Blatt 5

Übungen zur Höheren Algebra I
Wintersemester 2016/2017
Übungsblatt 5
Prof. Dr. Peter Schneider
MSc. Mark Feldmann
Für jede Aufgabe gibt es 6 Punkte.
Abgabetermin: Donnerstag, 24. Novemeber 2016, vor der Vorlesung.
Aufgabe 1
Es sei R ein halbeinfacher Ring und τ ∈R̂ R(τ ) die Zerlung in isotypische Komponenten. Es seien
P
eτ ∈ R(τ ) Elemente, sodass τ ∈R̂ eτ = 1 gilt. Zudem sei M ein R-Modul.
Q
1. Man zeige, dass eτ ∈ Z(R) gilt.
2. Man zeige, dass M (τ ) = eτ M gilt.
3. Man zeige, dass eσ (M (τ )) = {0} für σ 6= τ gilt.
Aufgabe 2
Es sei K ein Körper der Charakteristik 0. Wir denieren die K -Algebra
R := EndK (K[X]).
Es sei
q : K[X] → K[X],
n
X
ai X i 7→
i=0
n
X
iai X i−1
i=0
die formale Ableitung. Man mache sich klar, dass sowohl q in R erhalten ist, als auch K[X] als
kommutativer Unterring von R aufgefasst werden kann via Linksmultiplikation. Wir denieren A
als die kleinste Unteralgebra von R, die K[X] und q enthält.
1. Man zeige, dass qX − Xq = 1A gilt.
2. Man zeige, dass es zu jedem ϕ ∈ A eindeutig bestimme n ∈ N und g0 , . . . , gn ∈ K[X]
existieren, sodass ϕ =
n
P
gi · q i gilt.
i=0
3. Man zeige, dass für ϕ =
n
P
gi · q i ∈ A die folgende Gleichung in A erfüllt ist:
i=0
ϕ·X −X ·ϕ=
n
X
i · gi · q i−1 .
i=1
4. Man zeige, dass für g =
n
P
ai X i ∈ K[X] die folgende Gleichung in A erfüllt ist:
i=1
q·g−g·q =
n
X
i · ai · X i−1 .
i=1
5. Man zeige, dass A eine einfache K -Algebra ist. (Hinweis: Man zeige zunächst, dass jedes
beidseitige Ideal in A ungleich dem Nullideal ein Polynom enthält.)
6. Man zeige, dass A nicht Artinsch ist.
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