Residuenkalkül für rationale Integranden Für eine rationale Funktion f ohne reelle Polstellen und mit Zählergrad um mindestens 2 kleiner als der Nennergrad gilt Z∞ f (x) dx = 2πi −∞ X Im a>0 Res f , a wobei die Residuen an allen Polstellen in der oberen Halbebene summiert werden. Rationale Integranden 1-1 Residuenkalkül für rationale Integranden Für eine rationale Funktion f ohne reelle Polstellen und mit Zählergrad um mindestens 2 kleiner als der Nennergrad gilt Z∞ f (x) dx = 2πi −∞ X Im a>0 Res f , a wobei die Residuen an allen Polstellen in der oberen Halbebene summiert werden. Alternativ kann man über die Polstellen in der unteren Halbebene summieren. Dabei ändert sich aufgrund der entgegengesetzten Orientierung das Vorzeichen der Summe. Dies zeigt insbesondere, dass die Summe aller Residuen von f null ist. Rationale Integranden 1-2 Beweis: Im z r C2 a −r 0 C1 r Re z r so groß, dass alle Polstellen a mit Im a > 0 von f im Halbkreis C = C1 + C2 liegen Rationale Integranden 2-1 Beweis: Im z r C2 a −r 0 C1 Re z r r so groß, dass alle Polstellen a mit Im a > 0 von f im Halbkreis C = C1 + C2 liegen Residuensatz =⇒ Z X f (z) dz = 2πi Res f C Im a>0 a Rationale Integranden 2-2 Beweis: Im z r C2 a −r 0 C1 Re z r r so groß, dass alle Polstellen a mit Im a > 0 von f im Halbkreis C = C1 + C2 liegen Residuensatz =⇒ Z X f (z) dz = 2πi Res f C zeige: | R C2 Im a>0 a f | → 0 für r → ∞ Rationale Integranden 2-3 Halbkreis C2 : z(t) = r eit , 0≤t≤π Rationale Integranden 2-4 Halbkreis C2 : z(t) = r eit , 0≤t≤π Zählergrad von f um mindestens 2 kleiner als der Nennergrad lim z 2 f (z) = M |z|→∞ =⇒ (|M| < ∞) und mit M̃ = 2|M| + 1 gilt |f (z)| ≤ e M , |z|2 |z| ≥ r0 für hinreichend großes r0 Rationale Integranden 2-5 Halbkreis C2 : z(t) = r eit , 0≤t≤π Zählergrad von f um mindestens 2 kleiner als der Nennergrad lim z 2 f (z) = M |z|→∞ =⇒ (|M| < ∞) und mit M̃ = 2|M| + 1 gilt |f (z)| ≤ e M , |z|2 |z| ≥ r0 für hinreichend großes r0 Abschätzung Z π e M it it f = f (|{z} r e ) ir e dt ≤ π 2 r → 0 0 r C2 Z z Rationale Integranden 2-6 Beispiel: Integral über R von f (z) = 1 1 + z6 Rationale Integranden 3-1 Beispiel: Integral über R von f (z) = 1 1 + z6 einfache Polstellen: ak = ei(π/6+2πk/6) , k = 0, . . . , 5 Rationale Integranden 3-2 Beispiel: Integral über R von f (z) = 1 1 + z6 einfache Polstellen: ak = ei(π/6+2πk/6) , k = 0, . . . , 5 a0 , a1 , a2 in der oberen Halbebene mit Residuen Res f = lim ak z→ak (z − ak ) 1 + z6 L’Hospital = lim z→ak 1 z ak = lim =− 5 6 z→ak 6z 6z 6 (z 6 = −1) Rationale Integranden 3-3 Beispiel: Integral über R von f (z) = 1 1 + z6 einfache Polstellen: ak = ei(π/6+2πk/6) , k = 0, . . . , 5 a0 , a1 , a2 in der oberen Halbebene mit Residuen Res f = lim ak (z 6 = −1) Residuensatz Z∞ −∞ 1 dx 1 + x6 z→ak (z − ak ) 1 + z6 L’Hospital = lim z→ak 1 z ak = lim =− 5 6 z→ak 6z 6z 6 =⇒ = 2πi 2 X k=0 1 Res f = 2πi − ak 6 ! √ √ 3 i 3 i + +i− + 2 2 2 2 = 2π/3 Rationale Integranden 3-4 Beispiel: Integral über R von f (z) = (z 2 1 1 = , n n + 1) (z − i) (z + i)n n∈N Rationale Integranden 4-1 Beispiel: Integral über R von f (z) = (z 2 1 1 = , n n + 1) (z − i) (z + i)n n∈N Polstelle in der oberen Halbebene: a = i, n-fach Rationale Integranden 4-2 Beispiel: Integral über R von f (z) = (z 2 1 1 = , n n + 1) (z − i) (z + i)n n∈N Polstelle in der oberen Halbebene: a = i, n-fach Res f i = = = 1 (n − 1)! d dz n−1 ((z − i) f (z)) n z=i (−n)(−n − 1) · · · (−2n + 2) 1 (n − 1)! (z + i)2n−1 z=i (2n − 2)! (−1)n−1 i 2n − 2 1−2n = −i 2 (n − 1)!(n − 1)! 22n−1 i2n n−1 Rationale Integranden 4-3 Residuensatz =⇒ Z∞ −∞ 1 2n − 2 2−2n dx = 2πi Res f = π 2 i (x 2 + 1)n n−1 Rationale Integranden 4-4
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