解析序論1中間 1 (2016年度 (5 月 24 日)) 森真，立井博子 (1) f(x, y

解析序論 1 中間 1 (2016 年度 (5 月 24 日))
森真，立井博子
(1) f (x, y) = (xy)2/3 が (0, 0) で全微分可能なことを示してください．
√
f (x, y) = xy ではどうか．
解. f (x, y) = (xy)d とおくと
(
)d
r2d cosd θ sind θ
R
sin 2θ
2d−2
√
=
r
=
x2 + y 2 r2
2
であるので，d >
1
2
ならば全微分可能，d =
1
2
は全微分可能ではない．□
(2) f (x, y) = |x + y| とする．
(i) |x + y| < ε である領域を図示し，その領域に内接する円の半径を
求めてください．
(ii) f (x, y) は (0, 0) で連続なことを示してください．
解. (ε, 0),(0, ε),(−ε, 0),(0, −ε) の 4 点を頂点とする帯状の領域なの
で，内接円の半径は
√ε .
2
したがって，δ =
√ε
2
と選べば連続
□
(3) f (x, y) が (a, b) で C 1 級ならば全微分可能なことを示してください．
解. C 1 級なので，平均値の定理より
f (x, y) − f (a, y) =
f (a, y) − f (a, b) =
∂f
(c, y)
∂x
∂f
(a, d)
(y − b)
∂y
(x − a)
をみたす c, d がそれぞれ a と x の間および y と b の間に存在する．し
たがって，
(
) (
)
f (x, y) = f (a, b) + f (x, y) − f (a, y) + f (a, y) − f (a, b)
とすると
R = (x − a)
(
)
(
)
∂f
∂f
∂f
∂f
(c, y) −
(a, b) + (y − b)
(a, d) −
(a, b)
∂x
∂x
∂y
∂y
したがって，x → a かつ y → b ならば c → a かつ d → b なので
R
√
→0
(x − a)2 + (y − b)2 が導ける．
□
(4) f (x, y) を x = r cos θ, y = r sin θ とおくことで，次の式を示してくだ
さい．
(i)
∂f
∂f
∂f
=
cos θ +
sin θ,
∂r
∂x
∂y
∂f
∂f
∂f
= − r sin θ +
cos θ
∂θ
∂x
∂y
(ii)
∂2f
∂2f
∂2f
1 ∂2f
1 ∂f
+
=
+
+
∂x2
∂y 2
∂r2
r2 ∂θ2
r ∂r
(5) f (x, y) = x2 + y 2 とします．v = (cos θ, sin θ) について Dv f (1, 1) を求
めてください．さらに Dv f (1, 1) を最大にする θ を求めてください．
解.
(1 + h cos θ)2 + (1 + h sin θ)2 − 2
= 2 cos θ + 2 sin θ
h→0
h
Dv f (1, 1) = lim
したがって，θ =
π
4
のとき最大になる．
□

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