年 番号 1 In = Z 0 ¼ 4 tann x dx (n = 1; 2; 3; Ý) とおく.このとき,次の問いに答えよ. ¼ 4 (2) lim In を求めよ. (1) tan x 5 x + 1 ¡ #0 5 x 5 ¼ ; が成り立つことを示せ. 4 a を正の実数とする.点 P は曲線 Ca : y = eax 上を,点 Q は直線 y = x をそれぞれ動く.こ のとき,次の問いに答えよ. (1) 曲線 Ca と直線 y = x が共有点をもたないような a の値の範囲を求めよ. n!1 (2) (1) で求めた範囲にある a に対して,線分 PQ の長さの最小値を d(a) とする.PQ の長さが (3) In + In+2 の値を n を用いて表せ. (4) (3) までの結果を用いて,無限級数 3 氏名 1 (¡1)n+1 P の和を求めよ. 2n n=1 d(a) となる曲線 Ca 上の点を Pa とする. ‘ d(a) を求めよ. ( 旭川医科大学 2016 ) ’ 点 Pa における曲線 Ca の接線の傾きを求めよ. “ a が (1) で求めた範囲を動くときの点 Pa の軌跡を求め,その概形を図示せよ. (3) d(a) の最大値と,そのときの a の値を求めよ. ( 旭川医科大学 2016 ) 2 原点 O を中心とする単位円周上に A(¡1; 0),B(1; 0),および y > 0 を満たす動点 C(x; y) ¼ がある.ÎBAC = µ とするとき,次の問いに答えよ.ただし,0 < µ < とする. 2 4 A の袋には赤玉 5 個,白玉 1 個が入っている.B の袋には赤玉 2 個,白玉 2 個が入っている.こ の 2 つの袋は見た目では区別できないものとする.このとき,次の確率を求めよ. (1) 4ABC の面積を µ を用いて表せ. (1) 2 つの袋からそれぞれ 2 個ずつ,合計 4 個の玉を取り出すとき,赤玉が 3 個以上である確率 (2) 4ABC の内接円 O1 の半径 r1 を µ を用いて表せ. (2) ど ちらか一方の袋を選んで 1 個の玉を取り出すとき,それが赤玉である確率 (3) x 軸,辺 AC の延長線,および辺 BC とそれぞれ接する円 O2 を考える.x 軸上の接点を D,辺 (3) ど ちらか一方の袋を選んで 2 個の玉を取り出すとき,1 個でも白玉があれば「袋 B を選んだ 」 AC の C 側の延長上の接点を E,そして辺 BC 上の接点を F とする. と判断する.袋 A を選んで取り出したときに「袋 B を選んだ」と判断してしまう確率 ‘ AD の長さを µ を用いて表せ. ( 旭川医科大学 2016 ) ’ 円 O2 の半径 r2 を µ を用いて表せ. “ 円 O1 の中心を I,円 O2 の中心を J とする. r2 = 2 となるとき,4OIJ の面積を求めよ. r1 ( 旭川医科大学 2016 ) 5 f(p; q; r) = p3 ¡ q3 ¡ 27r3 ¡ 9pqr について,次の問いに答えよ. (1) f(p; q; r) を因数分解せよ. (2) 等式 f(p; q; r) = 0 と p2 ¡ 10q ¡ 30r = 11 との両方を満たす正の整数の組 (p; q; r) をす べて求めよ. ( 旭川医科大学 2015 ) 6 n を正の整数とする.2n¼ 5 x 5 (2n + 1)¼ の範囲で関数 f(x) = x sin x を考える.関数 f(x) 8 四面体 OAPQ において,ÎAOP = ÎAOQ = ÎPOQ = 60± ,OA = 1,OP = p,OQ = q と が極大値をとる x を an とし ,曲線 y = f(x) の変曲点を (bn ; f(bn )) とする.次の問いに答 し,頂点 A から平面 OPQ に下ろした垂線を AH とする.ただし,p 5 q とする.このとき,次 えよ. の問いに答えよ. (1) an と bn はそれぞれ唯 1 つあって,2n¼ < bn < 2n¼ + ¼ < an < (2n + 1)¼ を満たすことを 2 示せ. ¡! ¡! (1) 内積 AP ¢ AQ を p; q を用いて表せ. (2) AH の長さを求めよ. (2) 以下の極限を求めよ. (1) lim (an ¡ 2n¼) (3) p + q = 3,および 4APQ の面積が 1 のとき,以下の値を求めよ. (2) lim (bn ¡ 2n¼) n!1 n!1 (3) lim f(bn ) (1) pq n!1 (3) 曲線 y = f(x) (2n¼ 5 x 5 (2n + 1)¼) と x 軸とで囲まれた図形を,3 つの直線 x = bn , ¼ x = 2n¼ + ,x = an によって 4 つの部分に分ける.その面積を左から順に S1 ,S2 ,S3 ,S4 2 とするとき,(S3 + S4 ) ¡ (S1 + S2 ) の値を求めよ. (4) 以下の極限を求めよ. n!1 (2) lim S3 n!1 (3) lim (S4 ¡ S2 ) n!1 (3) 四面体 OAPQ の体積 ( 旭川医科大学 2015 ) 9 関数 f(x) = log(1 + x2 ) について,次の問いに答えよ. (1) (1) lim S1 (2) p Z 1 0 log(1 + x2 ) dx を求めよ. (2) 導関数 f0 (x) の増減を調べ,y = f0 (x) のグラフの概形をかけ. ( 旭川医科大学 2015 ) (3) 曲線 C : y = f(x) と曲線 C の互いに直交している 2 本の接線とで囲まれる図形の面積 S を求 めよ. ( 旭川医科大学 2014 ) 7 ¼ ; における C の接線と直線 曲線 C : y = sin2 x について,C 上の点 (t; sin2 t) #0 5 t 5 2 ¼ x = a との交点を P とする.ただし ,a は 0 5 a 5 を満たす定数とする.このとき,次の 2 問いに答えよ. ¼ とし ,曲線 y = 1 ¡ cos x (0 5 x 5 a) を C とする.0 < t < a とし ,原点と C 2 上の点 (t; 1 ¡ cos t) を通る直線を ` とおくとき,次の問いに答えよ. 10 0 < a 5 (1) 曲線 C と直線 ` とで囲まれた部分の面積を S1 (t),t 5 x 5 a の範囲で C と ` と直線 x = a と (1) 点 P の y 座標を f(t) とおくとき,f(t) を求めよ. (2) 関数 f(t) の増減を調べ,その最大値と最小値を求めよ. ¼ の範囲を動くとき,点 (t; sin2 t) における C の接線が通るすべての点のうち, (3) t が 0 5 t 5 2 ¼ 05x5 となるものの範囲を xy 平面に図示せよ. 2 ( 旭川医科大学 2015 ) で囲まれた部分の面積を S2 (t) とおくとき,S1 (t) + S2 (t) を求めよ. (2) S1 (t) + S2 (t) を最小とする t の値を t0 とするとき,t0 を a を用いて表せ. S1 (t0 ) ¡ S2 (t0 ) a3 a3 a5 を求めよ.ただし, a ¡ < sin a < a ¡ + (a > 0) は用 3! 3! 5! a3 a!+0 いてよい. (3) lim ( 旭川医科大学 2014 ) 11 a を正の定数とする.AB = a,AC = 2a,ÎBAC = 2 ¼ である 4ABC と, 3 ¡! ¡ ! ¡ ! j2AP ¡ 2BP ¡ CPj = a を満たす動点 P がある.このとき,次の問いに答えよ. ¡! (1) 辺 BC を 1 : 2 に内分する点を D とするとき,jADj を求めよ. ¡! (2) jAPj の最大値を求めよ. (3) 線分 AP が通過してできる図形の面積 S を求めよ. ( 旭川医科大学 2014 ) 12 一列に並んだ 3 つの部屋 A,B,C があり,2 頭の象がいる.2 頭の象は毎日 1 つの部屋から隣 の部屋に,次のルールに従って移動する. 0 < p < 1 とし,象が部屋 A と部屋 B にいるとき,部屋 A にいる象は部屋 A に留まり,部屋 B にいる象が確率 p で部屋 C に移る.象が部屋 B と部屋 C にいるとき,部屋 C にいる象は部屋 C に留まり,部屋 B にいる象が確率 1 ¡ p で部屋 A に移る.象が部屋 A と部屋 C にいるとき, 部屋 A にいる象が確率 p で部屋 B に移り,移らない場合は部屋 C にいる象が部屋 B に移る.2 頭の象が同時に同じ部屋にいることはできない. はじめに 2 頭の象はそれぞれ部屋 A と部屋 B にいるものとし,2n 日後に象が部屋 A にいる確 率を an (n = 1; 2; Ý) とおく.このとき,次の問いに答えよ. (1) a1 を求めよ. (2) an+1 を an を用いて表せ. 2 (3) p = のとき,an を求めよ. 3 ( 旭川医科大学 2014 )
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