5. Uebungsblatt - Universität Stuttgart

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Fortgeschrittene Vielteilchentheorie - Übungsblatt 05
WiSe 2016/2017, Universität Stuttgart, Prof. Dr. M. Daghofer
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Σ
Aufgabe 13: Rabi-Oszillationen im Heisenbergbild (8 P.)
Der Hamiltonoperator eines Zwei-Niveau-Systems ist
~Ω
(|+i h−| + |−i h+|) .
2
Folgende Operatoren sind im Schrödingerbild definiert
Ĥ =
σ̂+ = |+i h−| ,
σ̂− = |−i h+| ,
(1)
σ̂z = |+i h+| − |−i h−| .
(2)
(a) Berechnen Sie die Kommutatoren von σ̂±,z untereinander, sowie mit Ĥ.
(b) Geben Sie die Heisenbergschen Bewegungsgleichungen für σ̂±,z (t) an und lösen Sie diese.
(Hinweis: σ̂z (t) = i(σ̂− − σ̂+ ) sin(Ωt) + σ̂z cos(Ωt).)
(c) Der Zustandsvektor im Heisenbergbild sei |ψH i = |+i. Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass das
System im Zustand |±i zur Zeit t gefunden wird. Rechnen Sie im Heisenbergbild!
(Hinweis: Drücken Sie |+i h+| durch σ̂±,z aus.)
Aufgabe 14: 3-site Heisenbergsche Spinkette (6 P.)
(a) Bestimmen Sie das Energiespektrum einer 3-site Heisenbergschen Spinkette mit Spin- 12 mit offenen
Randbedingungen, deren Hamiltonian ist
~1 S
~2 + S
~2 S
~3 ),
H Kette = J(S
(3)
wobei J eine Kopplungskonstante ist.
~123 = P S~i um.
Hinweis: Schreiben Sie den Hamiltonian mit Hilfe des Gesamtspin-Operators S
i
(b) Was ist der Grundzustand und was sind die Anregungen? Was sind die Entartungen im antiferromagnetischem (J > 0) und ferromagnetischem (J < 0) Fall?
z
(c) Berechnen Sie den ferromagnetischen Grundzustand mit S123
=
1
z
schen Grunzustand mit S123 = 2 .
Hinweis: Sie können die Clebsch-Gordan-Koeffizienten benutzen:
|Ja , Jb , Jc , Mc i =
X
z
i Si
P
=
3
2
und den antiferromagneti-
C(Ja , Jb , Jc , Ma , Mb , Mc )|Ja , Ma i ⊗ |Jb , Mb i
(4)
Ma ,Mb
mit den Konstanten C(Ja , Jb , Jc , Ma , Mb , Mc ), wobei Ji und Mi Spinquantenzahlen sind, die man durch
Ji2 |Ji , Mi i = Ji (Ji + 1)|Ji , Mi i,
(5)
Jiz |Ji , Mi i
(6)
= Mi |Ji , Mi i
definieren kann.
Im obigen Fall müssen Sie die folgenden Gleichungen betrachten
3
3E
1
1
= |Ja , Ma = 1i ⊗ |Jb , Mb = i,
(7)
Ja = 1, Jb = , Jc = , Mc =
2
2
2
2
r
r
1
1
1E
2
1
1
1
=
|Ja , Ma = 1i ⊗ |Jb , Mb = − i −
|Ja , Ma = 0i ⊗ |Jb , Mb = i.
Ja = 1, Jb = , Jc = , Mc =
2
2
2
3
2
3
2
(8)
Aufgabe 15: Drehimpuls
Man betrachte ein Teilchen mit Spin 1. Aus Sicht der Quantenmechanik, wird ein solches Teilchen durch
einen Ketvektor |ρi beschrieben, bzw. in ~x-Darstellung von einer Wellenfunktion
ρi (~x) = h~x; i|ρi,
(9)
wobei |~x; ii einem Teilchen im Punkt ~x mit dem Spin in der i-Richtung entspricht. Zeigen sie, dass
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Fortgeschrittene Vielteilchentheorie - Übungsblatt 05
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(a) der folgende Operator der infinitesimalen Drehung des Operators ρi (~x) entspricht:
~ε ~ ~
u~ε = 1 − i · (L
+ S)
~
~ ist. Bestimmen Sie S.
~
~ = ~ r̂ × ∇
wobei L
i
~ und S
~ kommutieren.
(b) L
~ ein Vektoroperator ist.
(c) S
~ ×ρ
(d) ∇
~(~x) =
2
1 ~
(S
~2
· p~) ρ
~,
wobei p~ der Impulsoperator ist.
(10)

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