Thermodynamik und Statistische Physik (T4)

Zentralübung
Thermodynamik und Statistische Physik (T4)
Blatt 9
WiSe 2015/16
Aufgabe 1: Barometrische Höhenformel
In der Vorlesung haben Sie das freie ideale Gas in der kanonischen Gesamtheit betrachtet. Gehen
Sie nun davon aus, dass sich jedes der N Teilchen der Masse m in dem Gravitationspotential der
Erde bewegt, d.h. V (~x) = mgz (Erdboden bei z = 0). Betrachten Sie zunächst den Fall, dass die
Temperatur unabhängig von der Höhe ist.
a) Geben Sie die Hamilton Funktion für das System an und berechnen Sie damit die kanonische
Zustandssumme für eine Teilchensäule mit Grundfläche A in der x − y−Ebene.
b) Bestimmen Sie die mittlere Energie der Gasteilchen sowie die Varianz der Energie.
c) Bestimmen Sie die barometrische Höhenformel, d.h. die Dichte der Teilchen als Funktion der
Höhe z.
d) Berechnen Sie den Erwartungswert hzi für ein Teilchen sowie die zugehörige Varianz ∆z
Aufgabe 2: Äquipartitionstheorem
a) Wiederholen Sie nochmals die Aussage des Äquipartitionstheorems. Welche Annahme wurde
bei der Herleitung verwendet?
b) Wenden Sie das Äquipartitionstheorem an um den Erwartungswert der Energie hHi für die
folgenden Systeme zu bestimmen:
(i) N rotierende Moleküle (Trägheitsmomente I) im R3 mit Hamilton Funktion
H=
N
X
φ̇2
p~i 2
+ i
2m 2I
i=1
(ii) Ein ultrarelativistisches Gas im R3 bestehend aus N Teilchen mit Hamilton Funktion
H=
N
X
c|~
pi |
i=1
(iii) Ein allgemeines N Teilchen System im Rd mit Hamilton Funktion
H=
N
X
κ|~
pi |m + λ|~xi |n ,
m, n ∈ N
i=1
wobei κ und λ dimensionsbehaftete Konstanten darstellen.
1
Aufgabe 3: Isotherm-isobare Gesamtheit
Die freie Energie F (T, V, N ) ist allgemein durch
F (T, V, N ) = −kB T ln[Z(T, V, N )]
gegeben, wobei Z(T, V, N ) die kanonische Zustandssumme ist. In dieser Aufgabe wollen wir eine
analoge Rechnung ausführen welche uns letztlich die Gibbs freie Energie G(T, p, N ) liefert mit
G(T, p, N ) = −kB T ln[Z̃(T, p, N )],
wobei wir die isotherm-isobare Zustandssumme Z̃(T, p, N ) bestimmen wollen. Gehen Sie dazu wie
folgt vor.
a) Betrachten Sie ein System Λ (Temperatur T , Volumen V , Teilchenzahl N ) welches an eine
Reservoirsystem Λ0 gekoppelt ist (Temperatur 0 , Volumen V 0 , Teilchenzahl N 0 ). Im Gleichgewicht T = T 0 sowie V0 = V + V 0 = const. (Drücke sind gleich) wird das Gesamtsystem
durch die kanonische Gesamtheit beschrieben. Die zugehörige Wahrscheinlichkeitsdichte in
der kanonischen Gesamtheit ist damit:
0
1
e−H0 (x,x )
ρ0 (x, x0 , V ) =
Z0 (T )
wobei x, x0 reine Zustände der Teilsysteme bei Aufteilung V0 = V + V 0 des Volumens sind.
Welche Form nimmt die Hamiltonfunktion H0 (x, x0 ) an , wenn man anninmt, dass keine
Wechselwirkungen zwischen dem System mit Hamiltonfunktion H(x) sowie dem System mit
Hamiltonfunktion H 0 (x0 ) auftritt?
b) Bestimmen Sie ausgehend von obiger Wahrscheinlichkeitsdichte die Dichte ρ(x, V ) des Systems Λ, indem Sie die Freiheitsgrade des Systems Λ0 ausintegrieren.
c) Zeigen Sie, dass sich die Dichte ρ(x, V ) schreiben lässt als:
ρ(x, V ) =
0
0
1
e−β[F (T,V0 −V,N )+H(x)] .
Z0 (T )
Hierbei bezeichnet F 0 (T, V0 − V, N 0 ) die freie Energie des Systems Λ0 .
d) Entwickeln Sie F 0 um V0 , im Limes V V0 , bis zur (inklusive) quadratischen Ordnung. Was
sind die relevanten Terme dieser Entwicklung wenn wir annehmen, dass N 0 → ∞?
e) Setzen Sie die Entwicklung von Teilaufgabe d) in die Dichte ρ(x, V ) ein um diese letztlich
auf die Form
1
ρ(x, V ) =
e−β[pV +H(x)]
Z̃(T, p, N )
zu bringen. Durch welchen integralen Ausdruck ist Z̃(T, p, N ) gegeben?
f) Die Entropie ist definiert als
Z
S = −k
ρ(x, V ) · ln[ρ(x, V )] dx dV.
Definieren wir nun weiter
1
ln[Z̃(T, p, N )].
β
Zeigen Sie, dass damit die allgemeine Form der Gibbs freien Energie G = U + pV − T S erfüllt
ist.
G=−
Bei Fragen E-Mail an [email protected]
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