数理科学基礎演習 II （S1 ターム月曜 3 限、理 2,3 1–7 組）第 3 回解答

数理科学基礎演習 II
（S1 ターム月曜 3 限、理 2,3 1–7 組）
第 3 回解答
土岡俊介
2016 年 5 月 23 日
(Y1)
(
a b
c d
)(
x y
z w
)
(
=
(Y2) AB は定義されるが BA は定義されない。AB =
(
(Y3)
1. det A = −2 より正則行列で、A−1 =
3. det A = 1 より正則行列で、A
(Y4)
−1
=
(
41
−3
35 −15
)
1
2
ay + bw
cy + dw
)
30
)
。
0
。
3/2
2. det A = 0 より正則行列ではない。 (
ax + bz
cx + dz
1/2
)
1
0
−y
1
。
1. det A = 3 · 1 − 4 · 2 = −5,
2. det A = cos2 θ +(
sin2 θ )
= 1.
( )
( )
1 2
x
5
(Y5) 1. 問題文中の A =
を用いて Ax = b と書ける。ただし x =
,b =
である。A が
3 4
y
6
)
(
1 2 5
係数行列で、拡大係数行列は (A, b) =
である。
3 4 6
(
)
4 −2
1
−1
2. A = − 2
.
−3 1
(
)( ) ( )
4 −2
5
−4
1
−1
3. b = A x = − 2
=
.
−3 1
6
9/2
1
(Y6)
(
(
cos θ
sin θ
cos θ
sin θ
) (
)
cos φ − sin φ
cos θ cos φ − sin θ sin φ − cos θ sin φ − sin θ cos φ
=
sin φ cos φ
sin θ cos φ + cos θ sin φ − sin θ sin φ + cos θ cos φ
(
)
cos(θ + φ) − sin(θ + φ)
=
,
sin(θ + φ) cos(θ + φ)
)(
) (
)
cos θ cos φ + sin θ sin φ cos θ sin φ − sin θ cos φ
sin θ
cos φ
sin φ
=
sin θ cos φ − cos θ sin φ sin θ sin φ + cos θ cos φ
− cos θ
sin φ − cos φ
(
)
cos(θ − φ) − sin(θ − φ)
=
.
sin(θ − φ) cos(θ − φ)
− sin θ
cos θ
)(
(Y7) 定義されるのは uT v, uv T のみであり、
 
x
(
)
(
)
uT v = a b c · y  = ax + by + gz ,
z
 
a
(
uv T =  b  · x
c
y

ax ay
z =  bx by
cx cy
)

az
bz  .
cz
(Y8) f1 が線型写像で、f2 , f3 , f4 , f5 , f6 , f7 は線型写像ではない。
実際、
)) (
) (
) (
)
(( ) ( ))
((
(( ))
(( ))
p
(a + p) + (b + q)
a+b
p+q
a
a+p
a
p
f1
+
= f1
=
=
+
= f1
+ f1
,
q
b+q
b
q
b
b+q
b
q
( ( ))
(( )) (
)
(
)
(( ))
a
ca
ca + cb
a+b
a
f1 c
= f1
=
=c
= cf1
b
cb
cb
b
b
なので、f1 は線型写像であることが確かめられた。
f : R2 → R2 が線型写像でないことを示すには、以下のどちらか１つを行えばよい。
(A) うまい u, v ∈ R2 を見つけて、f (u + v) ̸= f (u) + f (v) となることを示す、
(S) うまい a ∈ R と u ∈ R2 を見つけて、f (au) ̸= af (u)) となることを示す。
()
• f2 , f3 , f4 では、u = v = 10 とすることで (A) が達成される。
()
• f5 , f6 , f7 では、a = −2, u = 11 とすることで (S) が達成される。
(Y9)
1. FA (v) = Av で定義される、写像 FA : R2 → R2 のことであった。
2. f, g : R2 → R2 が共に線型写像であれば、その合成 f ◦ g も線型写像であることを確認するのは易
しい。今、(FA ◦ FB )(v) = FA (FB (v)) = FA (Bv) = A(Bv) = (AB)v なので、FA ◦ FB = FAB
となり、C = AB である。
(Y10)
1. 恒等変換
2. x 軸への射影
3. y 軸成分だけ
x 軸方向へずらす変換
(
)
cos θ − sin θ
(Y11) 1. A =
で与えられる FA : R2 → R2 , x 7→ Ax,
sin θ
cos θ
(
)
cos 2θ
sin 2θ
2. B =
で与えられる FB : R2 → R2 , x 7→ Bx.
sin 2θ − cos 2θ
2

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