微分積分 I 及び演習高次導関数・テイラーの定理

微分積分 I 及び演習高次導関数・テイラーの定理 (2016/5/20)
高次導関数
○ 定義 (n 次導関数, n 回微分可能)
関数 f (x) を 2 回微分して得られる関数を f (x) の 2 次導関数といい, f ′′ (x) で表す.
一般に f (x) を n 回微分して得られる関数を f (x) の n 次導関数といい, f (n) (x) で表す.
また，f (x) 自身を, f (x) の 0 次導関数ともいい, f (0) (x) で表す．
f (0) (x) = f (x),
f (1) (x) = f ′ (x),
f (2) (x) = f ′′ (x),
f (3) (x) = f ′′′ (x),
...
★ 重要 (いろいろな関数の n 次導関数)
α ̸= 0 かつ n ∈ N とする．次が成り立つ.
(
(
n )
n )
(iii) (cos x)(n) = cos x + π
(i) (ex )(n) = ex (ii) (sin x)(n) = sin x + π
2
2
n−1
(−1)
(n
−
1)!
(n)
(iv) (log(1 + x))(n) =
(v) ((1 + x)α ) = α(α − 1) · · · (α − n + 1)(1 + x)α−n
(1 + x)n
∵ 証明
(i), (v) は明らかであり，(iii) は講義中に解説する．(ii), (iv) のみ証明する．
(ii) n = 1 のときは (sin x)′ = cos x = sin(x + π2 ) より, 確かに (ii) は成り立つ. 次に n = k のとき
(ii) が成り立っていると仮定する. つまり (sin x)(k) = sin(x + k2 π) が成り立っていると仮定する. こ
の両辺をもう 1 回微分すると,
(
)′ (
)′
(sin x)(k+1) = (sin x)(k) = sin(x + k2 π)
(
)
= cos(x + k2 π) = sin (x + k2 π) + π2 = sin(x + k+1
2 π).
よって n = k + 1 のときも (ii) が成り立つ. したがって, 全ての自然数 n に対して (ii) が成り立つ.
(iv) n = 1 のときは (log(1 + x))′ = 1/(1 + x) より, 確かに (iv) は成り立つ. 次に n = k のとき (iv)
が成り立っていると仮定する. つまり (log(1 + x))(k) = (−1)k−1 (k − 1)!/(1 + x)k が成り立っている
と仮定する. この両辺をもう 1 回微分すると,
(log(1 + x))
(k+1)
(
= (log(1 + x))
(k)
)′
(
=
(−1)k−1 (k − 1)!
(1 + x)k
)′
=
(−1)k k!
(1 + x)k+1
よって n = k + 1 のときも (iv) が成り立つ. したがって, 全ての自然数 n に対して (iv) が成り立つ.
テイラーの定理
◎ 性質 (テイラーの定理)
関数 f (x) が区間 I で C n 級であるとする. また a ∈ I とする. このとき f (x) は, 次のように表せる.
(
)
n−1
∑ f (k) (a)
f (n) a + θ(x − a)
k
f (x) =
(x − a) + Rn (x),
Rn (x) =
(x − a)n .
k!
n!
k=0
ここで θ は 0 < θ < 1 を満たすある実数を表す. (但し θ は x, n に依存して決まる.)
○ 定義 (有限テイラー・有限マクローリン展開)
n を 0 以上の整数とする. また f (x) を区間 I で C n 級の関数とし, a ∈ I とする.
1
このとき, 関数 f (x) を, 次の右辺のように表したものを, f (x) の x = a の周りでの n 次の有限テイ
ラー展開という.
f ′ (a)
f (n) (a)
(x − a) + · · · +
(x − a)n + Rn+1 (x).
1!
n!
とくに，x = 0 の周りでの n 次の有限テイラー展開のことを, n 次の有限マクローリン展開という.
f (x) = f (a) +
また f (x) の x = a の周りでの n 次の有限テイラー展開において, 多項式の部分を f (x) の x = a の
周りでの n 次のテイラー近似多項式といい, Rn+1 (x) を剰余項という.
f ′ (a)
f (n) (a)
(x − a) + · · · +
(x − a)n + Rn+1 (x).
1!
n!
{z
} | {z }
f (x) = f (a) +
|
f (x) の x = a の周りでの n 次のテイラー近似多項式
剰余項
☆ 注意
∑
f (x) の x = a の周りでの n 次の有限テイラー展開は,
を使って, 次のように表すこともできる.
n
∑ f (k) (a)
f (x) =
(x − a)k + Rn+1 (x).
k!
k=0
★ 重要 (いろいろな関数の有限マクローリン展開)
α ̸= 0 かつ m ∈ N とする．次のように有限マクローリン展開できる．ここで，θ ∈ (0, 1) である.
(i) ex =
n−1
∑
k=0
(iii) cos x =
xk
eθx n
+
x
k!
n!
n−1
∑
k=0
(ii) sin x =
n−1
∑
k=1
(−1)k−1 2k−1 (−1)n−1 cos(θx) 2n−1
x
+
x
(2k − 1)!
(2n − 1)!
(−1)k 2k (−1)n cos(θx) 2n
x +
x
(2k)!
(2n)!
(iv) log(1 + x) =
n−1
∑
k=1
(−1)k−1 k
(−1)n−1 n
x +
x
k
n(1 + θx)n
(
)
(
)
n−1
∑ α
α
α
k
(v) (1 + x) =
x +
(1 + θx)α−n xn
k
n
k=0
ここで，
(
α
0
)
(
= 1,
α
n
)
=
α(α − 1) · · · (α − n + 1)
.
n!
∵ 証明
(i), (v) は容易に導出できるので省略する．(iii) は講義中に解説する．(ii), (iv) のみを証明する．
(ii) f (x) = sin x とおく．上述の n 次導関数より，f (l) (x) = sin(x + lπ/2) であるので，
{
(−1)k−1 (l = 2k − 1 のとき),
l
f (l) (0) = sin π =
2
0
(l = 2k のとき).
これより f (x) = sin x にテイラーの定理を使用すれば, 次のようになることが分かる.
sin x =
2n−2
∑
l=0
=
n−1
∑
k=1
=
n−1
∑
k=1
=
n−1
∑
k=1
f (l) (0) l f (2n−1) (θx) 2n−1
x +
x
l!
(2n − 1)!
f (2k−1) (0) 2k−1 f (2n−1) (θx) 2n−1
x
+
x
(2k − 1)!
(2n − 1)!
f (2k−1) (0) 2k−1 sin(θx + (2n − 1)π/2) 2n−1
x
+
x
(2k − 1)!
(2n − 1)!
(−1)k−1 2k−1 (−1)n−1 cos(θx) 2n−1
x
+
x
.
(2k − 1)!
(2n − 1)!
2
(iv) f (x) = log(1 + x) とおく．上述の n 次導関数より，f (k) (x) = (−1)k−1 (k − 1)!/ (1 + x)k である
ので，
f (k) (0) = (−1)k−1 (k − 1)!.
これより f (x) = log(1 + x) にテイラーの定理を使用すれば, 次のようになることが分かる.
log(1 + x) =
n−1
∑
k=0
=
n−1
∑
k=1
=
n−1
∑
k=1
f (k) (0) k f (n) (θx) n
x +
x
k!
n!
(−1)k−1 (k − 1)! k (−1)n−1 (n − 1)! n
x +
x
k!
n!(1 + θx)n
(−1)k−1 l
(−1)n−1 n
x +
x .
n
n(1 + θx)n
○ 定義 (テイラー展開・マクローリン展開)
f (x) を区間 I で C ∞ 級の関数とし, a ∈ I とする. また, 各 n (n = 0, 1, 2, . . .) に対して Rn+1 (x) を,
関数 f (x) の x = a の周りでの n 次の有限テイラー展開における剰余項とする.
n
∑
f (k) (a)
(x − a)k .
Rn+1 (x) = f (x) −
k!
k=0
ここで, ある区間 I の x に対して lim Rn+1 (x) = 0 が成り立つとする. このとき, 関数 f (x) は x = a
n→∞
の周りでテイラー展開可能であるといい，次のようにかく．
∞
∑
f (n) (a)
f (x) =
(x − a)n
(x ∈ I).
n!
n=0
この級数を, 関数 f (x) の x = a の周りでのテイラー展開という. とくに，x = 0 の周りでのテイラー
展開をマクローリン展開という．
3

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