Blatt Nr. 9 (13. Juni 2016)

Prof. Dr. S. Dietrich
Dr. M. Bier ([email protected])
M.Sc. H. Bartsch
M.Sc. N. Farahmand Bafi
Dr. M. Gross
M.Sc. M. Labbé-Laurent
M.Sc. A. Reindl
Dr. C. Rohwer
Theoretische Physik I: Klassische Mechanik
SoSe 2016
9. Übungsblatt (http://www.is.mpg.de/dietrich/lehre/TP1 16)
13. Juni 2016
29. Infinitesimale Rotation
Betrachten Sie einen Ortsvektor r im dreidimensionalen Raum und eine Drehachse durch
den Ursprung in Richtung des Einheitsvektors n . Durch Rotation von r um den inifinitesimalen Winkel δα um die Drehachse n im Sinne der Rechte-Hand-Regel ergebe sich der
gedrehte Ortsvektor r ′ . Zeigen Sie, dass für den Differenzvektor δrr := r ′ − r die Beziehung
δrr = δα n × r + O(δα2 ) gilt.
30. Erhaltungsgrößen
Betrachten Sie zwei punktförmige Teilchen der Massen m im dreidimensionalen Raum.
Die beiden Teilchen befinden sich in einem externen Kraftfeld, das durch das Potential
φ1 (rr , t), r = (x, y, z) beschrieben wird. Ferner üben die Teilchen 1 und 2 aufeinander eine
Kraft mit Wechselwirkungspotential φ2 (rr 1 , r 2 , t), r i = (xi , yi , zi ), aus. Bestimmen Sie für
die folgenden Fälle, ob Energie, Impuls oder Drehimpuls erhalten sind. Geben Sie an, für
welche Raumrichtungen bzw. um welche Drehachsen Impuls- bzw. Drehimpulserhaltung
gilt.
(a) φ1 (rr , t) = mgz,
φ2 (rr 1 , r 2 , t) = 0,
1
(b) φ1 (rr , t) = D cos(ωt)rr 2 ,
2
φ2 (rr 1 , r 2 , t) = 0,
(c) φ1 (rr , t) = 0,
1
φ2 (rr 1 , r 2 , t) = D exp(−ωt)(rr 1 − r 2 )2 ,
2
(d) φ1 (rr , t) = 0,
1
φ2 (rr 1 , r 2 , t) = D(rr 1 + r 2 )2 ,
2
1
φ2 (rr 1 , r 2 , t) = D (x1 − x2 )2 + 2(y1 − y2 )2 .
2
Hierbei sind g, D, ω > 0 gegebene Konstanten.
(e) φ1 (rr , t) = 0,
Fortsetzung auf Seite 2
1
31. Kanonische Gleichungen
Betrachten Sie ein punktförmiges Teilchen der Masse m, das sich in einem externen Kraftfeld mit dem Potential U(rr , t) befindet. Bestimmen Sie für die folgenden Fälle die Hamiltonfunktion H(rr , p , t), formulieren Sie die kanonischen Gleichungen und lösen Sie diese:
(a) U(rr , t) = 0,
(b) U(rr , t) = mgz,
1
(c) U(rr , t) = Drr 2 ,
2
1
(d) U(rr , t) = D(rr − A sin(ωt)eez )2 ,
2
wobei g, D, A, ω > 0 gegebene Konstanten sind.
2

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