物質情報学 1（解析力学），担当 谷村省吾，講義ノート 3
ラグランジアンと最小作用の原理
一般化座標
微分の基本
関数 f (x) の微分を
f ′ (x) =
物体の配置を完全に記述するのに必要十分
df
dx
な変数の組 q = (q1 , q2 , · · · , qn ) を一般化座標
(1)
(generalized coordinate) という．
と書く．とくに変数 t が時間を表す場合は
df
f˙(t) =
dt
例えば，2 次元平面中を動く 1 個の質点なら，
その位置は直交座標 r = (x, y) で記述される．
(2)
この場合は (x, y) が一般化座標である．
のように書く．つまり時間についての微分は上
3 次元空間中を動く 1 個の質点なら，その位
付きの点で表すのが習慣である．2 回微分は
f ′′ (x) =
d df
d2 f
= 2
dx dx
dx
置は直交座標 r = (x, y, z) で記述され，(x, y, z)
が一般化座標となる．
(3)
3 次元空間に N 個の質点があれば，α 番目
(α = 1, 2, · · · , N ) の質点の 3 次元座標を r α =
あるいは
d df
d2 f
f¨(t) =
= 2
dt dt
dt
(xα , yα , zα ) として，
(4)
q = (r 1 , r 2 , · · · , r N )
と書く．関数 f1 (t), f2 (t) と定数 c について
= (x1 , y1 , z1 , x2 , y2 , z2 , · · · , xN , yN , zN )
d( )
cf1 = cf˙1 ,
(5)
= (q1 , q2 , · · · , q3N )
(12)
dt
(
)
d
f1 + f2 = f˙1 + f˙2 ,
(6)
が質点系の一般化座標である．つまり，3 次元
dt
(
)
d
f1 f2 = f˙1 f2 + f1 f˙2
(7) 空間の N 個の質点からなる質点系の自由度は
dt
3N である．
が成り立つ．また，関数 g(x) に x = f (t) を入
しかし，質点の位置を表すのに必ず直交座標
れた合成関数 g(f (t)) について
dg dx
d
g(f (t)) =
= g ′ (f (t)) f˙(t)
dt
dx dt
を使わなければならないわけではない．2 次元
であれば，
(8)
{
x = r cos ϕ,
y = r sin ϕ
が成り立つ．従って，
(13)
d
{f (t)}2 = 2f f˙,
(9)
dt
で定められる 2 次元の極座標 (polar coordid
sin f (t) = f˙ cos f,
(10) nate) (r, ϕ) を用いてもよい．ここで変数 r は動
dt
)
径と呼ばれ，r ≥ 0 の範囲を動く．変数 ϕ は偏角
d2 (
f
f
= f¨1 f2 + 2f˙1 f˙2 + f1 f¨2 (11)
1
2
2
dt
と呼ばれ，任意の実数値をとるが，ϕ と ϕ + 2π
は同じ点を指すので，異なる点を指すためには
などが成り立つ．
1
ϕ の値の範囲を 0 ≤ ϕ < 2π か −π ≤ ϕ < π に
ẋ = ṙ sin θ cos ϕ + rθ̇ cos θ cos ϕ
限定するのが通例である．
−rϕ̇ sin θ sin ϕ,
3 次元空間の点を表す場合は，
x = ρ cos ϕ,
y = ρ sin ϕ,
z=z
(22)
ẏ = ṙ sin θ sin ϕ + rθ̇ cos θ sin ϕ
+rϕ̇ sin θ cos ϕ,
ż = ṙ cos θ − rθ̇ sin θ,
(14)
(23)
(24)
ẋ2 + ẏ 2 + ż 2
= ṙ2 + r2 θ̇2 + r2 ϕ̇2 sin2 θ.
(25)
で定められる円筒座標 (cylindrical coordinate)
(ρ, ϕ, z) を用いてもよい．
ラグランジアン
同じく 3 次元空間なら
x = r sin θ cos ϕ,
y = r sin θ sin ϕ,
z = r cos θ
物体の運動エネルギー K と位置エネルギー
U を一般化座標 q = (q1 , q2 , · · · , qn ) とその時
(15) 間微分 q̇ = (q̇1 , q̇2 , · · · , q̇n ) の関数で表して引
き算した関数
L(q, q̇, t) := K − U
で定められる 3 次元極座標 (r, θ, ϕ) を用いても
(26)
よい．これは球面座標 (spherical coordinate) と をラグランジアン (Lagrangian) という．位置
も呼ばれる．それぞれの変数の範囲は r ≥ 0, q(t) と速度 q̇(t) が時間 t の関数であることか
0 ≤ θ ≤ π, 0 ≤ ϕ < 2π または −π ≤ ϕ < π で ら結果的に L(q(t), q̇(t)) は t の関数になるが，
q(t), q̇(t) を通さなくてもあからさまにラグラ
ある．
ンジアンが t の関数になっていてもよく，その
問 1. 2 次元極座標 (13) について以下の関係
可能性を考慮に入れて L(q, q̇, t) と書いた．
式が成り立つことを示せ．ただし，x, y, r, ϕ が
ラグランジアンは運動エネルギーと位置エ
時間 t の関数だとして微分を計算せよ．
x2 + y 2 = r2 ,
ẋ = ṙ cos ϕ − rϕ̇ sin ϕ,
ネルギーの差で定義されるが，ラグランジア
ンの値そのものに物理的意味はないし，ラグ
(16) ランジアンの値が直接測定されることもない．
(17) また，考えている対象は質点とも限らず，とも
ẋ2 + ẏ 2 = ṙ2 + r2 ϕ̇2 ,
(18) かく一般化座標で記述され時間変化するシス
(19) テムでありさえすれば何でもよい．このこと
xẏ − y ẋ = r2 ϕ̇.
(20)
ẏ = ṙ sin ϕ + rϕ̇ cos ϕ,
から，ラグランジアンで記述される対象を力
学系 (dynamical system) という一般的な呼び
方をすることがある．
問 2. 3 次元極座標 (15) について以下の関係
力学系が時間 t1 ≤ t ≤ t2 の間に関数 q(t) に
式を示せ．ただし，x, y, z, r, θ, ϕ が時間 t の関 従って動くと仮定して，この運動に沿ってラグ
数だとして微分を計算せよ．
アンジアンを時間積分した値を
∫ t2
S :=
L(q(t), q̇(t), t) dt
(27)
x2 + y 2 + z 2 = r2 ,
(21)
t1
2
とおき，S を作用積分 (action integral) と呼ぶ． を導け．n 個の一般化座標を持つ系のオイラー・
作用積分は，関数 q(t) に対する汎関数である． ラグランジュ方程式は，n 個の微分方程式から
ここで，関数 q(t) は力学系の実際の動き方を なる連立方程式であることに注意してほしい．
問 4. 質点のラグランジアンが
表す関数である必要はない．つまり，「もし仮
にこういう動き方をしたとすれば」という仮
1
mṙ· ṙ − U (r)
2
1
=
m(ẋ2 + ẏ 2 + ż 2 ) − U (x, y, z) (33)
2
L =
想的な運動に対してもラグランジアンや作用
積分の値を計算することはできる．
勝手に想像して描いた運動について作用積分
の値を計算して何の意味があるのか？と思われ で与えられている場合，座標 r = (x, y, z) につ
るだろうが，ここが最小作用の原理 (principle いてのオイラー・ラグランジュ方程式 (32) を
of least action) と呼ばれる物理法則の出番で 書け．それがニュートンの運動方程式を再現す
ある．時刻 t1 に系の配置が q であり，時刻 t2 ることを確認せよ．
1
問 5. 座標 x で位置が表される質点のラグラ
に系の配置が q 2 であるような運動経路 q(t) を
ンジアン
考える．すなわち，q(t) は境界条件
q(t1 ) = q 1 ,
q(t2 ) = q 2
1
L = mẋ2 − mgx
2
(28)
(34)
を満たすとする．もしも関数 q(t) が現実に起 について以下の問い答えよ．
こる運動ならば，この関数は作用積分の値を停 (i) このラグランジアンに対するオイラー・ラ
留にする，というのが最小作用の原理である． グランジュ方程式を書け．
つまり，η(t) = (η1 (t), · · · , ηn (t)) を
η(t1 ) = 0,
η(t2 ) = 0
(ii) (i) の方程式の一般解を求めよ．
(iii) t = 0 のとき x = 0, かつ，t = T のとき
(29)
x = h となる解を求めよ．ただし T > 0 は定
数．
を満たす任意の変分関数として
∫ t2
(iv) 関数 x(t) を
(
)
S(ε) = L q(t) + εη(t), q̇(t) + εη̇(t), t dt(30)
t1
x(t) = at(T − t) + h
t
T
(35)
とおけば，q(t) が現実に起こる運動ならば，
とおくと，定数 a がいくらであってもこの関数
d
S(ε)
=0
(31) は x(0) = 0 と x(T ) = h を満たす．この関数
dε
ε=0
∫T
x(t)
に対して作用積分
S
=
L dt を求めよ．
a
0
が成り立つ．気持ちとしては「現実の運動は作
用積分の値を最小にする」と言いたいから，最 (v) Sa の値が最小になるような a の値を求め
小作用の原理と呼ぶのだが，微分がゼロだとい よ．また，そのときの Sa の値を求めよ．また，
うことから最小性は保証できないので，最小と そのときの関数 x(t) が (iii) で求めた解と一致
することを確かめよ．
は言わずに停留と言った．
問 3. 作用積分の停留条件 (31) からオイラー・
ラグランジュ方程式
( )
d ∂L
∂L
−
=0
dt ∂ q̇i
∂qi
(vi) 定数 b は 0 < b < T の範囲にあるとして，
関数 x(t) を
{
(i = 1, · · · , n)
x(t) =
(32)
3
ht/b
h
(0 ≤ t ≤ b)
(b ≤ t ≤ T )
(36)
とおくと，定数 b がいくらであってもこの関数 を (X, r, Ẋ, ṙ) の関数で表せ．
は x(0) = 0 と x(T ) = h を満たす．この関数 (iii) 座標 X, r についてのオイラー・ラグラン
∫T
x(t) に対して作用積分 Sb = 0 L dt を求めよ． ジュ方程式を書き，方程式を解け．
また，Sb の最小値を求めよ．これと，(v) で求
問 9. 時間 t にあからさまに依存しているラ
めた Sa の最小値との大小を比較せよ．
グランジアンの例として
√
2
2
問 6. 直交座標 (x, y) と r = x + y で記
1
1
述される質点のラグランジアン
L = mẋ2 − kx2 + f x cos Ωt
(44)
2
2
1
L = m(ẋ2 + ẏ 2 ) − U (r)
(37)
2
を考える．ただし m, k, f, Ω は定数である．こ
を 2 次元極座標 (13), (19) を使って書き表せ．
のラグランジアンに対するオイラー・ラグラン
また，極座標 (r, ϕ) についてのオイラー・ラグ
ジュ方程式を書け．また，この方程式はどのよ
ランジュ方程式を書け．
うな物理的状況を記述しているか説明せよ．さ
問 7. 3 次元空間中に質量 m1 と m2 の質点
らに，この方程式を解け．
があり，それぞれの位置ベクトルを r 1 , r 2 とす
問 10. 一般論としては，ラグランジアンは
る．2 質点の重心位置ベクトル X と相対位置
運動エネルギー K と位置エネルギー U の引き
ベクトル r を
算 L = K − U という形である必要はない．例
m1 r 1 + m2 r 2
X :=
,
(38) えば，一般化座標 (x, y) を持つ力学系について
m1 + m2
r := r 2 − r 1
(39)
1
L = m(ẋ2 + ẏ 2 ) + Bxẏ
(45)
2
で定める．r 1 , r 2 を X, r の式で表せ．また，
質点系の運動エネルギー
1
1
K = m1 ṙ 1 · ṙ 1 + m2 ṙ 2 · ṙ 2
2
2
というラグランジアンを考えてもよい．ただ
(40) し，B は定数である．形式的には，これは U =
−Bxẏ という位置エネルギーを持つ系になって
を Ẋ と ṙ で表せ．
いる．位置だけの関数ではないものを「位置エ
問 8. 1 次元空間中に質量 m1 と m2 の質点が
ネルギー」と呼ぶのも変なので，これを速度依
あり，それぞれの位置を x1 , x2 とする．2 質点
の重心位置 X と相対位置 r を
m1 x1 + m2 x2
X :=
,
m1 + m2
r := x2 − x1
存ポテンシャル (velocity-dependent potential)
という．
(41) (i) このラグランジアン (45) に対するオイラー・
(42) ラグランジュ方程式を書け．
(ii) また，別のラグランジアン
で定める．
(i) x1 , x2 を X, r の式で表せ．
1
L̃ = m(ẋ2 + ẏ 2 ) − B ẋy
2
(ii) 2 質点のラグランジアン
1
1
1
L = m1 ẋ21 + m2 ẋ22 − k(x2 − x1 )2
2
2
2
(46)
(43) に対するオイラー・ラグランジュ方程式を書け．
4
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