(1) x = a (1)

1
p
1
xy 平面上の第 1 象限内の 2 つの曲線 C1 : y = x (x > 0) と C2 : y =
(x > 0) を考える．
x
次の問いに答えよ．ただし，a は正の実数とする．
5
a は 0 < a < 1 を満たす実数とする．2 つの曲線 y = ax ，y = loga x が直線 y = x 上に共有
点をもち，その共有点において共通の接線をもつとする．そのときの a の値および共通の接線
の方程式を求めよ．
(1) x = a における C1 の接線 L1 の方程式を求めよ．
(2) C2 の接線 L2 が (1) で求めた L1 と直交するとき，接線 L2 の方程式を求めよ．
（東京学芸大学 2015 ）
(3) (2) で求めた L2 が x 軸，y 軸と交わる点をそれぞれ A，B とする．折れ線 AOB の長さ l を a
の関数として求め，l の最小値を求めよ．ここで，O は原点である．
6
x
e を自然対数の底とする．関数 f(x) = (ex )e は，x = オカのとき極値をとる．
（鳥取大学 2015 ）
2
（東邦大学 2015 ）
次の問いに答えよ．
(1) xy 平面において，関数 y =
log x
(x > 0) の増減を調べ，グラフの概形をかけ．ただし，
x2
7
関数 y =
ax + b
が x = 2 で最大値 1 をとるとき，a ¡ b の値を求めよ．
x2 + x + 1
（自治医科大学 2014 ）
log x
= 0 を用いてよい．
x2
(2) a を定数とする．xy 平面において，2 つの曲線 y = ax2 と y = log x の共有点の個数を調べよ．
lim
x!1
（愛知工業大学 2015 ）
8
関数 f(x) =
log x
; x > 0 を考える．下の問いに答えなさい．
x
(1) f(x) の最大値，およびその最大値を与える x の値を求めなさい．
3
f(x) = log x (x > 0) とし，曲線 C1 : y = f(x) 上の点 (t; f(t)) における接線を ` とする．
p 2
直線 ` と曲線 C2 : y = (x ¡ 2) で囲まれた図形の面積を S とする．このとき，次の問いに答
(2) (1) の結果を利用して e3 > 3e であることを証明しなさい．ただし，e は自然対数の底である．
（長岡技術科学大学 2014 ）
えよ．
(1) S を t を用いて表せ．
(2) S を最小にする t の値を求めよ．ただし，そのときの S の値は求めなくてよい．
（富山大学 2015 ）
9
曲線 y =
x2
を C とし，座標平面上の原点を O とする．以下の問に答えよ．
x2 + 3
(1) 曲線 C の凹凸，変曲点，漸近線を調べ，その概形をかけ．
(1) f0 (x) を求めなさい．
(2) 曲線 C の接線で原点を通るものをすべて求めよ．また，その接点を求めよ．
p
p
17
17
< から時計回り
(3) P を原点を中心とする半径
の円周上の点とする．点 P を点 A $0;
4
4
に動かすとき，原点以外に線分 OP が初めて曲線 C と共有点をもつとき，その座標を求めよ．
(2) x = t における y = f(x) の接線の方程式を求めなさい．
(4) Q を原点を中心とする半径 2 の円周上の点とする．点 Q を点 B(0; 2) から時計回りに動かす
4
2
関数 f(x) = (log x) とおく．t を正の数とするとき，下の問いに答えなさい．
(3) (2) で求めた接線と y 軸との交点の y 座標 g(t) を求めなさい．
とき，原点以外に線分 OQ が初めて曲線 C と共有点をもつとき，その座標を求めよ．
(4) g(t) の最小値と，その最小値を与える t の値を求めなさい．
（大阪教育大学 2014 ）
（長岡技術科学大学 2015 ）
10 図のような，底面の半径が r，高さが h の円錐があり，そこに半径 5 の球が内接しているとする．
ただし，h > 10 とする．以下の問いに答えよ．
(1) この円錐の底面の半径 r を h を用いて表せ．
(2) この円錐の表面積を最小にする h の値を求めよ．
（愛知教育大学 2014 ）
11 関数 f(x) = e
p
2 sin x
を考える．次の問いに答えよ．
(1) 0 5 x 5 2¼ において，関数 f(x) の増減，極値，グラフの凹凸および変曲点を調べ，グラフの
概形をかけ．
(2) a を実数とする．関数 f(x) の導関数を f0 (x) とするとき，x の方程式 f0 (x) = a の 0 5 x 5 2¼
における実数解の個数を求めよ．
（宮城教育大学 2014 ）
12 関数 y = xe¡2x を考える．
(1) y0 ; y00 を求めよ．
(2) この関数の 0 5 x 5 2 における増減，凹凸を調べ，グラフの概形をかけ．
（三重大学 2013 ）

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