物理数学 B 中間試験問題 (H28, 6/9) 担当：栗本

物理数学 B 中間試験問題 (H28, 6/9) 担当：栗本
• 以下の大問 1 に必答し，残りの大問 2，3, 4 から 2 つを選んで解答せよ．
3 つ以上選んではいけない．(満点は 105 点)
• 全ての解答用紙に氏名と番号を記入すること。
• 解答は物理学科の同級生に説明するつもりで論理をはっきりとさせて答えよ．結果だけの解答や途中の計算
や論理の筋が不明な解答はたとえ答が合っていても大幅な減点とする．
1. (必答問題) 次の計算を行え．( (a)–10 点，(b)–10 点，(c)–15 点)
(a)
∞ ∑
∞
∑
∫
e
i(m+n)π/6
m=0 n=0
∞ ∫ ∞
∫
(c)
∫
∞
−∞ −∞ −∞
(δm1 δn3 + δm4 δn4 )
(b)
∞
−∞
x3 δ(3x − 9) dx
√
1
δ( x2 + y 2 + z 2 − 2) dxdydz
(x2 + y 2 + z 2 )3/2
(hint: 球座標に変数変換する)
2. a を 0 < a < π である実数とする．−π ≤ x ≤ π の領域で定義された次の関数 f (x) の
フーリエ級数展開 f (x) =
∞
∑
Cn einx について考える．
n=−∞
{
f (x) =
1
2a
0
(−a ≤ x ≤ a のとき)
(−π ≤ x < −a または a < x ≤ π のとき)
(a) 関数 f (x) のグラフを描け．(5 点)
(b) C0 を求めよ．(5 点)
(c) n ̸= 0 のとき Cn を求めよ．(5 点)
(d) f (x) を cos(nx) (n は 0 以上の整数) の級数の形で表わせ．(10 点)
(e) デルタ関数 δ(x) のフーリエ級数展開を求め， lim f (x) = δ(x) を示せ．(10 点)
a→0
3. 2 つの関数 f (t), g(t) について次の連立微分方程式が成立している．以下の問いに答えよ．
i
d
d
f (t) = ωg(t) , i g(t) = ωf (t) (i は虚数単位，ω は正の実数定数)
dt
dt
(a) f (t) に関する二階微分方程式を求めよ．(10 点)
(求める微分方程式には g(t) やその微分が現れない形にすること．)
(b) g(t) についても同様に二階微分方程式を求め，初期条件 f (0) = 1, g(0) = 0 の下で，f (t) と g(t)
の特解を求めよ．(25 点)
∞
∑
df
が成立しているとき，f =
an xn という級数を用
dx
n=0
いてこの微分方程式を解くことを考える．以下の問いに答えよ．
4. x の関数 f (x) につき微分方程式 (1 − x)f = x
(a) a0 = 0 を示せ．(15 点)
(b) もとの微分方程式の一般解を求め，x の級数ではない形で表わせ．(この方程式は変数分離法でも解
けるが，それを用いずに級数の方法で解くこと．別の方法で解いたら 0 点．) (20 点)
以上
解答例
1. (a)
∞ ∑
∞
∑
ei(m+n)π/6 (δm1 δn3 + δm4 δn4 ) = ei(1+3)π/6 + ei(4+4)π/6 = e2iπ/3 + e4iπ/3
m=0 n=0
∫
(b)
√
√
1
3
1
3
= (− +
i) + (− −
i) = −1
2
2
2
2
∞
1
x3 δ(3x − 9) dx で 3x = y と置換すると dx = dy なので
3
−∞
∫
∞
−∞
x δ(3x − 9) dx =
∫
3
∞
y
1
9 1
( )3 δ(y − 9) dy = ( )3 = 32 = 9
3
3
3 3
−∞
(c) 球座標 x = r sin θ cos ϕ，y = r sin θ sin ϕ， z = r cos θ に置換して
∫
∫
∫
√
1
δ(
x2 + y 2 + z 2 − 2) dxdydz
2
2
2 3/2
−∞ −∞ −∞ (x + y + z )
∫ ∞
∫ ∞ ∫ π ∫ 2π
1
1
2
=
δ(r
−
2)r
sin
θ
dϕ
dθ
dr
=
4π
δ(r − 2) dr = 2π
3
r
r
0
0
0
0
∞
∞
∞
2. (a)
f(x)
1
2a
π
(b) Cn =
1
2π
∫
π
−π
a
a
x
π
f (x)e−inx より
C0 =
1
2π
∫
a
−a
1 −i0x
1
e
dx =
2a
2π
∫
a
−a
1
2a
1
dx =
=
2a
4πa
2π
(c) n ̸= 0 で
Cn =
1
2π
∫
a
−a
1
1 −inx
e
dx =
2a
4πa
∫
a
[
2 sin(nx)
cos(nx)dx =
4πa
n
−a
]a
=
0
sin(na)
2πna
(d) (b), (c) の結果より
f (x) =
−1
∑
∑ sin(na)
1
sin(na) inx n=∞
+
e +
einx
2π n=−∞ 2πna
2πna
1
(第 2 項で n = −k として) =
∞
∞
∑
1
sin(−ka) −ikx ∑
sin(na) inx
+
e
+
e
2π k=1 −2πka
2πna
n=1
=
∞
∞
∑
∑
1
sin(na) −inx
1
sin(na)
inx
+
(e
+e )=
+
cos(nx)
2π n=1 2πna
2π n=1 πna
(e) (c) の結果で a → 0 の極限をとると
sin(na)
1
=
2πna
2π
1
なので，f (x) のフーリエ級数展開の係数は全て
となる．一方，デルタ関数 δ(x) のフーリエ級
2π
∞
lim Cn = lim
a→0
∑
数展開 δ(x) =
a→0
Bn einx を考えると，係数 Bn は
n=−∞
Bn =
1
2π
∫
π
−π
δ(x)e−inx dx =
1 in0
1
e =
2π
2π
なので Cn と一致する．よって lim f (x) = δ(x) である．
a→0
3. (a) 微分方程式 i
d
f (t) = ωg(t) の両辺を t で微分して
dt
i
よって
d2
d
2
2 f (t) = ω dt g(t) = ω{−iωf (t)} = −iω f (t)
dt
d
二番目の等式では微分方程式 i g(t) = ωf (t) を用いた．
dt
d2
f (t) = −ω 2 f (t)
dt2
(b) g(t) についても同様にして
d2
d
d2
2
g(t)
=
ω
f
(t)
=
ω{−iωg(t)}
=
−iω
g(t)
⇒
g(t) = −ω 2 g(t)
dt
dt2
dt2
を得る．単振動の微分方程式なので一般解は
i
f (t) = A sin(ωt) + B cos(ωt) , g(t) = C sin(ωt) + D cos(ωt) (A，B ，C ，D は定数)
となる．初期条件 f (0) = 1 より B = 1，g(0) = 0 より D = 0．
d
i f (t) = ωg(t) に以上の結果を代入して
dt
iω{A cos(ωt) − sin(ωt)} = ωC sin(ωt)
ここで t = 0 として A = 0．
d
i g(t) = ωf (t) に以上の結果を代入して
dt
iωC cos(ωt) = ω cos(ωt)
ここで t = 0 として iC = 1，すなわち C = −i．以上から
f (t) = cos(ωt) , g(t) = −i sin(ωt)
4. (a) f =
∞
∑
an xn より
n=0
∞
∞
∑
∑
df
df
=
an nxn−1 ．よって x
=
an nxn ．これらをもとの微分方程式に代
dx n=0
dx n=0
入して
(1 − x)
∞
∑
an x n =
n=0
∞
∑
an nxn
n=0
(右辺で n = 0 の項は 0 になるので)
∞
∑
an xn −
n=0
∞
∑
an xn+1 =
n=0
∞
∑
an nxn
n=1
(左辺第二項で n + 1 を新たに n と置き直して)
a0 +
∞
∑
n=1
両辺で
x0
an xn −
∞
∑
an−1 xn =
n=1
の係数を比較して a0 = 0 となる．
∞
∑
n=1
an nxn
(別解)
与えられた微分方程式 (1 − x)f = x
f (0) = 0 である．f (x) =
∞
∑
df
df
に x = 0 を代入すると (1 − 0)f (0) = 0 (0) = 0．よって
dx
dx
an xn に x = 0 を代入し，f (0) = 0 であることから
n=0
0 = f (0) =
∞
∑
an 0n = a0
n=0
(b) a0 = 0 と，前ページでの計算から
∞
∑
an x n −
n=1
∑
an−1 xn =
n=1
0 =
∞
∑
n=1
∞
∑
an nxn
[(n − 1)an + an−1 ] xn
n=1
これが任意の x で成立するには，n ≥ 2 で an =
an =
(−1)
an−1 でなければならない．
(n − 1)
(−1)
(−1)2
(−1)n−1
(−1)n−1
an−1 =
an−2 = · · · =
a1 =
a1
(n − 1)
(n − 1)(n − 2)
(n − 1)(n − 2) · · · 2 · 1
(n − 1)!
よって
f (x) =
∞
∑
n=0
n
an x =
∞
∑
(−1)n−1
n=1
(n − 1)!
n
a1 x = x
∞
∑
(−1)n−1
n=1
(n − 1)!
n−1
a1 x
= a1 x
a1 は任意の定数なので，これがもとの微分方程式の一般解となる．
∞
∑
1
k!
k=0
(−x)k = a1 xe−x

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