Formeln, Differentialrechnung, Partielle und totale Differentiale

Universität des Saarlandes
Fakultät 7 – Physik und Mechatronik
Prof. Dr. L. Santen
Dr. C. Arita
S. Klein ([email protected])
Fachrichtung 7.1 – Theoretische Physik
Saarbrücken, den 29.10.2015
Blatt 2 zur MMP, WS 2015/2016
(Abgabe bis 05.11.2015, 12.15 Uhr)
Aufgabe 1 Formeln I [ 3.5+2+2.5 = 8 Punkte]
Zeigen Sie unter Benutzung der Definitionen folgende Identitäten:
a)
d n
dx x
= nxn−1 (n ∈ Z)
b)
d
dx
sin x = cos x
Zeigen Sie Ausdruck b) einmal unter Benutzung der Identität lim
x→0
sin x
x
= 1 zusammen mit Additionstheore-
men und einmal unter Benutzung der Reihendarstellung.
Hinweis: Ausdruck a) ist wahr für nicht-ganzzahlige n.
Aufgabe 2 Formeln II [1.5+2+2.5+2 = 8 Punkte]
Zeigen Sie folgende Ausdrücke
a)
d
dx (f
b)
d
dx (f g)
dg
dx
c)
d
dx g
dg
= f dx
+ g df
dx
d)
d f (x)
dx g(x)
+ g) =
df
dx
+
f (x) =
=
dg df
df dx
f 0 (x)g(x)−f (x)g 0 (x)
g 2 (x)
( mit f 0 =
df
dx ,
g0 =
dg
dx
)
Aufgabe 3 Differentialrechnung I [0.5+0.5+1+1+1+1+1+1 = 7 Punkte]
Leiten Sie folgende Ausdrücke nach x ab:
a) 5x4 − 3x2 +
b) sin x + 3 ln x
√
x
c) ex tan x
d)
cos x
x2 +1
e) x sin x +
cos x
x
1 2
f) ex− 2 x
g) ln(x3 + sin x)
h) sin3 (2x)
Aufgabe 4 Differentialrechnung II [1+2+2+3 = 8 Punkte]
Leiten Sie folgende Ausdrücke zwei Mal nach x ab, sprich berechnen Sie
a) x −
2
x
+ ln x
b) x sin x
c) x2 ln x
d2
dx2
d)
√
2 − sin x
Aufgabe 5 Partielle und totale Differentiale [2+2+2+3= 9 Punkte]
∂f
Berechnen Sie ∂f
∂x und ∂y und drücken Sie dann das totale Differential df als Linearkombination von dx und
dy aus für folgende f (x, y)
p
a) x3 y − 3x2 y 2
b) xy
c) sin(x + y)
d) x2 + xy + y 2

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