AC = ¡!b - SUUGAKU.JP

年番号
1
三角形 ABC において，ÎA の二等分線と辺 BC の交点を D とおく．また，C を通り AD と平行
3
な直線と辺 BA の延長との交点を E とおく．
¡!
¡
! ¡!
¡
!
ベクトルを AC = b ，AB = c ，辺の長さを AC = b，AB = c，角を ÎBAC = µ として，
次の問に答えよ．
¡! ¡
! ¡
!
(1) ベクトル CE を b ; c ; b; c を用いて表せ．
¡!
¡!
µ
(2) cos
= p とおく．ベクトル CE の絶対値 f = CE を b; c; p を用いて表せ．
2
¡! ¡
! ¡
!
(3) 三角形 BCE の重心を G とおく．ベクトル BG を b ; c ; b; c を用いて表せ．
¡! ¡!
(4) ベクトル BG と AC が互いに直交するとき，cos µ を b; c を用いて表せ．
氏名
四面体 OABC において，P を辺 OA の中点，Q を辺 OB を 2 : 1 に内分する点，R を辺 BC の中
¡!
¡
! ¡!
¡
! ¡!
¡
!
点とする．P，Q，R を通る平面と辺 AC の交点を S とする．OA = a ，OB = b ，OC = c
とおく．以下の問に答えよ．
¡! ¡!
¡
! ¡
! ¡
!
(1) PQ，PR をそれぞれ a ; b ; c を用いて表せ．
¡
!
¡
!
(2) 比 AS : SC を求めよ．
¡
!
(3) 四面体 OABC を 1 辺の長さが 1 の正四面体とするとき， QS を求めよ．
（神戸大学 2016 ）
（早稲田大学 2016 ）
4
2
平面上の 4OAB において，ÎOAB の二等分線と線分 OB との交点を P，ÎOBA の二等分線と
線分 OA との交点を Q とおく．直線 AP と直線 BQ との交点を R とおく．OA = x，OB = y，
¡! ¡!
¡
! ¡
!
AB = 1 とし，OA，OB と平行で向きが同じである単位ベクトルをそれぞれ u ， v とおく．こ
平面上で原点 O と 3 点 A(3; 1)，B(1; 2)，C(¡1; 1) を考える．実数 s; t に対し，点 P を
¡!
¡!
¡!
OP = sOA + tOB
により定める．以下の問いに答えよ．
(1) s; t が条件
のとき次の問いに答えよ．
¡!
¡
!
(1) OP を x; y; v を用いて表せ．
¡!
¡
! ¡
!
(2) OR を x; y; u ; v を用いて表せ．
¡1 5 s 5 1;
(3) 直線 OR と直線 AB が垂直であるとき，直線 AB と直線 PQ が平行となることを示せ．
¡
! ¡
!
¡!
(4) 2 u ¢ v = ¡1 であり，x; y が変化するとき，OR の大きさが最大となるときの x; y の値と
¡!
OR の大きさをそれぞれ求めよ．
（同志社大学 2016 ）
¡1 5 t 5 1;
¡1 5 s + t 5 1
を満たすとき，点 P(x; y) の存在する範囲 D を図示せよ．
¡! ¡!
(2) 点 P が (1) で求めた範囲 D を動くとき，内積 OP ¢ OC の最大値を求め，そのときの P の座標
を求めよ．
（東北大学 2016 ）
5
¡! ¡
! ¡! ¡
! ¡! ¡
!
四面体 OABC があり，OA = a ，OB = b ，OC = c とする．三角形 ABC の重心を G とす
¡!
¡
! ¡!
¡
! ¡!
¡!
る．点 D，E，P を OD = 2 b ，OE = 3 c ，OP = 6OG をみたす点とし，平面 ADE と直線 OP
7
の交点を Q とする．次の問いに答えよ．
¡! ¡
! ¡
! ¡
!
(1) OQ を a ; b ; c を用いて表せ．
右図のような 1 辺の長さが 1 の立方体 OABC-DEFG に対し，
¡!
¡
! ¡!
¡
! ¡!
¡
!
1
OA = a ，OC = c ，OD = d とおく．0 < t <
とな
2
る t に対して，辺 AE を t : 1 ¡ t に内分する点を P，辺 CG を
2t : 1 ¡ 2t に内分する点を Q とする．O，P，Q の定める平面
S2
を求めよ．
S1
V2
を求めよ．
(3) 四面体 OADE の体積を V1 ，四面体 PQDE の体積を V2 とするとき，
V1
を ® とし，平面 ® と直線 BF との交点を R とすると，四角形
(2) 三角形 ADE の面積を S1 ，三角形 QDE の面積を S2 とするとき，
OPRQ は平行四辺形である．平行四辺形 OPRQ の面積を S，
四角錐 DOPRQ の体積を V とする．このとき，以下の問いに
（横浜国立大学 2016 ）
答えよ．
¡! ¡!
(1) OP と OQ のなす角を µ とするとき，cos µ を t を用いて表せ．
(2) S を t を用いて表せ．
¡! ¡
! ¡
! ¡
!
(3) 平面 ® に点 D から垂線 DH を下ろす．OH を a ; c ; d と t を用いて表せ．
(4) V は t によらず一定であることを示せ．
（大阪府立大学 2016 ）
6
4OAB において，3 辺の長さを OA = 2，OB = 3，AB = 4 とする．P は辺 AB を 2 : 3 に内
分する点とし，Q は辺 OB 上の点で線分 OP と線分 AQ が垂直になるものとする．また，線分
¡! ¡
! ¡! ¡
!
OP と線分 AQ の交点を R とする．OA = a ，OB = b とするとき，次の問いに答えよ．
¡! ¡
! ¡
!
(1) ベクトル OP を a と b を用いて表せ．
¡
! ¡
!
(2) 内積 a ¢ b を求めよ．
8
¡!
¡!
4ABC と，A を通り BC に平行な直線 ` を考える．k を正の数とし，直線 ` 上に点 P を AP = kBC
(3) OQ : QB を求めよ．
となるようにとる．また直線 ` 上に点 Q を，線分 PB と線分 QC が 1 点で交わるようにとる．そ
¡! ¡
! ¡! ¡
!
¡!
¡!
の交点を R とする．AB = b ，AC = c とおき，また m を AQ = mAP により定める．以下
(4) OR : RP を求めよ．
の問いに答えよ．
（群馬大学 2016 ）
¡! ¡
! ¡
!
(1) AR を b ; c ; k; m を用いて表せ．
¡! ¡!
¡
!
¡
!
3
，m = ¡1 とする．BR と CR が直交するとき，k の
(2) b = 1， c = 2，cos ÎBAC =
4
値を求めよ．
（熊本大学 2016 ）

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