Analysis II: ¨Ubungsblatt 13 - FA

Prof. Dr. Bálint Farkas
Bergische Universität Wuppertal
Sommersemester 2016
Analysis II: Übungsblatt 13
Um Mehrdeutigkeit zu vermeiden bezeichnen wir den d-dimensionalen Jordan-Inhalt von A ⊆ Rd
mit md (A).
Aufgabe 1. (a) Wir betrachten die Menge A = [0, 1] \ Q. Zeigen Sie die Identitäten
m∗ (A) = 0
und
m∗ (A) = 1.
Ist A Jordan-messbar?
(b) Beweisen Sie, dass die Menge
A := (x, y) ∈ R2 : x ∈ [0, 1], y ∈ [0, 1] \ Q
nicht Jordan-messbar ist.
Aufgabe 2. (a) Sei M ⊆ Rd beschränkte Menge, und setze
A := x0 : x ∈ M ⊆ Rd+1 .
Beweisen Sie, dass m∗ (A) = 0 und somit ist A eine Jordan-messbare Teilmenge des Rd+1 .
(b) Für eine Riemann-integrierbare Funktion f : [0, 1] → R definieren wir ihren Graphen durch
x : x ∈ [0, 1] .
M := f (x)
Beweisen Sie, dass für das äußere Jordan-Maß von M gilt m∗ (M ) = 0. Ist M Jordanmessbar?
Aufgabe 3. Für A ⊆ Rd beschränkt und x ∈ Rd setze A + x := {a + x : a ∈ A}. Beweisen Sie
die folgenden Aussagen:
(a) m∗ (A) = m∗ (A + x) und m∗ (A) = m∗ (A + x).
(b) A ist genau dann Jordan-messbar, wenn A + x Jordan messbar ist. In diesem Fall gilt
md (A) = md (A + x).
Bonusaufgaben
Bonusaufgabe 1. (10 Punkte)
(a) Seien A, B ⊆ Rd Jordan-messbare Mengen mit A ⊆ B. Beweisen Sie, dass
md (B \ A) = md (B) − md (A).
(b) Seien A, B ⊆ Rd , B Jordan-messbar mit md (B) = 0 und A ⊆ B. Beweisen Sie, dass A
Jordan-messbar ist, und es gilt md (A) = 0.
(c) Sei (xn ) ⊆ Rd eine konvergente Folge mit xn → x für n → ∞. Beweisen Sie, dass die Menge
A = x, xn : n ∈ N
Jordan-messbar ist.
Bonusaufgabe 2. (10 Punkte) Wir betrachten die Funktionen sin, cos : [0, 2π] → R, und die
Menge M ⊆ R2 aller Punkte welche zwischen den Graphen von sin und cos liegen. Zeigen Sie,
dass M Jordan-messbar ist und bestimmen Sie m2 (M ).
Wichtige Hinweise:
• Abgabe dieses Blattes bis Mittwoch, 20.7.2016, 12:00 Uhr in den Briefkasten der Analysis II
(Etage 13). Die Nummer des Briefkastens Ihrer Gruppe sowie dieses Übungsblatt finden Sie unter
http://www.fan.uni-wuppertal.de/lehre/ana2-ss16.html.
• Notieren Sie auf der ersten Seite Ihrer Abgabe Ihren Namen, ihre Matrikelnummer und die Nummer
Ihrer Übungsgruppe.

Download Report