Vektoren und Geometrie - Institut für Mathematik

Fachschaft Mathematik
Institut für Mathematik
Humboldt-Universität zu Berlin
Warm-Up
WS 2016/17
Übungsaufgaben
zu
Vektoren und Geometrie
Ganz allgemein sind Vektoren Elemente eines Vektorraumes. In den folgenden Aufgaben betrachten wir die Vektorräume (R2 , +, ·) bzw. (R3 , +, ·). Vektoren in R2 bzw. R3 sind dann
einfach Tupel von zwei bzw. drei reellen Zahlen, z.B.
 
−1
1
∈ R2 und  0  ∈ R3
2
1
Vektoren lassen sich dann (komponentenweise) addieren mittels
    

x1
x2
x1 + x2
x1
x2
x1 + x2
+
=
bzw.  y1  +  y2  =  y1 + y2 
y1
y2
y1 + y2
z1
z2
z1 + z2
Aufgabe 1 Vektoren und deren Addition
(i) Zeichne ein zweidimensionales Koordinatensystem, d.h. ein Koordinatensystem mit zwei
Achsen. Achte dabei auf eine korrekte Beschriftung (Achsenbeschriftung x- und y-Achse
und Pfeile an den Achsen in positiver Richtung) und gute Lesbarkeit (weder du selbst
noch jemand anderes sollte ein Mikroskop oder forensische Fähigkeiten benötigen, um
etwas zu erkennen).
Hinweis: Vektoren kann man in solchen Koordinatensystemen als Pfeile darstellen. Der Vektor
x
0
z=
=
y
1
kann z.B. dargestellt werden durch einen Pfeil, der im Punkt (0, 0) (dem Koordinatenursprung)
beginnt und im Punkt (0, 1) endet.
(ii) Zeichne nun durch solche Pfeile die Vektoren
3
2
a=
und b =
1
3
in das Koordinatensystem.
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(iii) Berechne den Vektor a + b und zeichne diesen ebenfalls ein.
(iv) Zeichne nun den Pfeil, der den Vektor a darstellt noch einmal mit derselben Richtung und
Länge, diesmal jedoch nicht ausgehend von (0, 0), sondern vom Punkt (2, 3). Betrachte
das Ergebnis und erkläre anhand dessen, wie sich Vektoren geometrisch in R2 addieren
lassen.
Aufgabe 2 Skizzieren von Mengen I
(i) Zeichne ein zweidimensionales Koordinatensystem und achte wieder auf korrekte Beschriftung und gute Lesbarkeit.
Hinweis: Für einen beliebigen Punkt (x, y) ∈ R2 lässt sich der Abstand d(x, y) zum Koordinatenursprung (0, 0) mit Hilfe des Satzes des Pythagoras berechnen (überzeuge dich davon!):
p
d(x, y) = x2 + y 2
(ii) Markiere (z.B. durch Schraffieren und / oder farblich) die Fläche, die alle Punkte enthält,
die zum Koordinatenursprung einen Abstand von 2 oder weniger haben. Dies ist die
Menge
A = {(x, y) ∈ R2 | d(x, y) ≤ 2} = {(x, y) ∈ R2 | x2 + y 2 ≤ 4}.
Was für eine geometrische Figur stellt die Menge A dar?
(iii) Markiere im gleichen Koordinatensystem das kartesische Produkt
1
3
3
2 1
B=
, 3 × −1,
= (x, y) ∈ R | ≤ x ≤ 3, −1 ≤ y ≤
2
2
2
2
(iv) Markiere schließlich noch die Vereinigung
A ∪ B = {(x, y) ∈ R2 | (x, y) ∈ A oder (x, y) ∈ B}
und die Schnittmenge
A ∩ B = {(x, y) ∈ R2 | (x, y) ∈ A und (x, y) ∈ B}.
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Aufgabe 3 Skizzieren von Mengen II
(i) Zeichne ein zweidimensionales Koordinatensystem und achte wieder auf korrekte Beschriftung und gute Lesbarkeit.
(ii) Skizziere für −2 ≤ x ≤ 3 die Funktionen
f (x) = x2 − 3
und
g(x) = 2x.
(iii) Markiere (in den selben Grenzen) die Mengen
A = {(x, y) ∈ R2 | f (x) ≥ y ≥ g(x)}
und
B = {(x, y) ∈ R2 | f (x) ≤ y ≤ g(x)}.
Aufgabe 4 Ebenen im dreidimensionalen Koordinatensystem
(i) Zeichne ein dreidimensionales Koordinatensystem, d.h. ein Koordinatensystem mit drei
Achsen (x-, y-, z-Achse). Üblicherweise zeigt die x-Achse nach „links unten“, die y-Achse
nach rechts und die z-Achse nach oben. Achte wieder auf korrekte Beschriftung und gute
Lesbarkeit.
Hinweis: Es gibt mehrere Wege, eine Ebene im Raum eindeutig zu beschreiben. Eine Möglichkeit
ist die Beschreibung als Lösung einer Gleichung. So ist zum Beispiel durch die Menge
A = {(x, y, z) ∈ R3 | 6x + 4y + 3z = 12},
d.h. durch alle Lösungen (x, y, z) ∈ R3 der Gleichung 6x + 4y + 3z = 12 eine Ebene in R3
gegeben.
(ii) Skizziere den Teil der Ebene A in deinem Koordinatensystem, dessen Koordinaten x, y
und z alle positiv sind.
Hinweis: Wir stellen fest, dass eine Ebene im dreidimensionalen Raum durch drei Punkte eindeutig bestimmt ist. Bestimme daher zunächst drei gut zeichenbare Punkte (z.B. die Schnittpunkte der Ebene mit den Koordinatenachsen) und verbinde diese Punkte.
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