Probe-Klausur zu Theoretische Physik 3 (12-PHY-L-TP3) WS 2015/16 Aufgabe 1. Sei a ein Operator auf einem Hilbertraum, so dass [a, a∗ ] = 1. Sei ψα ein normierter Eigenvektor von a, d.h. aψα = αψα mit α ∈ C. Bestimmen Sie den Erwartungswert und die Varianz von x̂ := √12 (a + a∗ ) in diesem Zustand. Zeige, dass letztere unabhängig von α ist. 3 P. Aufgabe 2. Seien φ1 , φ2 Eigenvektoren des Hamiltonoperators mit Energien E1 , E2 . Geben Sie die Zeitentwicklung φ(t) des Zustands φ(t = 0) = φ1 + φ2 an. Geben Sie die Periode an, mit der Erwartungswerte in diesem Zustand oszillieren. 2 P. Aufgabe 3. Wir betrachten die eindimensionale Schrödingergleichung für ein freies Teilchen der Masse m auf dem Interval [0, L]. An den Rändern gelten die Bedingungen φ0 (0) = 0 = φ(L). 5 P. a) Gebe die allgemeine Lösung der zeitunabhängigen Schrödingergleichung für E ≥ 0 an. Für welche Energien E gibt es Lösungen, die die Randbedingungen erfüllen? Gebe diese Lösungen an und skizziere die Lösungen für den Grundzustand und den ersten angeregten Zustand. (3 P.) b) Das Teilchen befinde sich im Grundzustand. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, das Teilchen im Interval [0, L/2] zu finden? (2 P.) Aufgabe 4. Wir betrachten Teilchen mit Spin 12 und führen zunächst ein Stern-Gerlach-Experiment zur Messung der z-Komponente des Spins durch. Wir messen ~2 . In welchem Spin-Zustand befindet sich das Teilchen danach? Nun schicken wir das Teilchen durch einen um 45◦ in x-Richtung gekippten Stern-Gerlach-Apparat (die Ausrichtung des Magnetfeld(gradienten) ist √12 (~e1 +~e3 )). 5 P. Wie groß sind die Wahrscheinlichkeiten, die beiden Werte ± ~2 zu messen? Hinweis: Verwende die Pauli-Matrizen 1 0 0 1 0 −i , σ2 = , σ3 = . σ1 = 0 −1 1 0 i 0 P Der Operator für Messung des Spins in Richtung ~v (mit |~v | = 1) ist S~v = ~2 ~v · ~σ = ~2 i vi σi . Aufgabe 5. Kann man einem Gas Wärme zuführen, ohne die Temperatur zu erhöhen? Kann man die Temperatur eines Gases erhöhen, ohne Wärme zuzuführen? Begründen Sie, bzw. geben Sie Beispiele an. 2 P. Aufgabe 6. Wir betrachten den im p − V Diagramm skizzierten Diesel-Prozess, der in der Richtung 1 → 2 → 3 → 4 → 1 durchlaufen wird. Berechne die dabei vom System geleistete Arbeit als Funktion der Parameter V1 , V2 , V3 , p2 , κ. Die Wege 1 → 2 und 3 → 4 seien dabei Adiabaten pV κ = const des idealen Gases. Auf welchen Wegen wird Wärme zu- oder abgeführt? 6 P. 1 p p2 2 3 4 1 V2 V3 V1 Abbildung 1: Zu Aufgabe 6. 2 V