微分方程式Ⅰ 小テスト 9 2016 年度前期 未来科学部 2 年 情報メディア学科 担当: 原 隆 (未来科学部数学系列・助教) 注. どこに解答が書かれているのかが はっきりと 分かるようにすること。必要ならば裏も使って良いが、 その旨を明記すること。解答が判別出来ない場合は得点がつかない可能性もあるので気をつけよう。 ※ If you are not good at writing Japanese sentences, you can answer the following problems in English. 問題 9-1. 以下の空欄に当て嵌まる 語句 を答えなさい。 [2 点] 『 斉次な 定数係数 2 階線形微分方程式 y ′′ + ay ′ + by = 0 · · · (∗) に対して定まる (λ に 関する) 2 次方程式 λ2 + aλ + b = 0 を、微分方程式 (∗) の と呼ぶ』 問題 9-2. 定数係数斉次 2 階線形微分方程式 y ′′ − 2y ′ + 10y = 0 · · · (♯) について以下の設問に答えなさい。 (1) (♯) の (問題 9-1. の空欄の単語) を求めなさい。また、その解も求めなさい。 [3 点] (2) (♯) の一般解を求めなさい。但し 解答中に 虚数単位 i は用いないこと。 [2 点] 【解答】 問題 9-1. 特性方程式 問題 9-2. (1) 特性方程式は λ2 − 2λ + 10 = 0 で、その解は λ = 1 ± 3i である。 (2) (1) の 結 果 か ら y = ex cos 3x, ex sin 3x が 解 の 基 本 系 と な る の で*1 、 (♯) の 一 般 解 は y = C1 ex cos 3x + C2 ex sin 3x となる。 babababababababababababababababababab (1) から (複素数値関数としては) y = e(1+3i)x オイラーの公式 = ex (cos 3x + i sin 3x), y = e(1−3i)x オイラーの公式 = ex (cos 3x − i sin 3x) が (♯) の線形独立な解となるが、これらの解を ex cos 3x = e(1+3i)x + e(1−3i)x , 2 ex sin 3x = e(1+3i)x − e(1−3i)x 2i に取り替えることで 虚数単位 i が現れない ように出来るのであった。 *1 心配ならばロンスキー行列式 W (ex cos 3x, ex sin 3x) を計算して線形独立であることを確認してみること。テスト等 ではここで ロンスキー行列式を 計算する必要はありません。
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