Blatt 11

Übungsblatt 11
Harmonische Analysis, SoSe 2016
Prof. Dr. Jürgen Saal, Dr. Matthias Köhne
Abgabe: KW 28 in der Übung
Gruppenübungen
Aufgabe 12: (Approximation durch Stufenfunktionen)
Seien (Ω, A) ein Messraum und X ein normierter Raum. Dann sind für eine Funktion f : Ω −→ X äquivalent:
(i) f ist messbar und fast separabel-wertig.
(ii) Es existiert eine Folge von Stufenfunktionen fk : Ω −→ X, so dass fk → f für k → ∞ a. e. in Ω.
Aufgabe 13: (Vertauschbarkeit mit stetigen linearen Operatoren)
Seien (Ω, A, µ) ein Maßraum und X, Y ein normierte Räume. Ist f : Ω −→ X integrierbar und T ∈ L(X, Y ),
so ist auch T f : Ω −→ Y integrierbar und es gilt
Z
Z
T f dµ = T f dµ.
Ω
Ω
Hausübungen – 2 + 2 + 2 + 2 Punkte
Aufgabe 28: (Satz von der majorisierten Konvergenz)
Seien (Ω, A) ein Messraum und X ein normierter Raum sowie f : Ω −→ X. Existiert eine Folge von messbaren,
fast separabel-wertigen Funktionen fk : Ω −→ X mit fk → f a. e. in Ω und eine Funktion g ∈ L1 (Ω, R+ ) mit
kfk kX ≤ g a. e. in Ω für alle k ≥ 1, so sind fk , f ∈ L1 (Ω, X) und es gilt
Z
Z
fk dµ → f dµ
für k → ∞.
Ω
Ω
Aufgabe 29: (Poissonkern)
Sei Π : [0, 1] × R −→ R der Poissonkern für den Streifen S := { z ∈ C : 0 < Re z < 1 }, der gegeben ist als
Π(x, y) =
eπy sin(πx)
,
sin2 (πx) + (cos(πx) − eπy )2
0 ≤ x ≤ 1, −∞ < y < ∞.
Man zeige, dass |Π(x, y)| ≤ Ce−π|y| auf [0, 1] × R gilt mit einer Konstanten C > 0. Weiterhin zeige man, dass
Π(x, · ) für 0 < x < 1 integrierbar ist mit
Z∞
Π(x, y) dy = 1 − x,
0 < x < 1.
−∞
Aufgabe 30: (Poissonkern)
Man zeige, dass sich der Poissonkern Π : [0, 1] × R −→ R als
Π(x, y) =
sin(πx)
1
,
2 cosh(πy) − cos(πx)
0 ≤ x ≤ 1, −∞ < y < ∞
darstellen lässt. Insbesondere ist daher Π(x, · ) : R −→ R achsensymmetrisch für 0 ≤ x ≤ 1.
Aufgabe 31: (Identitätssatz für holomorphe Funktionen)
Seien Ω ⊆ C ein Gebiet und X ein Banachraum. Gilt für zwei holomorphe Funktionen f, g : Ω −→ X, dass
f |U = g|U auf einer Menge U ⊆ Ω, die einen Häufungspunkt in Ω besitzt, so folgt f ≡ g.

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