Humboldt Universität Berlin - Institut für Mathematik Praktikum zur VL NLA - SS10 R. Lamour 4. Juni 2010 Serie 4 Abgabetermin: letzte Korrektur: 20. Juni 2010 02. Juli 2010 Methode der kleinsten Quadrate Allgemeines Addieren Sie die Immatrikulationsnummern beider Gruppenpartner, die letzte Stelle bestimmt die Aufgabe, die von Ihnen zu bearbeiten ist. • Lösen Sie Ihre Aufgabe mit Hilfe mindestens zweier selbst implementierter JavaKlassen. Achten Sie auf ausreichendes Exception-Handling. – Für die Zerlegung der Matrizen können Sie die Klasse QRDecomposition der Jama Bibliothek verwenden. Überprüfen Sie in jedem Fall die Vollrangbedingung! – Stellen Sie die gegebenen Daten und die zugehörige Lösung grafisch dar. Eine Möglichkeit wird unter Hinweise für die JFreeChart Bibliothek beschrieben. – Ermöglichen Sie dem Nutzer den Import der Daten aus einer Datei, die er zur Laufzeit auswählen kann, z.B. mittels HUMath.InOut.ReadFile. • Verwenden Sie für Ihre Experimente den gegebenen Datensatz und stellen ihn zum Import bereit. Führen Sie die Berechnungen ausserdem für einen modifizierten Datensatz (Teilmenge, veränderte Daten) durch. • Schreiben Sie eine LATEX-Dokumentation, die neben der Theorie u. a. eine Beschreibung der Klassen, sowie Hinweise für den Nutzer (Wie erfolgt der Datenimport, in welcher Struktur werden die Daten erwartet?) enthält. Geben Sie Informationen zur Aufgabenstellung, zum implementierten Algorithmus an und gehen Sie ggf. auf Besonderheiten der Implementierung ein. Dokumentieren Sie Ihre Experimente und Beobachtungen (inkl. der Java Grafiken), erläutern Sie Ihre Ergebnisse. Gehen Sie auf die Qualität der Approximation ein. Aufgaben 0-3 Zur Bestimmung der Form einer an den Endpunkten aufgehängten Kette werden folgende Punkte der Kette gemessen: xi yi : 1.2 2.2 3.9 6.1 8.9 13.5 : 12.9 10.7 6.9 4.1 2.5 1.8 1 17.5 3.0 19.5 5.2 21.6 22.5 8.0 9.8 Ein geeigneter Ansatz für die Gestalt der Kette ist durch y = aedx + be−dx + c gegeben. Für drei verschiedene Werte von d ∈ [0.1, 0.5] bestimme man, durch Lösen eines linearen Ausgleichsproblems mit Hilfe des Householderverfahres, die optimalen Parameter a, b, c. Für welchen Ihrer gewählten Werte d ergibt sich das kleinste Residuum? Stellen Sie Ihre Kettenlinie für den optimalen Parameter d und die Beobachtungsdaten grafisch dar! 4-6 Man benutze die Messwerte der Molekulargewichte der sechs Stickstoffoxide, um die Atomgewichte des Stickstoffs und des Sauerstoffs zu bestimmen. Berechnen Sie die Quadratmittellösung mit Hilfe des Householderverfahrens, und geben Sie den Residuumvektor r = Ax − y aus! NO N2 O N O2 30.006 44.013 46.006 N2 O3 N2 O5 N2 O4 76.012 108.010 92.011 Stellen Sie die Abstände Ihrer Messwerte mit den neu berechneten Molekulargewichten der Stickstoffoxide grafisch dar! 7-9 Ein neu entdeckter Himmelskörper, der sich auf einer Umlaufbahn um die Sonne bewegt, wurde an 10 Positionen beobachtet. Die kartesischen Koordinaten (xi , yi ), i = 1, ..., 10, dieser Positionen, dargestellt in einem angepaßten Koordinatensystem in der Bahnebene, sind in der folgenden Tabelle wiedergegeben: # 1 2 3 4 5 xi -1.024940 -0.949898 -0.866114 -0.773392 -0.671372 yi -0.389269 -0.322894 -0.265256 -0.216557 -0.177152 # 6 7 8 9 10 xi -0.559524 -0.437067 -0.302909 -0.155493 -0.007464 yi -0.147582 -0.128618 -0.121353 -0.127348 -0.148885 Die Bahn des Himmelskörpers ist eine Ellipse mit der Sonne in einem der beiden Brennpunkte: x2 = ay 2 + bxy + cx + dy + e. Bestimmen Sie die Koeffizienten der Ellipse mit Hilfe des Householderverfahrens! Stellen Sie Ihre berechnete Ellipse und die Beobachtungsdaten in einer Grafik dar! 2
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