(1) a > 0 (1)

1
6
次の問いに答えよ．
(1) C は変曲点を 2 つもつ．その 2 点の座標を求めよ．
(1) a > 0 のとき，関数 f(x) の最大値を求めよ．
た部分の面積を求めよ．
次の問に答えよ．
(1) 関数 f(x) = xe¡2x に対し，f0 (x) と f00 (x) を求めよ．
n
P
Sn
(2) n を自然数とし，Sn =
(n + k)2 とする．Sn を n の式で表し，極限 lim 3 を求めよ．
n!1
n
k=1
Z4
1 p
p
(3) 定積分
dx の値を求めよ．
1
x(1 + x)
3
平面上で，曲線 C : y =
(2) (1) で求めた 2 点での C の接線を，それぞれ L1 ; L2 とする．2 直線 L1 ; L2 と C とで囲まれ
(2) 方程式 f(x) = b の異なる実数解の個数が最も多くなるときの点 (a; b) の範囲を図示せよ．
2
2
を考える．
x2 + 1
B
a; b を実数とする．f(x) = 2 1 + x2 ¡ ax2 とし，x についての方程式 f(x) = b を考える．
B
B
関数 f(x) = 2 1 ¡ x2 に対し，曲線 y = f(x) 上の点 P(a; 2 1 ¡ a2 ) における接線を ` とす
7
関数 y = e¡x で表される曲線を C とする．また，t は 0 < t < 2 をみたす実数とし，x = t に
おける曲線 C の接線を ` とする．以下の問いに答えよ．
(1) 接線 ` の方程式を求めよ．
(2) y 軸，曲線 C および接線 ` で囲まれた部分の面積を S1 (t)，x 軸，直線 x = 3，曲線 C および
接線 ` で囲まれた部分の面積を S2 (t) とする．S1 (t) + S2 (t) を求めよ．
る．` と x 軸，y 軸との交点をそれぞれ Q，R とし，線分 QR の長さを d とするとき，次の問い
(3) (2) で求めた S1 (t) + S2 (t) の最小値を求めよ．
に答えよ．ただし，0 < a < 1 とする．
(1) f(x) を微分せよ．
(2) 直線 ` の方程式を求めよ．
(3) d2 を a を用いて表せ．
8
(4) d の値が最小となるような a の値と，そのときの d の値を求めよ．
4
a > 0 とし，座標平面上の点 A(a; 0) から曲線 C : y =
1
に引いた接線を ` とする．このと
x
き，次の問に答えよ．
(1) 接線 ` の方程式を求めよ．
(2) 曲線 C と接線 `，および直線 x = a で囲まれた部分の面積を求めよ．
xy 平面上に曲線 C : y = log x がある．曲線 C 上の異なる 2 点 A(a; log a)，B(b; log b) に
おける法線をそれぞれ `; m とし，` と m の交点を P とする．線分 AP の長さを d とするとき，
次の問いに答えよ．ただし，対数は自然対数である．
(1) ` の方程式を求めよ．
(2) P の座標を a; b を用いて表せ．
C
log a ¡ log b
< を示せ．
(3) d = a2 + 1 $b +
a¡b
(4) B が A に限りなく近づくときの d の極限値を r = lim d とする．
b!a
5
a を正の定数とし，2 曲線 C1 : y = log x，C2 : y = ax2 が点 P で接しているとする．以下の
問に答えよ．
(1) P の座標と a の値を求めよ．
(2) 2 曲線 C1 ，C2 と x 軸で囲まれた部分を x 軸のまわりに 1 回転させてできる立体の体積を求めよ．
3
2
(a2 + 1)
を示せ．
a
’ a が a > 0 の範囲を動くとき，r の最小値と，そのときの a の値を求めよ．
‘ r=

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