1 表と裏の出る確率が等しい硬貨を n 回投げる．この

1
表と裏の出る確率が等しい硬貨を n 回投げる．このとき，表が出る回数が n の半分以上で
ある確率を an とし，表が出る回数が n の半分より大きい確率を bn とする．
(1) a1 ; a2 ; a3 および b1 ; b2 ; b3 をそれぞれ求めよ．
(2) an ¡ bn を n を用いて表せ．
(3) an を n を用いて表せ．
（札幌医科大学 2014 ）
1
関数 f(x) を f(x) = B
とする．
2
x +1
B
(1) 関数 g(x) = log(x + x2 + 1) の導関数を求めよ．
2
(2) 二つの曲線 y = f(x) と y = 1 ¡ f(x) で囲まれる図形の面積を求めよ．
（札幌医科大学 2014 ）
3
三角形 ABC に内接する半径 R の円がある．内接円と辺 BC，CA，AB との接点をそれぞ
れ D，E，F とする．また ® = ÎA，¯ = ÎB，° = ÎC とする．三角形 ABC の面積を
S1 ，三角形 DEF の面積を S2 とする．
¯
°
®
; tan
; tan
を用いて表せ．
2
2
2
¯
°
®
(2) S2 を R; cos
; cos
; cos
を用いて表せ．
2
2
2
¼
以後 ° =
とする．
2
(1) S1 を R; tan
S2
を sin ® と cos ® を用いて表せ．
S1
S2
の最大値を求めよ．
(4)
S1
(3)
（札幌医科大学 2014 ）
4
p
曲線 7x2 + 2 3xy + 9y2 = 30 上の点 (x; y) に対して，変換
W
X = x cos µ ¡ y sin µ
Y = x sin µ + y cos µ
を考える（ただし 0 5 µ 5
¼
とする）．このとき X; Y のみたす式は
2
a(µ)X2 + b(µ)XY + c(µ)Y2 = 30
となる．ただし，a(µ)，b(µ)，c(µ) は µ のみにより決まる定数である．いま，b(µ) = 0
をみたす µ を µ1 とする．
(1) µ1 を求めよ．
(2) a(µ1 )X2 + c(µ1 )Y2 = 30 で囲まれた図形の面積を求めよ．
(3) a(µ1 )X2 + c(µ1 )Y2 = 30 に内接する平行四辺形の面積の最大値を求めよ．
（札幌医科大学 2013 ）
関数 f(x) = x cos x ¡ sin x を区間 I : ¼ 5 x 5 3¼ で考える．
Z
(1) 不定積分
f(x) dx を求めよ．
5
(2) 区間 I における関数 f(x) の最大値と最小値を求めよ．区間 I において f(x) = 0 をみた
す 2 点を x = s; t とする．ただし s < t とする．
(3) s と t は，それぞれ次の 4 つの区間
¼5x5
2¼ 5 x 5
3
¼;
2
5
¼;
2
3
¼ 5 x 5 2¼;
2
5
¼ 5 x 5 3¼
2
のどれに入るか．
(4) x 軸の 4¼ ¡ t 5 x 5 2¼ の部分，直線 x = 4¼ ¡ t，直線 x = 2¼ および y = f(x) で囲ま
れた図形の面積を S とする．また，x 軸の 2¼ 5 x 5 t の部分，x = 2¼ および y = f(x)
で囲まれた図形の面積を T とする．このとき S と T の大小を比較せよ．
（札幌医科大学 2013 ）
6
a と c は実数で a > 0 とする．また，関数 f(x) を次式で定義する．
f(x) = (x2 + a)(x ¡ a2 )2 ¡ cx2
(1) 方程式 f(x) = 0 の異なる実数解の個数を求めよ．
今後，方程式 f(x) = 0 が 3 個の異なる実数解を持つ場合のみを取り扱う．
(2) 方程式 f(x) = 0 の 3 個の異なる実数解を a を用いて表せ．
(3) y = f(x) のグラフのうち f(x) = 0 の部分と x 軸で囲まれる図形の面積を S(a) とする．
S(a)
このとき lim
を求めよ．
a5
a!+0
（札幌医科大学 2015 ）
7
p を 0 5 p 5 1 をみたす実数とする．1 個の白玉と 3 個の赤玉が入っている袋があり，こ
の袋から 1 個の玉を取り出して，取り出した玉に新たに白か赤の玉を 1 個加えて袋に戻す
試行を行う．ただし，この試行の際に加えられる新たな玉の色は
² 確率 p で取り出した玉と同じ色
² 確率 1 ¡ p で取り出した玉と異なる色
とする．
例えば，p = 1 の場合，第 1 回目の試行において赤玉が取り出されると，取り出した赤
玉に加えてもう一つ赤玉を袋に戻す．そして第 1 回目の試行が終わったときには，袋の中
に 1 個の白玉と 4 個の赤玉が入っている．
第 n 回目の試行で白玉が取り出される確率を qn とする．
(1) 第 n 回目の試行で新たに加えられた玉が白玉であり，かつこの白玉が n + 1 回目の試行で
取り出される確率を n; p; qn を用いて表せ．
(2) qn+1 を n; p; qn を用いて表せ．ただし n + 1 回目の試行において，n 回目に入れた玉を
取り出さないという条件の下で，n + 1 回目に白玉を取り出す条件つき確率が qn と等しい
ことを用いてよい．
1
とおくとき，rn+1 を n; p; rn を用いて表せ．
(3) rn = qn ¡
2
1
，p = 1 のときの qn をそれぞれ n を用いて表せ．
(4) p = 0，p =
2
（札幌医科大学 2015 ）
8
三角形 ABC の重心を G，内心を I とし，BC = a，CA = b，AB = c とする．また直線
AI が辺 BC と交わる点を D とする．
(1) 線分 BD の長さを a; b; c を用いて表せ．
(2) 比 AI : ID を a; b; c を用いて表せ．
今後，a + b + c = 1 とし，三角形 BGC の面積を S，三角形 BIC の面積を T とおく．
T
を a を用いて表せ．
(3)
S
T
(4) b < a < c とするとき，
のとりうる値の範囲を求めよ．
S
（札幌医科大学 2015 ）
9
次の問いに答えよ．
(1) 次の不定積分を求めよ．
Z
1
t sin t dt
Z
2
t2 cos t dt
座標平面の原点を O とする．点 A(0; 1) を中心とし半径 1 の円 C 上の x = 0 の範囲にあ
¼
;と
る点 P(xp ; yp ) に対して，線分 OP と x 軸の正の部分とのなす角を µ #0 5 µ 5
2
する．また，P における C の接線上に点 Q(xq ; yq ) を次の条件をみたすようにとる．
² yq 5 yp
² 線分 PQ の長さは，C 上の弧 OP（ただし弧全体が x = 0 に存在する方）の長さに等
しい
² P の座標が (0; 2) のときは xq = ¼ となるように Q をとる
² P が O と一致する場合は Q も O とし，µ = 0 とする
(2) P の座標を µ を用いて表せ．
(3) Q の座標を µ を用いて表せ．
¼
(4) P が 0 5 µ 5
の範囲を動くとき，yq の最大値と最小値を求めよ．
2
¼
の範囲を動くとき，Q の描く曲線と y 軸および直線 y = 2 で囲まれる
(5) P が 0 5 µ 5
2
部分の面積を求めよ．
（札幌医科大学 2015 ）
10 a を 0 < a < 1 とする．座標空間の 4 点を O(0; 0; 0)，A(1; 0; 0)，B #0;
1
; 0;，
a
1
; とする．また，4 点 O，A，B，C を頂点とする四面体に内接する球を
1¡a
S とする．
C #0; 0;
(1) 3 点 A，B，C を通る平面に直交し長さが 1 のベクトルを a を用いて表せ．
(2) 3 点 A，B，C を通る平面と球 S の接点の座標を a を用いて表せ．
(3) 球 S の半径を a を用いて表せ．
(4) 球 S の体積の最大値を求めよ．
（札幌医科大学 2014 ）
11 1 から 4 の数字が 1 つずつ書かれた正四面体のサイコロを独立に 4 回投げ，底面に書かれ
てある数字をサイコロを投げた順番に a1 ; a2 ; a3 ; a4 とする．そして，座標平面上の 2 点
を P1 (a1 ; a2 )，P2 (¡a3 ; a4 ) とする．また，原点を O と表す．
(1) 点 P1 が直線 y = 2x 上にあり，かつ点 P2 が直線 y = ¡
1
x 上にある確率を求めよ．
2
(2) ÎP1 OP2 が直角となる確率を求めよ．
(3) ÎP1 OP2 が鋭角となる確率を求めよ．
（札幌医科大学 2013 ）

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