Übungen zur Höheren Algebra I Wintersemester 2016/2017 Übungsblatt 5 Prof. Dr. Peter Schneider MSc. Mark Feldmann Für jede Aufgabe gibt es 6 Punkte. Abgabetermin: Donnerstag, 24. Novemeber 2016, vor der Vorlesung. Aufgabe 1 Es sei R ein halbeinfacher Ring und τ ∈R̂ R(τ ) die Zerlung in isotypische Komponenten. Es seien P eτ ∈ R(τ ) Elemente, sodass τ ∈R̂ eτ = 1 gilt. Zudem sei M ein R-Modul. Q 1. Man zeige, dass eτ ∈ Z(R) gilt. 2. Man zeige, dass M (τ ) = eτ M gilt. 3. Man zeige, dass eσ (M (τ )) = {0} für σ 6= τ gilt. Aufgabe 2 Es sei K ein Körper der Charakteristik 0. Wir denieren die K -Algebra R := EndK (K[X]). Es sei q : K[X] → K[X], n X ai X i 7→ i=0 n X iai X i−1 i=0 die formale Ableitung. Man mache sich klar, dass sowohl q in R erhalten ist, als auch K[X] als kommutativer Unterring von R aufgefasst werden kann via Linksmultiplikation. Wir denieren A als die kleinste Unteralgebra von R, die K[X] und q enthält. 1. Man zeige, dass qX − Xq = 1A gilt. 2. Man zeige, dass es zu jedem ϕ ∈ A eindeutig bestimme n ∈ N und g0 , . . . , gn ∈ K[X] existieren, sodass ϕ = n P gi · q i gilt. i=0 3. Man zeige, dass für ϕ = n P gi · q i ∈ A die folgende Gleichung in A erfüllt ist: i=0 ϕ·X −X ·ϕ= n X i · gi · q i−1 . i=1 4. Man zeige, dass für g = n P ai X i ∈ K[X] die folgende Gleichung in A erfüllt ist: i=1 q·g−g·q = n X i · ai · X i−1 . i=1 5. Man zeige, dass A eine einfache K -Algebra ist. (Hinweis: Man zeige zunächst, dass jedes beidseitige Ideal in A ungleich dem Nullideal ein Polynom enthält.) 6. Man zeige, dass A nicht Artinsch ist. 1/1
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