1 In - SUUGAKU.JP

年番号
1
In =
Z
0
¼
4
tann x dx (n = 1; 2; 3; Ý) とおく．このとき，次の問いに答えよ．
¼
4
(2) lim In を求めよ．
(1) tan x 5 x + 1 ¡
#0 5 x 5
¼
; が成り立つことを示せ．
4
a を正の実数とする．点 P は曲線 Ca : y = eax 上を，点 Q は直線 y = x をそれぞれ動く．こ
のとき，次の問いに答えよ．
(1) 曲線 Ca と直線 y = x が共有点をもたないような a の値の範囲を求めよ．
n!1
(2) (1) で求めた範囲にある a に対して，線分 PQ の長さの最小値を d(a) とする．PQ の長さが
(3) In + In+2 の値を n を用いて表せ．
(4) (3) までの結果を用いて，無限級数
3
氏名
1 (¡1)n+1
P
の和を求めよ．
2n
n=1
d(a) となる曲線 Ca 上の点を Pa とする．
‘ d(a) を求めよ．
（旭川医科大学 2016 ）
’ 点 Pa における曲線 Ca の接線の傾きを求めよ．
“ a が (1) で求めた範囲を動くときの点 Pa の軌跡を求め，その概形を図示せよ．
(3) d(a) の最大値と，そのときの a の値を求めよ．
（旭川医科大学 2016 ）
2
原点 O を中心とする単位円周上に A(¡1; 0)，B(1; 0)，および y > 0 を満たす動点 C(x; y)
¼
がある．ÎBAC = µ とするとき，次の問いに答えよ．ただし，0 < µ <
とする．
2
4
A の袋には赤玉 5 個，白玉 1 個が入っている．B の袋には赤玉 2 個，白玉 2 個が入っている．こ
の 2 つの袋は見た目では区別できないものとする．このとき，次の確率を求めよ．
(1) 4ABC の面積を µ を用いて表せ．
(1) 2 つの袋からそれぞれ 2 個ずつ，合計 4 個の玉を取り出すとき，赤玉が 3 個以上である確率
(2) 4ABC の内接円 O1 の半径 r1 を µ を用いて表せ．
(2) どちらか一方の袋を選んで 1 個の玉を取り出すとき，それが赤玉である確率
(3) x 軸，辺 AC の延長線，および辺 BC とそれぞれ接する円 O2 を考える．x 軸上の接点を D，辺
(3) どちらか一方の袋を選んで 2 個の玉を取り出すとき，1 個でも白玉があれば「袋 B を選んだ」
AC の C 側の延長上の接点を E，そして辺 BC 上の接点を F とする．
と判断する．袋 A を選んで取り出したときに「袋 B を選んだ」と判断してしまう確率
‘ AD の長さを µ を用いて表せ．
（旭川医科大学 2016 ）
’ 円 O2 の半径 r2 を µ を用いて表せ．
“ 円 O1 の中心を I，円 O2 の中心を J とする．
r2
= 2 となるとき，4OIJ の面積を求めよ．
r1
（旭川医科大学 2016 ）
5
f(p; q; r) = p3 ¡ q3 ¡ 27r3 ¡ 9pqr について，次の問いに答えよ．
(1) f(p; q; r) を因数分解せよ．
(2) 等式 f(p; q; r) = 0 と p2 ¡ 10q ¡ 30r = 11 との両方を満たす正の整数の組 (p; q; r) をす
べて求めよ．
（旭川医科大学 2015 ）
6
n を正の整数とする．2n¼ 5 x 5 (2n + 1)¼ の範囲で関数 f(x) = x sin x を考える．関数 f(x)
8
四面体 OAPQ において，ÎAOP = ÎAOQ = ÎPOQ = 60± ，OA = 1，OP = p，OQ = q と
が極大値をとる x を an とし，曲線 y = f(x) の変曲点を (bn ; f(bn )) とする．次の問いに答
し，頂点 A から平面 OPQ に下ろした垂線を AH とする．ただし，p 5 q とする．このとき，次
えよ．
の問いに答えよ．
(1) an と bn はそれぞれ唯 1 つあって，2n¼ < bn < 2n¼ +
¼
< an < (2n + 1)¼ を満たすことを
2
示せ．
¡! ¡!
(1) 内積 AP ¢ AQ を p; q を用いて表せ．
(2) AH の長さを求めよ．
(2) 以下の極限を求めよ．
(1) lim (an ¡ 2n¼)
(3) p + q = 3，および 4APQ の面積が 1 のとき，以下の値を求めよ．
(2) lim (bn ¡ 2n¼)
n!1
n!1
(3) lim f(bn )
(1) pq
n!1
(3) 曲線 y = f(x) (2n¼ 5 x 5 (2n + 1)¼) と x 軸とで囲まれた図形を，3 つの直線 x = bn ，
¼
x = 2n¼ +
，x = an によって 4 つの部分に分ける．その面積を左から順に S1 ，S2 ，S3 ，S4
2
とするとき，(S3 + S4 ) ¡ (S1 + S2 ) の値を求めよ．
(4) 以下の極限を求めよ．
n!1
(2) lim S3
n!1
(3) lim (S4 ¡ S2 )
n!1
(3) 四面体 OAPQ の体積
（旭川医科大学 2015 ）
9
関数 f(x) = log(1 + x2 ) について，次の問いに答えよ．
(1)
(1) lim S1
(2) p
Z
1
0
log(1 + x2 ) dx を求めよ．
(2) 導関数 f0 (x) の増減を調べ，y = f0 (x) のグラフの概形をかけ．
（旭川医科大学 2015 ）
(3) 曲線 C : y = f(x) と曲線 C の互いに直交している 2 本の接線とで囲まれる図形の面積 S を求
めよ．
（旭川医科大学 2014 ）
7
¼
; における C の接線と直線
曲線 C : y = sin2 x について，C 上の点 (t; sin2 t) #0 5 t 5
2
¼
x = a との交点を P とする．ただし，a は 0 5 a 5
を満たす定数とする．このとき，次の
2
問いに答えよ．
¼
とし，曲線 y = 1 ¡ cos x (0 5 x 5 a) を C とする．0 < t < a とし，原点と C
2
上の点 (t; 1 ¡ cos t) を通る直線を ` とおくとき，次の問いに答えよ．
10 0 < a 5
(1) 曲線 C と直線 ` とで囲まれた部分の面積を S1 (t)，t 5 x 5 a の範囲で C と ` と直線 x = a と
(1) 点 P の y 座標を f(t) とおくとき，f(t) を求めよ．
(2) 関数 f(t) の増減を調べ，その最大値と最小値を求めよ．
¼
の範囲を動くとき，点 (t; sin2 t) における C の接線が通るすべての点のうち，
(3) t が 0 5 t 5
2
¼
05x5
となるものの範囲を xy 平面に図示せよ．
2
（旭川医科大学 2015 ）
で囲まれた部分の面積を S2 (t) とおくとき，S1 (t) + S2 (t) を求めよ．
(2) S1 (t) + S2 (t) を最小とする t の値を t0 とするとき，t0 を a を用いて表せ．
S1 (t0 ) ¡ S2 (t0 )
a3
a3
a5
を求めよ．ただし，
a
¡
<
sin
a
<
a
¡
+
(a > 0) は用
3!
3!
5!
a3
a!+0
いてよい．
(3) lim
（旭川医科大学 2014 ）
11 a を正の定数とする．AB = a，AC = 2a，ÎBAC =
2
¼ である 4ABC と，
3
¡!
¡
! ¡
!
j2AP ¡ 2BP ¡ CPj = a
を満たす動点 P がある．このとき，次の問いに答えよ．
¡!
(1) 辺 BC を 1 : 2 に内分する点を D とするとき，jADj を求めよ．
¡!
(2) jAPj の最大値を求めよ．
(3) 線分 AP が通過してできる図形の面積 S を求めよ．
（旭川医科大学 2014 ）
12 一列に並んだ 3 つの部屋 A，B，C があり，2 頭の象がいる．2 頭の象は毎日 1 つの部屋から隣
の部屋に，次のルールに従って移動する．
0 < p < 1 とし，象が部屋 A と部屋 B にいるとき，部屋 A にいる象は部屋 A に留まり，部屋
B にいる象が確率 p で部屋 C に移る．象が部屋 B と部屋 C にいるとき，部屋 C にいる象は部屋
C に留まり，部屋 B にいる象が確率 1 ¡ p で部屋 A に移る．象が部屋 A と部屋 C にいるとき，
部屋 A にいる象が確率 p で部屋 B に移り，移らない場合は部屋 C にいる象が部屋 B に移る．2
頭の象が同時に同じ部屋にいることはできない．
はじめに 2 頭の象はそれぞれ部屋 A と部屋 B にいるものとし，2n 日後に象が部屋 A にいる確
率を an (n = 1; 2; Ý) とおく．このとき，次の問いに答えよ．
(1) a1 を求めよ．
(2) an+1 を an を用いて表せ．
2
(3) p =
のとき，an を求めよ．
3
（旭川医科大学 2014 ）

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