物質情報学 1（解析力学），担当 谷村省吾，講義ノート 4
拘束条件
独立変数と従属変数
何が独立変数で何が従属変数かということは
絶対的に決まっていることではない．例えば，2
系の配置を記述する変数 (x1 , x2 , · · · , xN ) を 次元平面上を動く質点の位置を記述する変数と
多くしすぎると，これらの変数を完全に自由に して直交座標と極座標の 4 つの変数 (x, y, r, ϕ)
動かすことができなくなり，変数同士の間であ を導入すると，
{
る関係式がつねに成立したり，一部の変数だけ
x = r cos ϕ,
(5)
で他の変数を表すことができたりする．
y = r sin ϕ
例えば，三角形という図形について 3 辺の長
という関係があるので，(r, ϕ) を独立変数，
さ a, b, c と 3 角の大きさ α, β, γ と面積 T とい
(x, y) を従属変数として選ぶことができる．し
う合計 7 つの変数 (a, b, c, α, β, γ, T ) を導入す
かし，
√
ることができるが，これら 7 つの変数を好き勝
r
=
x2 + y 2 ,
y
手に変えることはできない．これらの変数の間
tan
ϕ
=
x
には
x
(6)
あるいは，cos ϕ = √
,
2
2
x
+
y
y
a2 + b2 − 2ab cos γ = c2 ,
(1)
sin ϕ = √
x2 + y 2
s(s − a)(s − b)(s − c) = T 2 ,
(2)
という関係があるので，(x, y) を独立変数，
a+b+c
ただし，s :=
,
(3)
2
(r, ϕ) を従属変数としてもよい．
1
ab sin γ = T
(4)
2
拘束条件
といった関係式が成立する．
一般に，変数 (x1 , x2 , · · · , xN ) が時間 t の関
問 1. 三角形の 2 辺の長さ a, b とその間の角
の大きさ γ がわかったとき，他の辺の長さ c と 数であるとき，これらの変数と微分に関する条
件式
他の角 α, β を決める式を書け．
変数の組
(x1 , x2 , · · · , xN )
Ψ (x1 , x2 , · · · , xN , ẋ1 , ẋ2 , · · · , ẋN , t) = 0
の一部
(7)
(x1 , x2 , · · · , xn ) の値を自由に変えることは あるいは
できるが，これらの値を決めれば残りの変数
Ψ (x1 , x2 , · · · , xN , ẋ1 , ẋ2 , · · · , ẋN , t) ≥ 0 (8)
(xn+1 , xn+2 , · · · , xN ) の値が決まってしまうな
らば，(x , x , · · · , x ) を独立変数 (indepen- を束縛条件または拘束条件 (constraint) という．
1
2
n
dent variables) といい，(xn+1 , xn+2 , · · · , xN ) 拘束条件は等式のこともあるし不等式で与えら
をそれらに対する従属変数 (dependent vari- れることもある．変数の時間微分を含んでいる
ables) という．独立変数の個数 n をこの系の自 拘束条件
Ψ (x1 , x2 , · · · , xN , ẋ1 , ẋ2 , · · · , ẋN , t) = 0
由度 (degreed of freedom) という．
1
(9)
消去法
を積分して，微分を含まない形
Φ(x1 , x2 , · · · , xN , t) = 0
(10)
もとのラグランジアンが N 個の一
に直せるとき，拘束条件 (9) は可積分 (inte- 般 化 座 標 と そ れ ら の 時 間 微 分 の 関 数
grable) あるいはホロノミック (holonomic) で L(x1 , · · · , xN , ẋ1 , · · · , ẋN , t) で 与 え ら れ て
い る と す る ．し か も ，N − n 個 の 従 属 変
あるという．
一般には，拘束条件は一つとは限らず，複数 数 (xn+1 , xn+2 , · · · , xN ) が n 個 の 独 立 変 数
個の拘束条件があり得る：
(x1 , x2 , · · · , xn ) の 関 数 と し て 表 さ れ る と
す る ．こ の 場 合 ，従 属 変 数 を す べ て 独 立
Ψ1 (x1 , · · · , xN , ẋ1 , · · · , ẋN , t) = 0,
..
(11) 変 数 で 表 し て ラ グ ラ ン ジ ア ン を 独 立 変 数
.
だ け の 関 数 L(x1 , · · · , xn , ẋ1 , · · · , ẋn , t) の
Ψk (x1 , · · · , xN , ẋ1 , · · · , ẋN , t) = 0.
形 に 書 き 直 す こ と が で き る ．つ ま り，従
属 変 数 (xn+1 , xn+2 , · · · , xN )
問 2. 等式で表される拘束条件の例を挙げ
ジアンの表式から消去することができ
よ．また，不等式で表される拘束条件の例を挙
る．そうしておいてから，ラグランジアン
げよ．
L(x1 , · · · , xn , ẋ1 , · · · , ẋn , t) から独立変数だけ
問 3. 変数 (x, y) に関する拘束条件
xẋ + y ẏ = 0
をラグラン
についてのオイラー・ラグランジュ方程式を
(12) 立てて，解けばよい．
問 6. 質量 m1 , m2 の質点の座標を x1 , x2 と
から
する．これらが
x2 + y 2 − c = 0
(13)
x1 + x2 = ℓ = 定数
を導け．ただし c は定数．
問 4. 変数 (x, y) に関する拘束条件
xẏ − y ẋ = 0
という拘束条件を満たしているとする．また，
(14) この系はラグランジアン
1
1
L = m1 ẋ21 + m2 ẋ22 + m1 gx1 + m2 gx2 (18)
2
2
から
y
−c=0
x
(17)
(15)
を持つとする．
(i) このモデルはどのような物理的状況を表し
を導け．ただし c は定数．
ているか説明せよ．
問 5. 変数 (x, y, θ, ϕ) に関する拘束条件
{
(ii) x2 を x1 の式で表せ．
ẋ − aϕ̇ cos θ = 0,
(16) (iii) ẋ2 を ẋ1 の式で表せ．
ẏ − aϕ̇ sin θ = 0
(iv) L を x1 , ẋ1 だけの式で表せ．
はホロノミックではないことを証明せよ．ただ (v) このラグランジアンから変数 x1 について
し a は定数．この拘束条件はどのような物理的 のオイラー・ラグランジュ方程式を書け．
(vi) その方程式の初期値問題を解け．
状況を表しているか説明せよ．
2
問 7. 角度 α の斜面を動く質点の座標 (x, y) である．
は独立変数 r を使って
{
x = r cos α,
y = −r sin α,
ωT = 2π,
2π
= 2π
T =
ω
√
m
k
(25)
(19) とおくと (23) の関数は x(t + T ) = x(t) を満た
す．つまり，この質点は周期 (period) T で振動
と表すことができる．このとき，ラグランジ する．
問 10. 鉛直面内を動く二重振り子の運動を
アン
1
L = m(ẋ2 + ẏ 2 ) − mgy
2
考える．2 つの質点があり，それぞれの質量を
(20) m , m ，それぞれの直交座標を (x , y ), (x , y )
1
2
1 1
2 2
とする．長さ ℓ1 で質量ゼロで伸び縮みも曲が
を変数 r(t) に対するラグランジアンに書き換
りもしない棒があり，棒の一方の端は原点に固
えよ．それからオイラー・ラグランジュ方程式
定されており，もう一方の端には質量 m1 の質
を導け．その方程式の初期値問題を解け．
点がくっついている．原点は動けないが，棒は
問 8. 地球の重力の方向に沿った直線を鉛直
自由に回転することはできる．長さ ℓ2 で質量
線 (vertical line) という．鉛直線を含む平面を
ゼロで伸び縮みも曲がりもしない棒があり，こ
鉛直面 (vertical plain) という．鉛直線に直交す
の棒の一方の端には質量 m1 の質点，もう一方
る平面を水平面 (horizontal plain) という．
の端には質量 m2 の質点がくっついている．
水平方向に x 軸をとり，鉛直上向きを y 軸
(i) 変数 (x1 , y1 , x2 , y2 ) に対して拘束条件は 2 つ
をとる．関数 y = f (x) のグラフで表される曲
ある．これらの拘束条件を数式で表せ．
がった斜面上を滑って動く質点を考える．ラグ
(ii) 4 つの変数に拘束条件が 2 つあるので，こ
ランジアン
の系の自由度は 4 − 2 = 2 である．独立変数
1
L = m(ẋ2 + ẏ 2 ) − mgy
2
(21) ϕ1 , ϕ2 を
x1 = ℓ1 sin ϕ1 ,
y = −ℓ cos ϕ ,
から変数 y を消去して独立変数 x だけで書き
1
1
1
表せ．また，そのラグランジアンから変数 x に
x
=
ℓ
sin
ϕ
+
ℓ2 sin ϕ2 ,
2
1
1
対するオイラー・ラグランジュ方程式を導け．
y2 = −ℓ1 cos ϕ1 − ℓ2 cos ϕ2
(26)
問 9. m, k は正の実数とする．ラグランジ となるように選ぶ．ラグランジアン
アン
1
1
L =
m1 (ẋ21 + ẏ12 ) + m2 (ẋ22 + ẏ22 )
2
2
1 2
1
2
(22)
L = mẋ − kx
−m1 gy1 − m2 gy2
(27)
2
2
を ϕ1 , ϕ2 , ϕ̇1 , ϕ̇2 の関数に書き直せ．
からオイラー・ラグランジュ方程式を導け．そ
(iii) ϕ がゼロに近い数であるとき，
の初期値問題の解が
1
(28)
cos ϕ ≈ 1 − ϕ2
ẋ(0)
2
x(t) = x(0) cos ωt +
sin ωt
(23)
ω
sin ϕ ≈ ϕ
(29)
で与えられることを確かめよ．ただし，
という近似的等式が成り立つ．この近似式
√
を 使って ，(ii) で 求 め た ラ グ ラ ン ジ ア ン を
k
ω=
(24) ϕ , ϕ , ϕ̇ , ϕ̇ のたかだか 2 次多項式で近似せよ．
1
2
1
2
m
3
(iii) 二重振子はどのような周期でどう運動する 変数は独立変数でなくてはならない．そこで，
最少の独立変数だけで系を記述しようとする
か，説明せよ．
問 11. 摩擦のない水平面上を回転する棒に束 のが消去法であった．もちろん，これは無駄が
縛された質点の運動を考える．Ω は定数，r は ない方法なのだが，従属変数を消去した結果の
時間変化する独立変数であり，直交座標 (x, y) 数式が非常に複雑になることもある．
は
拘束条件を扱う方法として，消去法に替わる
{
別の方法が以下で説明するラグランジュの未定
x = r cos Ωt,
y = r sin Ωt
(30) 乗数法である．
一般論として，関数 F (x1 , · · · , xN ) の最大値
に従う従属変数だとする．
や最小値を求めたいという問題を考える．とこ
(i) ラグランジアン
ろが，変数 (x1 , · · · , xN ) は好き勝手に動かす
L =
1
m(ẋ2 + ẏ 2 )
2
ことができなくて，拘束条件
(31)
Φ(x1 , x2 , · · · , xN ) = 0
を r, ṙ の関数に書き直せ．
(34)
(ii) そのオイラー・ラグランジュ方程式を導け． を満たさなくてはならないとする．この制約
(iii) 変数 E を
E =
のもとで関数 F (x1 , · · · , xN ) の停留値（できれ
1 2 1
mṙ − mΩ 2 r2
2
2
ば極大値・極小値・最大値・最小値）と停留点
(32)
(x1 , · · · , xN ) を求めよ，という問題を考える．
と定める．関数 r(t) が (ii) のオイラー・ラグラ
消去法 (elimination method) であれば，拘
ンジュ方程式を満たすならば E は時間変化し 束条件の式 Φ(x1 , x2 , · · · , xN ) = 0 を一つの変
ないことを証明せよ．
数，例えば xN について解いて，
(iv) (ii) で導いた方程式の一般解を書け．
xN = g(x1 , x2 , · · · , xN −1 )
(v) 初期条件を次のように場合分けする：
(a)
(b)
(c)
(d)
E
E
E
E
< 0,
= 0,
= 0,
> 0,
r(0) > 0,
r(0) > 0,
r(0) > 0,
r(0) < 0,
ṙ(0) < 0,
ṙ(0) < 0,
ṙ(0) > 0,
ṙ(0) > 0.
(35)
の 形 に 直 し て か ら F (x1 , x2 , · · · , xN −1 , xN )
の xN のと ころ に代 入 し，残った 独立変 数
(33)
(x1 , x2 , · · · , xN −1 ) について，目的の関数
F (x1 , x2 , · · · , xN −1 , g(x1 , x2 , · · · , xN −1 )) (36)
各場合に応じて関数 r(t) のグラフを書け．
(vi) (v) に示された場合分けはそれぞれどんな を微分してゼロになるところを探す．ただ，こ
状況になっているか説明せよ．
の方法だと，すべての変数は対等であるのに，
消去する変数を選ぶことが，もとの問題の対称
性を損なう．また，変数 xN の代わりになる関
ラグランジュの未定乗数法
数 xN = g(x1 , x2 , · · · , xN −1 ) は複雑な関数にな
拘束条件や従属変数があるということは，自 ることが多く，後の問題を煩雑にする．
ラグランジュの未定乗数法 (method of La-
由に変えることのできない余分な変数があると
いうことである．最小作用の原理を考えるとき grange multiplier) は消去法とは全然発想が違
は変数を自由に変分させるので，そこに現れる う．すでに余分な変数があるのに，あえてもう
4
一つ余分な変数 λ を導入し，新たな関数
複数の拘束条件
Φ1 (x1 , · · · , xN ) = 0,
G(x1 , x2 , · · · , xN , λ)
..
.
:= F (x1 , x2 , · · · , xN ) + λ Φ(x1 , x2 , · · · , xN ) (37)
Φk (x1 , · · · , xN ) = 0.
(42)
を定める．そうしておいてから，関数 G を が 課 せ ら れ た 変 数 (x1 , · · · , xN ) の 関 数
x1 , x2 , · · · , xN , λ の各変数で微分してゼロにな F (x1 , x2 , · · · , xN ) の最大・最小点を求めたい
るところを求めれば，それが拘束条件 Φ = 0 の 場合は，k 個の未定乗数 λ1 , · · · , λk を導入し，
下での関数 F の停留点（極大点や極小点）であ 新たな関数
る，というのが，ラグランジュの未定乗数法で
G(x1 , x2 , · · · , xN , λ1 , · · · , λk )
ある．いま導入した変数 λ は，値が未定で，Φ
:= F (x1 , x2 , · · · , xN )
k
∑
+
λi Φi (x1 , x2 , · · · , xN )
に掛け算されることから，未定乗数 (undeter-
mined multiplier) と呼ばれる．
(43)
i=1
問 12. a を正の定数として変数 (x, y) につい
を定める．そして関数 G を x1 , · · · , xN , λ1 , · · · , λk
ての拘束条件
の各変数で微分してゼロになるところを求め
Φ(x, y) = x + y − a = 0
2
2
2
(38) れば，それが拘束条件 Φ1 = · · · = Φk = 0 の
下での関数 F の停留点（極大点や極小点）で
の下で関数
ある．
F (x, y) = x + y
なお，未定乗数の符合も値も最初は未定なの
(39)
の値を最大化または最小化する (x, y) を求めよ．
(i) 拘束条件の式を変形して変数 y を x で表し
で，未定乗数の項は足し算で書いても引き算で
書いてもかまわない：
G(x1 , x2 , · · · , xN , λ1 , · · · , λk )
て，関数 F を x だけの式で表してから最大・最
:= F (x1 , x2 , · · · , xN )
k
∑
−
λi Φi (x1 , x2 , · · · , xN ). (44)
小値を求める方法と (ii) 未定乗数法（この場合
は未定乗数の値も求めよ），の両方の方法で求
めよ．
i=1
問 13. 未定乗数法を証明せよ．つまり，な
ぜ未定乗数法で拘束条件付き極大・極小問題が
ラグランジアンへの未定乗数法
解けるのか，説明せよ．
の応用
問 14. a, b, c を定数として変数 (x, y) につい
ての拘束条件
Φ(x, y) = ax + by + c = 0
変数 q(t) で記述される力学系が拘束条件
Ψ (q, q̇, t) = 0
(40)
(45)
を課せられている場合は，未定乗数 λ(t) （こ
の下で関数
F (x, y) = x2 + y 2
れも時間の関数であることに注意）を導入し，
(41) 元のラグランジアン L に一つ項を加えた新た
なラグランジアン
が最小になるような (x, y) を定める方程式を書
け．また，その解 (x, y) を求めよ．
L̃(q, q̇, λ, t) = L(q, q̇, t) + λ Ψ (q, q̇, t)
5
(46)
を作って，q と λ に対するオイラー・ラグラン を課せられているとする．このとき次の二通り
ジュ方程式
のやり方で質点の運動を求めよ．
( )
(i) 関係式
d ∂ L̃
∂ L̃
−
= 0 (i = 1, · · · , n)(47)
dt ∂ q̇i
∂qi
( )
d ∂ L̃
∂ L̃
x = a cos ϕ, y = a sin ϕ
−
=0
(48)
dt ∂ λ̇
∂λ
(51)
を立てて解けばよい．
により，変数 (x, y) を ϕ の従属変数とする．ラ
なお，L̃ の上に乗せた波線記号 ∼ はチルダ グランジアン (49) を ϕ, ϕ̇ の関数で表し，ϕ に
(tilde) と読む．もともとスペイン語やポルトガ ついてのオイラー・ラグランジュ方程式を立て
ル語などのアルファベットの種類を増やすため て，解け．
の記号だが，ここではたんに記号の種類を増や (ii) 未定乗数 λ を導入して
すために使われている．
問 15. 問 6 の問題を未定乗数法を使って解け．
1
1
L̃ = m(ẋ2 + ẏ 2 ) − λ(x2 + y 2 − a2 )
2
2
(52)
問 16. 直交座標 (x, y) で記述される 2 次元平
面上の質点のラグランジアンを
1
L = m(ẋ2 + ẏ 2 )
2
とし，この質点が拘束条件
x2 + y 2 = a2
(a > 0)
で新たなラグランジアンを定める．ただし，後
の計算がやりやすくなることを見越して，未
(49)
定乗数を − 12 λ にした．x, y, λ についてのオイ
ラー・ラグランジュ方程式を立てて，解け．条
(50) 件 (50) を満たす解だけを書け．
6
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