i=2
(√
)
3
i
−
=
2
2
2e−πi/6 or 2e11πi/6
eiθ1
= ei(θ1 −θ2 ) を示すために、以下の問いに順に答えよ。
eiθ2
(θ ∈ R) を、三角関数を用いて実部と虚部に分けて記せ (オイラーの公式)。
問 2 θ1 , θ2 ∈ R とするとき、
(1) eiθ
eiθ =
cos θ + i sin θ
(2) cos(θ1 − θ2 ), sin(θ1 − θ2 ) に関する実三角関数の加法定理を記せ。
cos(θ1 − θ2 ) =
cos θ1 cos θ2 + sin θ1 sin θ2
sin(θ1 − θ2 ) =
sin θ1 cos θ2 − cos θ1 sin θ2
eiθ1
1
= ei(θ1 −θ2 ) を示せ。ただし、 iθ = e−iθ は説明なく使ってはいけない (これを示せという
eiθ2
e
問題です)。
(3)
eiθ1
cos θ1 + i sin θ1
=
iθ
2
e
cos θ2 + i sin θ2
= (cos θ1 + i sin θ1 )(cos θ2 − i sin θ2 )
= cos θ1 cos θ2 + sin θ1 sin θ2 + i(sin θ1 cos θ2 − cos θ1 sin θ2 )
= cos(θ1 − θ2 ) + i sin(θ1 − θ2 )
= ei(θ1 −θ2 )

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