Residuenkalkül für rationale Integranden
Für eine rationale Funktion f ohne reelle Polstellen und mit Zählergrad um
mindestens 2 kleiner als der Nennergrad gilt
Z∞
f (x) dx = 2πi
−∞
X
Im a>0
Res f ,
a
wobei die Residuen an allen Polstellen in der oberen Halbebene summiert
werden.
Rationale Integranden
1-1
Residuenkalkül für rationale Integranden
Für eine rationale Funktion f ohne reelle Polstellen und mit Zählergrad um
mindestens 2 kleiner als der Nennergrad gilt
Z∞
f (x) dx = 2πi
−∞
X
Im a>0
Res f ,
a
wobei die Residuen an allen Polstellen in der oberen Halbebene summiert
werden.
Alternativ kann man über die Polstellen in der unteren Halbebene
summieren. Dabei ändert sich aufgrund der entgegengesetzten
Orientierung das Vorzeichen der Summe. Dies zeigt insbesondere, dass die
Summe aller Residuen von f null ist.
Rationale Integranden
1-2
Beweis:
Im z
r
C2
a
−r
0
C1
r
Re z
r so groß, dass alle Polstellen a mit Im a > 0 von f im Halbkreis
C = C1 + C2 liegen
Rationale Integranden
2-1
Beweis:
Im z
r
C2
a
−r
0
C1
Re z
r
r so groß, dass alle Polstellen a mit Im a > 0 von f im Halbkreis
C = C1 + C2 liegen
Residuensatz
=⇒
Z
X
f (z) dz = 2πi
Res f
C
Im a>0
a
Rationale Integranden
2-2
Beweis:
Im z
r
C2
a
−r
0
C1
Re z
r
r so groß, dass alle Polstellen a mit Im a > 0 von f im Halbkreis
C = C1 + C2 liegen
Residuensatz
=⇒
Z
X
f (z) dz = 2πi
Res f
C
zeige: |
R
C2
Im a>0
a
f | → 0 für r → ∞
Rationale Integranden
2-3
Halbkreis
C2 :
z(t) = r eit ,
0≤t≤π
Rationale Integranden
2-4
Halbkreis
C2 :
z(t) = r eit ,
0≤t≤π
Zählergrad von f um mindestens 2 kleiner als der Nennergrad
lim z 2 f (z) = M
|z|→∞
=⇒
(|M| < ∞)
und mit M̃ = 2|M| + 1 gilt
|f (z)| ≤
e
M
,
|z|2
|z| ≥ r0
für hinreichend großes r0
Rationale Integranden
2-5
Halbkreis
C2 :
z(t) = r eit ,
0≤t≤π
Zählergrad von f um mindestens 2 kleiner als der Nennergrad
lim z 2 f (z) = M
|z|→∞
=⇒
(|M| < ∞)
und mit M̃ = 2|M| + 1 gilt
|f (z)| ≤
e
M
,
|z|2
|z| ≥ r0
für hinreichend großes r0
Abschätzung
Z π
e
M
it
it
f = f (|{z}
r e ) ir e dt ≤ π 2 r → 0
0
r
C2
Z
z
Rationale Integranden
2-6
Beispiel:
Integral über R von
f (z) =
1
1 + z6
Rationale Integranden
3-1
Beispiel:
Integral über R von
f (z) =
1
1 + z6
einfache Polstellen: ak = ei(π/6+2πk/6) , k = 0, . . . , 5
Rationale Integranden
3-2
Beispiel:
Integral über R von
f (z) =
1
1 + z6
einfache Polstellen: ak = ei(π/6+2πk/6) , k = 0, . . . , 5
a0 , a1 , a2 in der oberen Halbebene mit Residuen
Res f = lim
ak
z→ak
(z − ak )
1 + z6
L’Hospital
=
lim
z→ak
1
z
ak
= lim
=−
5
6
z→ak 6z
6z
6
(z 6 = −1)
Rationale Integranden
3-3
Beispiel:
Integral über R von
f (z) =
1
1 + z6
einfache Polstellen: ak = ei(π/6+2πk/6) , k = 0, . . . , 5
a0 , a1 , a2 in der oberen Halbebene mit Residuen
Res f = lim
ak
(z 6 = −1)
Residuensatz
Z∞
−∞
1
dx
1 + x6
z→ak
(z − ak )
1 + z6
L’Hospital
=
lim
z→ak
1
z
ak
= lim
=−
5
6
z→ak 6z
6z
6
=⇒
= 2πi
2
X
k=0
1
Res f = 2πi −
ak
6
!
√
√
3
i
3
i
+ +i−
+
2
2
2
2
= 2π/3
Rationale Integranden
3-4
Beispiel:
Integral über R von
f (z) =
(z 2
1
1
=
,
n
n
+ 1)
(z − i) (z + i)n
n∈N
Rationale Integranden
4-1
Beispiel:
Integral über R von
f (z) =
(z 2
1
1
=
,
n
n
+ 1)
(z − i) (z + i)n
n∈N
Polstelle in der oberen Halbebene: a = i, n-fach
Rationale Integranden
4-2
Beispiel:
Integral über R von
f (z) =
(z 2
1
1
=
,
n
n
+ 1)
(z − i) (z + i)n
n∈N
Polstelle in der oberen Halbebene: a = i, n-fach
Res f
i
=
=
=
1
(n − 1)!
d
dz
n−1
((z − i) f (z))
n
z=i (−n)(−n − 1) · · · (−2n + 2) 1
(n − 1)!
(z + i)2n−1
z=i
(2n − 2)!
(−1)n−1 i
2n − 2 1−2n
= −i
2
(n − 1)!(n − 1)! 22n−1 i2n
n−1
Rationale Integranden
4-3
Residuensatz
=⇒
Z∞
−∞
1
2n − 2 2−2n
dx = 2πi Res f = π
2
i
(x 2 + 1)n
n−1
Rationale Integranden
4-4
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