応用情報数学 II 講義ノート
平成 28 年 4 月 26 日
3
目次
第 1 章 テーラーの定理
1.1
5
テーラーの定理 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
第 2 章 関数論
17
2.1
2.2
2.3
複素数 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.4
2.5
複素数の指数関数、対数関数 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.6
2.7
2.8
正則関数 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
複素数列 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
数列、級数の極限の基本事項 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
連続関数 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
べき級数 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
複素線積分
5
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.9 コーシーの積分定理
2.10 コーシーの積分公式
17
19
21
30
32
34
41
47
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
51
58
2.11 積分計算への応用 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.12 留数と積分計算への応用 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
63
65
第 3 章 フーリエ級数
3.1
3.2
形式的準備
3.3
3.4
フーリエ級数の総和定理 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.5
3.6
3.7
一般の周期の場合のフーリエ級数 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
フーリエ係数 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
フーリエ級数の収束
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
フーリエ変換 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
フーリエ変換の総和定理 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
71
71
72
76
82
91
93
99
5
第 1 章 テーラーの定理
1.1
テーラーの定理
関数 y = f (x) と、そのグラフの x = a における接線 y = f (a) + f ′ (a)(x − a) との誤差
R(x) = f (x) − [f (a) + f ′ (a)(x − a)]
を考える。x ̸= a のとき
f (x) − f (a)
− f ′ (a) = ρ(x)
x−a
とおくと、微分の定義から limx→a ρ(x) = 0 であり、R(x) = ρ(x)(x − a) とあらわされる。したがって
R(x)
=0
x→a x − a
lim R(x) = 0, lim
x→a
である。つまり、誤差は x → a のとき小さくなる。さらに limx→a R(x)/(x − a)x = 0 であるから、どのよ
うな正数 m に対しても、|x − a| の値が十分小さければ、|R(x)/(x − a)| < m となる。つまりある δ > 0
にたいして、0 < |x − a| < δ ならば、|R(x)/(x − a)| < m である。これを書きなおすと
a − δ < x < a + δ, x ̸= a ⇒ −m < R(x)/(x − a) < m
したがって
a ≤ x < a + δ ⇒ −m(x − a) < R(x) < m(x − a)
a − δ < x ≤ a ⇒ m(x − a) < R(x) < −m(x − a),
つまり誤差関数 y = R(x) のグラフは、どんな小さな傾き m > 0 をとっても、x が a に十分近い（|x−a| < δ)
のとき y = m(x − a) と y = −m(x − a) の間にある。ゆえに y = f (x) のグラフは２直線
y = f (a) + (f ′ (a) + m)(x − a),
y = f (a) + (f ′ (a) − m)(x − a)
の間にある。
定義 1.1.1 x = a の近くで定義される関数 u(x) が、limx→a u(x) = 0 であるとき、これは x = a におい
て無限小であるという。v(x) も x = a において無限小であり、limx→a u(x)/v(x) = 0 であるならば、u(x)
は v(x) より高位の無限小であるといって u(x) = o(v(x)) (x → a) と書く。また u(x)/v(x) が 0 には収束
しないが、|u(x)/v(x)| ≤ C となる定数 C が存在するとき、u(x) と v(x) は同位の無限小であるといって
u(x) = O(v(x)) (x → a) と書く。
第 1 章 テーラーの定理
6
問 1.1.2 u(x) と v(x) は x = a で無限小であり、limx→a u(x)/v(x) = A が存在し、A ̸= 0 であるならば、
u(x) = O(v(x)) (x → a) である。これを証明せよ。（以後このような文章による証明問題では証明すべき
内容だけ書き「証明せよ」を省く）
たとえば、n > m ≥ 1 ならば
(x − a)n = o((x − a)m )
(x → a).
また limx→0 (sin x)/x = 1 であるから、
sin(x) = O(x) (x → 0)
問 1.1.3 sin x2 = o(x) x → 0 である。
√
√
問 1.1.4 y = sin(x2 ) のグラフの概形を − π ≤ x ≤ π の範囲で描け。
この無限小記号を用いると、上の誤差は
R(x) = o((x − a)) (x → a).
このことを次のようにあらわす。
f (x) = f (a) + f ′ (a)(x − a) + o((x − a))
(x → a).
次に接線による近似よりも精度のよい近似を考えよう。たとえば、等比級数の和公式
1 + x + x2 + x3 + · · · + xn =
1 − xn+1
1−x
x ̸= 1
より
1
− (1 + x + x2 + · · · + xn ) = Rn (x)
1−x
とおくと、
Rn (x) =
xn+1
.
1−x
つまり、関数 y = 1/(1 − x) は多項式関数 y = 1 + x + x2 + · · · + xn で近似され。誤差が Rn (x) であると解
釈できる。
問 1.1.5 y = 1/(1 − x), y = 1, y = 1 + x, y = 1 + x + x2 のグラフの概形を −1 < x < 1 の範囲で描け。
n を固定して考えると、この誤差は x = 0 において無限小であり、しかも
R(x) = o(xn ), R(x) = O(xn+1 ) (x → 0).
1.1. テーラーの定理
7
また |x| を小さい値に固定して考えると、この誤差は n が大きくなるにつれて、どんどん小さくなる。た
とえば、|x| < 1/2 ならば、|1 − x| > 1/2 であるから、
|R(x)| < 2|x
n+1
( )n+1 ( )n
1
1
|<2
=
→ 0 (n → ∞).
2
2
ゆえに 1/(1 − x) が無限級数としてあらわされる：
1
= 1 + x + x2 + x3 + · · · + xn + · · ·
1−x
これから、このような特殊な関数ばかりでなく、ほとんどの関数が
1) 多項式で近似できる
2) 無限級数であらわされる
ことを示す。
関数 f (x) の定義されている区間 I 内の (任意の) 定点 a をとり、x がとる値の範囲を点 a の近くに限定
して考える．つまり |x − a| の値が小さい範囲で考える。このとき f (x) をあらわす無限級数をさがしてみ
る。それは X = x − a の級数であると考えて
f (x)
A0 + A1 (x − a) + A2 (x − a)2 + A3 (x − a)3 + A4 (x − a)4
=
+ · · · + An (x − a)n + · · ·
とおいてみる。このとき係数 A0 , A1 , A2 , · · · , An , · · · は次のように
f (a), f ′ (a), f ′′ (a), · · · , f (n) (a), · · ·
の値により次々に決定されるのである。
まず上の等式がなりたつとして、両辺で x = a とおいてみると、f (a) = A0 . つぎに、上の等式を微分し
てみる。右辺は各項毎に微分することにすると
f ′ (x)
A1 + 2A2 (x − a) + 3A3 (x − a)2 + 4A4 (x − a)3
=
+ · · · + nAn (x − a)n−1 + · · · .
また次々に微分すると
f ′′ (x) =
2A2 + 2 · 3A3 (x − a) + 3 · 4A4 (x − a)2
+ · · · + (n − 1) · nAn (x − a)n−2 + · · · .
f (3) (x)
=
2 · 3A3 + 2 · 3 · 4A4 (x − a)
+ · · · + (n − 2) · (n − 1) · nAn (x − a)n−3 + · · · .
f (4) (x) = 2 · 3 · 4A4 + · · · + (n − 3) · (n − 2) · (n − 1) · nAn (x − a)n−4 + · · · .
第 1 章 テーラーの定理
8
となる。これらの式で x = a とおくと
f ′ (a) = A1 , f ′′ (2) = 2A2 , f (3) (a) = 2 · 3A3 , f (4) (a) = 2 · 3 · 4A4
となる。したがってすべての n = 0, 1, 2, · · · , に対して
f (n) (a) = n!An
である。ただし、f (n) (x) は n 次の導関数をあらわし、n = 0 のときは f (x) そのものをあらわす。また
{
1 × 2 × 3 × · · · × n (n ≥ 1)
n! =
1
(n = 0)
と定義し、n の階乗という。
0! = 1, 1! = 1, 2! = 2, 3! = 6, 4! = 24, 5! = 120, 6! = 720, · · · ,
10! = 3628800, · · · , 20! = 2432902008176640000, · · ·
のように急激に大きくなる数である。
このようにして
An =
f (n) (a)
n!
であると計算できる。
定義 1.1.6 無限級数
∞
∑
f (n) (a)
f (2) (a)
f (3) (a)
(x − a)n = f (a) + f ′ (a)(x − a) +
(x − a)2 +
(x − a)3 + · · ·
n!
2!
3!
n=0
を f (x) の x = a を中心とする (あるいは x = a のまわりの) テーラー級数という。a = 0 のときは
∞
∑
f (n) (0) n
f (2) (0) 2 f (3) (0) 3
x = f (0) + f ′ (0)x +
x +
x + ···
n!
2!
3!
n=0
のように簡単になり、これを f (x) のマクローリン級数という。
問 1.1.7 n 次多項式
f (x) = an xn + an−1 xn−1 + · · · + a1 x + a0 ,
an ̸= 0,
に関して次の問にこたえよ。
(i) f (x) のマクローリン級数は f (x) と同じであることを確かめよ。
(ii) f (x) の x = a の周りのテーラー級数を利用して次のことを証明せよ：x = a が f (x) = 0 の k 重解
（1 ≤ k ≤ n）である必要十分条件は
f (a) = f ′ (a) = f ′′ (a) = · · · = f (k−1) (a) = 0,
f (k) (a) ̸= 0
1.1. テーラーの定理
9
例 1.1.8 つぎの関数のマクローリン級数を書いてみる。
(i) f (x) = 1/(1 − x) = (1 − x)−1 のときは
f ′ (x) = (−1)(1 − x)−2 (−1) = (1 − x)−2 ,
f ′′ (x) = (−2)(1 − x)−3 (−1) = 2(1 − x)−3 , · · ·
と計算すると f (n) (x) = n!(1 − x)−(n+1) であるから、f (n) (0) = n!. ゆえにそのマクローリン級数は
∞
∞
∑
n! n ∑ n
x =
x = 1 + x + x2 + x3 + · · ·
n!
n=0
n=0
であり、|x| < 1 ならば、もとの関数 1/(1 − x) に等しい。しかし |x| ≥ 1 ならば、発散し 1/(1 − x) をあら
わさない。
(ii)f (x) = ex のときは f (n) (x) = ex であるから、f (n) (0) = 1. したがってそのマクローリン級数は
∞
∑
x2
x3
xn
1 n
x =1+x+
+
+ ··· +
+ ···
n!
2
6
n!
n=0
この級数はすべての x の値に対して ex に収束することがわかっている。つまりこの場合マクローリン級数
はもとの関数をあらわしている。
また x = a のまわりのテーラー級数は
(
)
∞
∞
∑
∑
ea
(x − a)2
(x − a)3
1
n
a
n
a
(x − a) = e
(x − a) = e 1 + (x − a) +
+
+ ···
n!
n!
2
6
n=0
n=0
右辺の括弧の中は ex−a に収束するから、結局 ea ex−a = ex に等しい。つまりテーラー級数ももとの関数を
あらわしている。
(iii) f (x) = sin x の場合。f ′ (x) = cos x であるが、加法定理により sin(x + π/2) = cos x であるか
ら、f ′ (x) = sin(x + π/2) となる。つまり、sin x を１回微分すると x の値が π/2 だけずれる。したがって
f ′′ (x) = sin(x + π/2 + π/2) = sin(x + 2π/2) である。一般に
dn
sin x = sin(x + nπ/2), n = 0, 1, 2, · · · ,
dxn
したがってそのマクローリン級数は
∞
∑
x3
x5
x7
sin(nπ/2) n
x =x−
+
−
+ ··· .
n!
3!
5!
7!
n=0
この場合も全ての x に対して sin x に収束する、すなわちマクローリン級数がもとの関数をあらわす。
(iv) f (x) = cos x の場合。上と同様にして
dn
cos x = cos(x + nπ/2), n = 0, 1, 2, · · · ,
dxn
であり、そのマクローリン級数は
∞
∑
cos(nπ/2) n
x2
x4
x6
x =1−
+
−
+ ··· .
n!
2!
4!
6!
n=0
この場合も全ての x に対して cos x に収束する、すなわちマクローリン級数がもとの関数をあらわす。
第 1 章 テーラーの定理
10
問 1.1.9 f (x) = log(1 + x), (x > −1) のマクローリン級数を書け。
さて f (x) とそのテーラー級数の n − 1 次までの部分和との誤差を
Rn (x) = f (x) −
n−1
∑
k=0
f (k) (a)
(x − a)k
k!
とおく。この値を表示する公式は色々わかっているが、代表的な公式を紹介する。その証明の基礎になるの
が次の定理である。
定理 1.1.10 (ロールの定理) f (x) がある区間 [a, b] で連続で、(a, b) の各点で微分可能であり、両端の値
が等しい、つまり f (a) = f (b) ならば、 区間 (a, b) 内のある点 c において f ′ (c) = 0 である：
f (a) = f (b) =⇒ f ′ (c) = 0
(a < c < b).
f ′ (c) = 0 であることは、y = f (x) の x = c における接線の傾きが 0 であること、つまり接線が x 軸に
平行になることである。f (x) が最大値あるいは最小値を取る点を x = c とすると、その点で f ′ (c) = 0 に
なるはずであるから、この定理は確かに成立しそうである。精しい証明は省略する。
この定理において条件 f (a) = f (b) を除くと次の平均値の定理になる。
定理 1.1.11 (平均値の定理) f (x) がある区間 [a, b] で連続で、(a, b) の各点で微分可能であるならば、(a, b)
内のある点 c において
f (b) − f (a)
= f ′ (c)
b−a
実際
(a < c < b).
(
f (b) − f (a)
(x − a)
F (x) = f (x) − f (a) +
b−a
)
とおくと、F (a) = 0 = F (b) である。
F ′ (x) = f ′ (x) −
f (b) − f (a)
b−a
であるから、ロールの定理により上の定理がなりたつ。
さて上の定理の結論の式を変形すると
f (b) = f (a) + f ′ (c)(b − a)
(a < c < b)
と書きなおせる。f (a) は f (x) のテーラー級数の最初の項であるから、R1 (b) = f ′ (c)(b − a) であるという
ことになる。
一般の場合の Rn (b) は次のようになる。
1.1. テーラーの定理
11
定理 1.1.12 (テーラーの定理) f (x) が区間 [a, b] で n − 1 回微分可能で、f (x), f ′ (x), · · · , f (n−1) (x) が
[a, b] で連続であり、n 回の微分 f (n) (x) が (a, b) で存在すれば, ある点 a < c < b において
Rn (b) =
f (n) (c)
(b − a)n
n!
すなわち
f (b) =
f (a) + f ′ (a)(b − a) +
+
f (2) (a)
f (n−1) (a)
(b − a)2 + · · · +
(b − a)(n−1)
2
(n − 1)!
f (n) (c)
(b − a)n
n!
普通の関数は何回でも微分できるので、定理の条件は気にしなくてもよい。また一般的に f (x) が微
分可能ならば、f (x) 自身は連続である。したがって定理の仮定「f (x), f ′ (x), · · · , f (n−1) (x) が連続」は
「f ′ (x), · · · , f (n−1) (x) が存在して f (n−1) (x) が連続」に置き換えられる。
n = 2 の場合の証明だけあたえておく。問題は R2 (b) をあらわすことである。それが (b − a)2 の何倍か
であることを示すのであるから、
M=
R2 (b)
f (b) − [f (a) + f ′ (a)(b − a)]
=
(b − a)2
(b − a)2
とおいてみる。この式から
f (b) = f (a) + f ′ (a)(b − a) + M (b − a)2
となる。右辺の b を変数 x で置き換えて
F (x) = f (a) + f ′ (a)(x − a) + M (x − a)2
という関数を考え、
G(x) = F (x) − f (x) = f (a) + f ′ (a)(x − a) + M (x − a)2 − f (x)
とおく。このとき G(a) = G(b) = 0 であるからロールの定理から G′ (c1 ) = 0 となる c1 , a < c1 < b, がある。
さらに
G′ (x) = f ′ (a) + 2M (x − a) − f ′ (x)
であるから、G′ (a) = 0 でもある。そうすると再びロールの定理から
G′′ (c2 ) = 0
a < c2 < c1 < b
となる c2 がある。ところで G′′ (x) = 2M − f ′′ (x) と計算されるので 2M = f ′′ (c2 ) となり、M = f ′′ (c2 )/2
である。ゆえに c = c2 とおくと
R2 (b) = M (b − a)2 =
f ′′ (c)
(b − 2)2 .
2
第 1 章 テーラーの定理
12
問 1.1.13 n = 3, 4 の場合のテーラーの定理を証明せよ。
上の c はつぎのようにパラメータ θ を用いてあらわすことが多い：θ = (c − a)/(b − a) とおくと 0 <
(c − a) < (b − a) であるから 0 < θ < 1 で c = a + θ(b − a). したがって
Rn (b) =
f (n) (a + θ(b − a))
(b − a)n
n!
とあらわされる。テーラーの定理は b < a の場合もなりたつ。このときもこめて Rn (b) は上のように θ を
もちいてあらわされる。
簡単のため n = 3 とし、テーラーの定理において 文字 b を一般の変数文字 x に書きかえると,
f (x) = f (a) + f ′ (a)(x − a) +
f ′′ (a)
f (3) (a + θ(x − a))
(x − a)2 +
(x − a)3 .
2
3!
テーラー級数の２次までの和による y = f (x) の近似関数
y = f (a) + f ′ (a)(x − a) +
f ′′ (a)
(x − a)2
2
のグラフは放物線である。この放物線と、y = f (x) のグラフとの誤差 R3 (x) は
R3 (x) =
f (3) (a + θ(x − a))
(x − a)3 .
3!
したがって
R3 (x)
f (3) (a)
f (3) (a + θ(x − a))
= lim
(x − a) =
× 0 = 0,
2
x→a (x − a)
x→a
3!
3!
lim
f (3) (a + θ(x − a))
f (3) (a)
R3 (x)
= lim
=
3
x→a
x→a (x − a)
3!
3!
lim
であるから
R3 (x) = o((x − a)2 )
R3 (x) = O((x − a)3 ) (x → a).
このことを次のような式であらわす。
f (x) = f (a) + f ′ (a)(x − a) +
f ′′ (a)
(x − a)2 + o((x − a)2 )
2
(x → a),
f ′′ (a)
(x − a)2 + O((x − a)3 ) (x → a).
2
m > 0 を定数として、放物線 y = m(x − a)2 を考える。
f (x) = f (a) + f ′ (a)(x − a) +
1
|R(x)|
|R3 (x)|
=
lim
= m0 = 0
2
x→a
x→a m(x − a)
m
(x − a)2
lim
であるから、誤差の関数 y = R3 (x) のグラフは、|x − a| が十分小であるとき、y = m(x − a)2 と y =
−m(x − a)2 の間にある。y = f (x) の接線による近似 y = f (a) + f ′ (a)(x − a) より精度の高い近似である。
テーラー級数の高次までの和をとるにつれて、精度の高い近似式が得られる。
1.1. テーラーの定理
13
定理 1.1.14 (テーラーの定理 II) f (x) が x = a を含むある区間 I で定義され、I において f (x) は n − 1
回微分可能で f (n−1) (x) は I で連続であり、I の内部で f (n) (x) が存在するとする。このとき
Rn (x) = f (x) −
n−1
∑
k=0
f (k) (a)
(x − a)k
k!
(x ∈ I)
とおくと、
Rn (x) =
f (n) (a + θ(x − a))
(x − a)n
n!
と表される。ただし 0 < θ < 1 であり、θ の値は x, n に対応して変化する。つまり
f (x)
=
f (a) + f ′ (a)(x − a) +
+
f (n−1) (a)
f ′′ (a)
(x − a)2 + · · · +
(x − a)n−1
2!
(n − 1)!
f (n) (a + θ(x − a))
(x − a)n
n!
(0 < θ < 1)
テーラーの定理は a = 0 の場合によく用いられる。
定理 1.1.15 (マクローリンの定理) f (x) が 0 を含むある区間 I で定義され、I において f (x) は n − 1 回
微分可能で f (n−1) (x) は I で連続であり、I の内部で f (n) (x) が存在するとする。このとき
Rn (x) = f (x) −
n−1
∑
k=0
f (k) (0) k
(x)
k!
(x ∈ I)
とおくと、
Rn (x) =
f (n) (θx) n
x
n!
と表される。ただし 0 < θ < 1 であり、θ の値は x, n に対応して変化する。つまり
f (x)
=
f (0) + f ′ (0)x +
f ′′ (0) 2
f (n−1) (0) n−1 f (n) (θx) n
x + ··· +
x
+
x
2!
(n − 1)!
n!
次に x を固定すると、大抵のばあい
lim Rn (x) = 0
n→∞
である。すなわち
f (x) =
∞
∑
f (k) (a)
k=0
k!
(x − a)k := lim
n→∞
n−1
∑
k=0
f (k) (a)
(x − a)k
k!
という無限級数の和公式がなりたつ。一番典型的な場合を次に示す．
(0 < θ < 1)
第 1 章 テーラーの定理
14
例 1.1.16 指数関数 f (x) = ex のマクローリン級数の場合の剰余項は
Rn (x) =
eθx n
x
n!
0<θ<1
である。すべての x に対して limn→∞ Rn (x) = 0 であることを証明する。まず |x| ≤ a とすると
|Rn (x)| =
eθx n
ea
|x| ≤ an
n!
n!
であるから、a > 0 のとき、limn→∞ an /n! = 0 を証明すればよい。an /n! を具体的にかくと
an
n!
a × a × a × ···a × a × a × ··· × a
1 × 2 × 3 × · · · (k − 1) × k × (k + 1) · · · × n
a a a
a
a
a
a
× × × ··· ×
× ×
× ··· ×
1 2 3
k−1 k k+1
n
ak
a
a
a
×
×
× ··· ×
k!
k+1 k+2
n
=
=
=
と書き換えられる。ただし 1 < k < n. a にたいして a/k ≤ 1/2 であるように k を (大きく) とると、
a/(k + 1) < 1/2, a/(k + 2) < 1/2, · · · , a/n < 1/2 であるから、
0<
an
ak
<
n!
k!
( )n−k
1
2
である。ゆえに
an
ak
≤ lim
n→∞ n!
n→∞ k!
0 ≤ lim
( )n−k
( )n−k
1
ak
ak
1
=
lim
=
×0=0
2
k! n→∞ 2
k!
となり、したがって
an
= 0.
n→∞ n!
lim
以上によりすべての x に対して
ex = lim
n→∞
n−1
∑
k=0
xk
x2
x3
xn
=1+x+
+
+ ··· +
+ ···
k!
2!
3!
n!
がなりたつ。たとえば、この式で x = 1 と代入すると
e=1+1+
1
1
1
+ + ··· +
+ ··· .
2! 3!
n!
問 1.1.17 (i)
cos x =
n−1
∑
k=0
cos(kπ/2) k
cos(θx + kπ/2) n
x + Rn (x), Rn (x) =
x
k!
k!
を導き、limn→∞ Rn (x) = 0 を証明せよ。
(0 < θ < 1)
1.1. テーラーの定理
15
(ii)
sin x =
n−1
∑
k=0
sin(kπ/2) k
sin(θx + kπ/2) n
x + Rn (x), Rn (x) =
x
k!
k!
(0 < θ < 1)
を導き、limn→∞ Rn (x) = 0 を証明せよ。
f (x) = log(1 + x) を考える。対数は正の値に対して定義されるから x > −1 の範囲で f (x) は定義され
る。微分を計算すると
f ′ (x) =
1
= (1 + x)−1
(1 + x)
であるから、合成関数の微分法により
f ′′ (x) = (−1)(1 + x)−2 , f ′′′ (x) = (−1)(−2)(1 + x)−3 , · · · .
一般的に
f (k) (x) = (−1)k−1 (k − 1)!(1 + x)−k
k = 1, 2, · · · .
したがって f (0) = 0, f (k) (0) = (−1)k (k − 1)!, k ≥ 1, であるから、
log(1 + x)
n−1
∑
(−1)k−1 (k − 1)! k (−1)n (n − 1)!(1 + θx)−n n
x +
x
k!
n!
k=1
(
)n
x2
x3
xn−1
(−1)n
x
= x−
+
+ · · · + (−1)(n−1)
+
2
3
(n − 1)
n
1 + θx
=
x ≥ 0 のときは 1 + θx ≥ 1, (0 < θ < 1), であるから、
x
<x
1 + θx
ゆえに 0 ≤ x < 1 ならば
0≤
x
<x<1
1 + θx
であり、
(
)n (
)n
(−1)n
x
x
xn
= 1
≤
< xn → 0
n
1 + θx
n 1 + θx
n
(n → ∞)
x < 0 のときは −x = t とおくと t > 0 であり、
(
(
(
)n )n )n (−1)n
x
−t
t
= 1
= 1
n
1 + θx n 1 − θt n 1 − θt ところで t > 0 ならば 0 < θ < 1 のとき 1 − θt > 1 − t である。ゆえに 0 < t < 1 ならば
0<
t
t
<
1 − θt
1−t
第 1 章 テーラーの定理
16
ところで t/(1 − t) < 1 であるのは 0 < t < 1/2 のときであり、このとき
(
)n (
)n
(
)n (
)n
(−1)n
x
t
1
1
1
= 1
<
<
→0
n
1 + θx n 1 − θt
n 1−t
1−t
(n → ∞)
以上により −1/2 < x < 1 ならば
(−1)n
lim
n→∞
n
(
x
1 + θx
)n
=0
であり、
log(1 + x) =
∞
∑
(−1)k
k=1
k
xk = x −
x2
x3
xn
+
− · · · + (−1)n−1
+ ···
2
3
n
じつはこの等式は −1 < x ≤ 1 において成立する。−1 < x ≤ −1/2 の場合、および x = 1 の場合このこと
を示すには更なる知識を要する。
17
第 2 章 関数論
2.1
複素数
等比級数の和の公式
1 + x + x2 + · · · + xn−1 =
1 − xn
1−x
(x ̸= 1)
は x を複素数 z に変えても成り立つ。実際
Sn := 1 + z + z 2 + · · · + z n−1
とおくと、
zSn := z + z 2 + · · · + z n
であるから、Sn − zSn = 1 − z n . したがって z ̸= 1 ならば、Sn = (1 − z n )/(1 − z). それでは limn→∞ Sn
は存在するだろうか。それには limn→∞ z n がどうなるかを考えればよい。
改めて複素数 z とは、実数 x, y と虚数単位 i, i2 = −1 を用いて z = x + iy と表される数である。x を z
の実部、y を z の虚部といって、次のように書く。
ℜz = x, ℑz = y
ふたつの複素数 z, z ′ = x′ + iy ′ は x = x′ , y = y ′ のとき、z = z ′ と定義する。また
z + z ′ = (x + x′ ) + i(y + y ′ ) zz ′ = (xx′ − yy ′ ) + i(xy ′ + x′ y)
と定義する。このとき引き算は z − z ′ = (x − x′ ) + i(y − y ′ ) となる。また割り算は次のようになる。zw = z ′
の関係は w = u + iv とおくと (xu − yv) + i(xv + yu) = x′ + iy ′ であるから
xu − yv = x′ , yu + xv = y ′
これを u, v に関する連立方程式とみて解くと x2 + y 2 ̸= 0 のとき
u=
xx′ + yy ′
x2 + y 2
v=
xy ′ − yx′
x2 + y 2
となる。したがって z = x + iy ̸= 0 のとき
x′ + iy ′
xx′ + yy ′
xy ′ − yx′
= 2
+
i
x + iy
x + y2
x2 + y 2
第2章
18
関数論
なお zw = z ′ ならば、任意の複素数 α ̸= 0 に対して (αz)w = αz ′ であるから、
w=
z′
αz ′
=
z
αz
である。すなわち複素数の分数も約分できる。複素数 z = x + iy に対して z̄ = x + i(−y) = x − iy とおき、
z の共役複素数という。このとき
z z̄ = x2 + y 2 ≥ 0.
したがって z ̸= 0 のとき
x′ + iy ′
(x − iy)(x′ + iy ′ )
xx′ + yy ′ + i(xy ′ − yx′ )
xx′ + yy ′
xy ′ − yx′
=
=
=
+
i
x + iy
(x − iy)(x + iy)
x2 + y 2
x2 + y 2
x2 + y 2
と計算することができる。
複素数の計算は実数と同じように計算し、i2 が現れたら、−1 とおきかえればよいのである。
座標平面の点 (x, y) に複素数 z = x + iy を対応させて考える。このようにしたとき、座標平面を複素平
面という。この場合、x 軸上の点 (x, 0) には実数 x + i0 = x が対応するから、x 軸を実軸という。y 軸上
の点 (0, y) には純虚数 0 + iy = iy が対応するから、y 軸を虚軸という。
√
複素平面において、点 (x, y) と原点 O(0, 0) との距離 x2 + y 2 を z の絶対値といい |z| と書く: |z| =
√
√
x2 + y 2 . ところで z z̄ = (x + iy)(x − iy) = x2 + y 2 であるか |z| = z z̄, あるいは |z|2 = z z̄. また
√
|z − z ′ | = (x − x′ )2 + (y − y ′ )2 であるから、|z − z ′ | は複素平面において点 z と z ′ の距離を表す。
複素平面で z に対応する点を P , z ′ に対応する点を Q, z + z ′ に対応する点を R とする。z + z ′ =
(x + x′ ) + i(y + y ′ ) であるから、OR は OP, OQ を２辺とする平行四辺形の対角線となる。また −z ′ をあら
わす点を S とすると、OS = −OQ であるから、S は原点に関して Q と対称な点である。z − z ′ = z + (−z ′ )
と考えると、z − z ′ に対応する点を T とすると、OT は OP, OS を２辺とする平行四辺形の対角線である。
それは平行四辺形 OP RQ の対角線 QP に平行で長さが等しい。
原点 (0, 0) から出て、点 (x, y) を通る半直線が実軸の正の部分となす角を z の偏角といって arg z であら
わす。ただし角は一般角で考えるので、偏角は一つには決まらない。θ を一つの偏角とすると、θ + 2nπ, n =
0, ±1, ±2, · · · , も偏角である。
ℜz = x, ℑz = y, |z| = r, arg z = θ
とおくと、x = r cos θ, y = r sin θ であるから
z = r(cos θ + i sin θ)
と表される。この表し方を z の極形式という。
z ′ の極形式を z ′ = r′ (cos θ′ + i sin θ′ ) とすると、三角関数の加法定理を用いて
zz ′
= rr′ (cos θ + i sin θ)(cos θ′ + i sin θ′ )
= rr′ (cos θ cos θ′ − sin θ sin θ′ + i(cos θ sin θ′ + sin θ cos θ′ ))
= rr′ (cos(θ + θ′ ) + i sin(θ + θ′ ))
2.2. 複素数列
19
したがって
|zz ′ | = |z||z ′ |, arg(zz ′ ) = arg z + arg z ′ (+2nπ, n = 0, 1, 2, · · · )
とくに z ′ = z のときは z 2 = r2 (cos 2θ + sin 2θ). 一般に
z n = rn (cos nθ + i sin nθ), n = 1, 2, · · · .
また、r′ = 1/r, θ′ = −θ であれば
zz ′ = r(1/r)(cos(θ − θ) + i sin(θ − θ)) = 1
であるから、z ′ = 1/z. したがって
|1/z| = 1/|z|, arg(1/z) = − arg z + 2nπ, n = 0, ±1, ±2, · · · .
一般的に z ′ ̸= 0 のとき
z
(z)
|z|
′ = ′ , arg ′ = arg z − arg z ′ + 2nπ, n = 0, ±1, ±2, · · · .
z
|z |
z
また z n = rn (cos nθ + i sin nθ) は n = −1, −2, · · · , のときもなりたつ。
2.2
複素数列
以後、数の集合の記号として次のように使う：
N は自然数 1, 2, · · · , 全体の集合；
Z は整数 0, ±1, ±2, · · · , 全体の集合；
Q は正負の分数全体の集合；
R は実数全体の集合；
C は複素数全体の集合。
実数列 {an } は limn→∞ |an − a| = 0 であるとき、a に収束するのであった。複素数列 {zn } の場合も、
ある複素数 z に対して limn→∞ |zn − z| = 0 となるとき、z に収束すると言い、limn→∞ zn = z とかく。
|zn − z| は 2 点 zn , z ′ の距離を表すから、limn→∞ zn = z とは複素平面において点 zn が点 z に限りなく
近づくことである。
実数 x, y に対して、
|x|, |y| ≤
√
x2 + y 2 ≤ |x| + |y|
であるから、複素数 z = x + iy に対して
|x|, |y| ≤ |z| ≤ |x| + |y|.
第2章
20
関数論
ゆえに上の数列 zn = xn + iyn に対して
|xn − x|, |yn − y| ≤ |zn − z| ≤ |xn − x| + |yn − y|
であるから、
{
lim zn = z ⇔
limn→∞ xn = x
limn→∞ yn = y
n→∞
例 2.2.1 z を一定の複素数とし、zn = z n , n = 1, 2, · · · , とおく。このとき |zn | = |z||z| · · · |z| = |z|n であ
るから、|z| < 1 ならば、limn→∞ z n = 0. |z| > 1 ならば、limn→∞ |z|n = ∞ であるから、zn = z n は発散
する。|z| = 1 のときは z = cos θ + i sin θ とすると、z n = cos(nθ) + i sin(nθ). まず θ = 2kπ(k ∈ Z), すな
わち、z = 1 のときは、z n = 1 であるから、lim z n = 1. それ以外の場合は点 zn = z n , n = 1, 2, · · · , は、複
素平面の原点を中心とする半径 1 の円 (これを単位円という) の上をぐるぐる回転する。したがって収束し
ない。
例 2.2.2 z を一定の複素数とし、zn = nz n , n = 1, 2, · · · , とおく。|z| ≥ 1 ならば |zn | ≥ n であるから、
{zn } は発散する。0 < |z| < 1 のときは 1/z = w とおくと z = 1/w とあらわされ、|w| > 1 である。
|w| − 1 = h とおくと、h > 0 であり、
|nz n | = n/|w|n = n/(1 + h)n .
2 項定理により、h > 0 のとき
(1 + h)n = 1 + nh +
n(n − 1) 2 n(n − 1)(n − 2) 3
n(n − 1) 2
h +
h + · · · + hn >
h .
1·2
1·2·3
1·2
したがって
n/(1 + h)n < n
2
2
=
→ 0 (n → ∞)
2
n(n − 1)h
(n − 1)h2
であるから、lim nz n = 0. z = 0 のときはもちろん lim nz n = 0.
問 2.2.3 k = 1, 2, 3, · · · , に対して、|z| < 1 ならば、limn→∞ nk z n = 0 であり、|z| ≥ 1 ならば、{nk z n }
は発散することを証明せよ。
複素数列 {zk }∞
k=1 の最初の n 項の和を Sn := z1 + z2 + · · · + zn とおく。数列 {Sn } がある数 S に収束す
∑∞
∑∞
るとき、無限級数 n=1 zn は S に収束するといって、次の記号をもちいて表す:
n=1 zn = S. すなわち
∞
∑
zn = lim
n→∞
n=1
Sn を級数
∑∞
n=1 zn
n
∑
zk
k=1
の n 部分和という。
2.3. 数列、級数の極限の基本事項
21
例 2.2.4 z を一定の複素数として、数列 zn = z n−1 , n = 1, 2, · · · , を考える。この場合
{
(1 − z n )/(1 − z) z =
̸ 1
2
3
n−1
Sn = 1 + z + z + z + · · · + z
=
n
z=1
したがって
∞
∑
∑∞
n=1
z n−1 が収束するのは |z| < 1 のときで
z n−1 = 1 + z + z 2 + z 3 + · · · =
n=1
∑∞
定理 2.2.5 級数
n=1 zn
1
. (|z| < 1)
1−z
が収束するならば、lim zn = 0.
証明 zn = Sn − Sn−1 と表される。したがって limn→∞ Sn = S ならば、limn→∞ zn = S − S = 0.
例 2.2.6 級数
∑
n=1
nz n−1 = 1 + 2z + 3z 2 + 4z 3 + · · · の n 部分和
Sn = 1 + 2z + 3z 2 + 4z 3 + · · · + nz n−1
を z 倍すると
zSn = z + 2z 2 + 3z 3 + · · · + (n − 1)z n−1 + nz n
であるから
Sn − zSn = 1 + z + z 2 + z 3 + · · · + z n−1 − nz n
したがって z ̸= 1 ならば、(1−z)Sn = (1−z n )/(1−z)−nz n 故に |z| < 1 ならば、limn→∞ Sn = 1/(1−z)2 .
∑
|z| ≥ 1 の場合は |nz n−1 | = n|z|n−1 ≥ n であるから、定理 2.2.5 により n=1 nz n−1 は発散する。ゆ
えに
∑
nz n−1 =
n=1
1
,
(1 − z)2
|z| < 1.
両辺を z 倍すると
∑
n=1
2.3
nz n =
z
,
(1 − z)2
|z| < 1.
数列、級数の極限の基本事項
級数の部分和はいつでも計算できる訳ではないし、数列の極限値が予想できない場合もある。そのような
場合級数の収束発散はどのように調べるのであろうか。
実数の数列の極限に関する基本的定理は単調列に関する次の定理である。実数列 {an } は a1 ≤ a2 ≤ a3 ≤ · · ·
であるとき (単調) 増加列であるという。同様に実数列 {bn } は b1 ≥ b2 ≥ b3 ≥ · · · であるとき (単調) 減少
列であるという。両方合わせて単調列であるという。
第2章
22
関数論
単調な増加列 {an } が、ある値 a に収束すれば、もちろん an ≤ a, n = 1, 2, · · · , である。このように単
調増加列は、各項がある定数 A 以下であるとき、すなわち a1 ≤ a2 ≤ a3 ≤ · · · ≤ A であるとき、(上に) 有
界であるという。
単調な減少列 {bn } が、ある値 b に収束すれば、もちろん bn ≥ b, n = 1, 2, · · · , である。このように単調
減少列は、各項がある定数 B 以上であるとき、すなわち b1 ≥ b2 ≥ b3 ≥ · · · ≥ B であるとき、(下に) 有界
であるという。両方合わせて有界な単調列であるという。
次の定理は実数の基本的性質である。
定理 2.3.1 単調列が収束すれば、有界である。逆に有界な単調列は必ずある実数に収束する。
有名な例はネピアの定数 e を定める次の数列である。
an = (1 + (1/n))n = ((n + 1)/n)n ,
bn = (1 + (1/n))n+1 = ((n + 1)/n)n+1 , n = 1, 2, · · · ,
と定義すると、
2 = a1 < a2 < a3 < · · · < an < b n < · · · < b 3 < b 2 < b 1 = 4
であることが証明できる (単調性の証明はやさしくない)。ゆえに上の定理から {an }, {bn } は収束する。そ
の極限値を a, b とおくと bn = (1 + 1/n)an であるから、
b = lim bn = lim (1 + 1/n) lim an = 1 × a = a
n→∞
n→∞
n→∞
この共通の値 a = b を e とおき、ネピアの定数という。
∑∞
実数の級数 n=1 an において、各項 an の符合が一定の場合、級数の収束発散は判定しやすい。
∑∞
各項がすべて正または零の実数である級数
n=1 an を正項級数という (各項が an すべて負の場合は、
∑∞
bn = −an とおけば、 n=1 bn は正項級数になる)。その部分和 Sn = a1 + a2 + · · · + an は次々に正また
は零の項を追加してできるから、数列 {Sn } は単調増加列である。{Sn } が上に有界であるとき、正項級数
∑∞
n=1 an は上に有界であるという。
定理 2.3.2 正項級数が収束する必要十分条件は、有界であることである。
例 2.3.3 級数
∞
∑
1
1
1
1
1
= 1 + 2 + 2 + 2 + 2 + ···
2
n
2
3
4
5
n=1
は収束する。実際
1
1
1
1
1
1
+ 2 ≤ 2 + 2 =2× 2 =
2
2
3
2
2
2
2
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
+ 2 + 2 + 2 ≤ 2 + 2 + 2 + 2 =4× 2 =
42
5
6
7
4
4
4
4
4
4
2.3. 数列、級数の極限の基本事項
23
のように考えると、
∞ ( )n−1
∞
∑
∑
1
1
1 1 1
+
+
+
·
·
·
=
= 2.
<
1
+
2
n
2
4
8
2
n=1
n=1
したがって
∑∞
1
n=1 n2
は収束する (極限値は π 2 /6 であることがわかっている)。
例 2.3.4 次の級数 (調和級数) は発散する:
∞
∑
1
1 1 1
= 1 + + + + ··· = ∞
n
2 3 4
n=1
証明実際
1 1
1
1
1 1
+ ≥ + =2× =
3 4
4 4
4
2
1 1 1 1
1 1 1 1
1
1
+ + + ≥ + + + =4× =
5 6 7 8
8 8 8 8
8
2
のように考えると、
∞
∑
1
1 1 1
> 1 + + + + ··· = ∞
n
2 2 2
n+1
正項級数の収束性について、上の例のように次の比較定理が成り立つ。
定理 2.3.5 0 ≤ an ≤ bn , n = 1, 2, · · · , とする。このとき
∑∞
∑∞
∑∞
∑∞
(i) n=1 bn が収束すれば、 n=1 an も収束し、 n=1 an ≤ n=1 bn .
∑∞
∑∞
(ii) n=1 an が発散すれば、 n=1 bn も発散する。
各項の符合が一定でない級数の収束性については、次の定理が基本的である。
∑∞
∑∞
定理 2.3.6 実数の級数 n=1 an を考える。各項の絶対値をとってできる級数 n=1 |an | が収束するなら
∑∞
ば、もとの級数 n=1 an も収束し、
|
∞
∑
an | ≤
n=1
∞
∑
|an |.
n=1
−
証明 実数 an に対して、正の実数 a+
n , an を次のように定義し、それぞれ an の正の部分、負の部分と
いう:
{
a+
n
=
an
(an ≥ 0 のとき)
0
(an < 0 のとき)
このとき、次の関係がなりたつ。
−
an = a+
n − an ,
−
|an | = a+
n + an .
{
a−
n
=
0
(an ≥ 0 のとき)
−an
(an < 0 のとき)
第2章
24
関数論
−
0 ≤ a+
n ≤ |an |, 0 ≤ an ≤ |an | であるから、n = 1, 2, 3, · · · , に対して、
n
∑
a+
j ≤
n
∑
|aj | ≤
j=1
j=1
aj = lim
n→∞
j=1
n
∑
|aj | =: A,
j=1
∑∞
したがって正項級数
∞
∑
∞
∑
j=1
n
∑
∑∞
j=1
aj = lim
|aj | ≤
∞
∑
|aj | = A.
j=1
a−
j はともに収束する。故に
n
∑
n→∞
n
∑
j=1
j=1
a+
j ,
j=1
a−
j ≤
a+
j −
n
∑
a−
j =
a+
j −
∞
∑
a−
j .
j=1
j=1
j=1
j=1
∞
∑
最後に、k = 1, 2, · · · , に対して、
|
k
∑
an | ≤
n=1
k
∑
|an |.
n=1
であるから、
|
∞
∑
an | = | lim
k→∞
n=1
定義 2.3.7
∑∞
n=1
k
∑
an | = lim |
n=1
k→∞
k
∑
an | ≤ lim
k→∞
n=1
|an | が収束するとき、もとの級数
k
∑
|an | =
n=1
∑∞
n=1
∞
∑
|an |.
n=1
an は絶対収束するという。
上の定理から、絶対収束する級数は収束するといえる。しかし逆は必ずしも真ではない。
例 2.3.8 前の例でみたように、調和級数
∞
∑
(−1)n−1
n=1
∑∞
n=1
1/n = ∞. しかし、
1
1 1 1
= 1 − + − + · · · = log 2
n
2 3 4
であることがわかっている。しかし、つぎの級数は絶対収束し、:
∞
∑
(−1)n−1
n=1
1 1
1
π2
1
=
1
−
+
−
+
·
·
·
=
n2
4 9 16
12
であることがわかっている。
収束するが、絶対収束しない級数は条件収束するという。次の定理の後半は Weierstrass の定理として有
名である。
定理 2.3.9 絶対収束する級数
|
∞
∑
an | ≤
n=1
∞
∑
∑∞
n=1
an は項の順序をかえて、たしあわせても同じ値に収束し、
|an |.
n=1
条件収束する級数は、項の順序をかえると異なる値に収束したり、発散したりする:正確に言えば、任意の
実数 A に対して、適当に項の順序をかえると、 A に収束するし、また他の順序で足すと +∞ や −∞ に
発散する。
2.3. 数列、級数の極限の基本事項
25
証明 省略。
次に複素数の級数
∑∞
n=1 zn
に移ろう。ℜzn = xn , ℑzn = yn , n = 1, 2, · · · , とおくと、zn = xn + iyn で
あるから、部分和は
Sn =
n
∑
zj =
j=1
n
∑
xj + i
j=1
n
∑
yj
j=1
∑∞
∑∞
∑∞
xn と n=1 yn
がともに収束することに等しい。絶対値について、|xn | ≤ |zn |, |yn | ≤ |zn | であるから、正項級数の比較定理
∑∞
∑∞
∑∞
∑∞
∑∞
により、 n=1 |zn | が収束すれば、 n=1 |xn |, n=1 |yn | も共に収束し、したがって n=1 xn と n=1 yn
∑∞
が収束し、結果として、 n=1 zn は収束する。
∑∞
∑∞
実数の級数の場合と同じように n=1 |zn | が収束するとき、 n=1 zn は絶対収束するという。
とあらわされる。したがって 複素数の級数
定理 2.3.10 絶対収束する級数
|
∞
∑
∞
∑
zn | ≤
n=1
∑∞
n=1 zn
n=1 zn
が収束することは、実数の級数
n=1
はそれ自身収束し、
|zn |.
n=1
また項の順序をかえて、たしあわせても同じ値に収束する。
例 2.3.11 実数の指数関数の展開式
∑∞
xn
n=1 n!
において、x を複素数 z で置き換えた複素数級数
∞
∑
zn
z2
z3
z4
=1+z+
+
+
+ ···
n!
2
6
24
n=1
∑∞
∑∞ |z|n
は絶対収束する。実際 |z n /n!| ≤ |z|n /n! であり、 n=1 n! = e|z| . したがって、 n=1
∑∞ n
| n=1 zn! | ≤ e|z| . 同様に cos x, sin x のマクローリン級数を複素数でおきかえた級数
∞
∑
(−1)n
z 2n
z2
z4
z6
=1−
+
−
+ ···
(2n)!
2!
4!
6!
(−1)n
z3
z5
z7
z 2n+1
=z−
+
−
+ ···
(2n + 1)!
3!
5!
7!
n=0
∞
∑
n=0
も絶対収束する。
定義 2.3.12 複素数の指数関数、三角関数を次の級数で定義する。
ez =
∞
∑
zn
z2
z3
z4
=1+z+
+
+
+ ···
n!
2
6
24
n=1
cos z =
∞
∑
(−1)n
n=0
sin z =
∞
∑
n=0
(−1)n
z 2n
z2
z4
z6
=1−
+
−
+ ···
(2n)!
2!
4!
6!
z 2n+1
z3
z5
z7
=z−
+
−
+ ···
(2n + 1)!
3!
5!
7!
zn
n!
は収束し、
第2章
26
関数論
定理 2.3.13 次の公式が成り立つ：
eiz = cos z + i sin z, cos z =
eiz + e−iz
eiz − e−iz
, sin z =
2
2i
証明 指数関数の定義から、
(iz)3
(iz)4
(iz)5
(iz)2
+
+
+
+ ···
2!
3!
4!
5!
2
3
4
5
−z
−iz
z
iz
= 1 + iz +
+
+
+
− ···
2!
3! ) 4!(
5!
(
)
z2
z4
z3
z5
=
1−
+
− ··· + i z −
+
− ···
2!
4!
3!
5!
= cos z + i sin z.
eiz
= 1 + iz +
ゆえに最初の公式をえる。２，３番目はこの式で z を −z でおきかえて、e−iz を表せば、直ちに導かれる。
問 2.3.14 上の cos z, sin z の公式を導け
定理 2.3.15 (i)
∞
∑
∑∞
n=0 zn ,
∑∞
(αzn + βwn ) = α
n=0
(ii)
n=0
∞
∑
wn が収束すれば、
zn + β
n=0
∑∞
∞
∑
wn .
n=0
∑∞
wn が絶対収束すれば、


(∞
)( ∞
)
∞
n
∑
∑
∑
∑

zn
wn =
zj wn−j 
n=0 zn ,
n=0
n=0
n=0
n=0
j=0
証明 (i) は明らかである。(ii) を証明する。(ii) の内容はつぎのように、和の順序交換ができるというこ
とである。
(∞
∑
)(
zn
n=0
∞
∑
)
wn
n=0
= (z0 + z1 + z2 + · · · + zn + · · · ) (w0 + w1 + w2 + · · · + wn + · · · )
= z0 w0 + z0 w1 + z0 w2 + · · · + z0 wn + · · ·
+z1 w0 + z1 w1 + z1 w2 + · · · + z1 wn + · · ·
+z2 w0 + z2 w1 + z2 w2 + · · · + z2 wn + · · ·
···
+zn w0 + zn w1 + zn w2 + · · · + zn wn + · · ·
+···
= z0 w0 + (z0 w1 + z1 w0 ) + (z0 w2 + z1 w1 + z2 w0 ) + · · ·
+(z0 wn + z1 wn−1 + z2 wn−2 + · · · + zn−2 w2 + zn−1 w1 + zn w0 ) + · · ·
2.3. 数列、級数の極限の基本事項
∑∞
27
∑∞
wn が絶対収束すれば、このように順序交換してもよいというのが、内容である。
m = 0, 1, 2, · · · , n = 0, 1, 2, · · · , に対して、αm,n = zm wn とおく。このとき、二つの添字 m, n をもつ数
n=0 zn ,
n=0
列 {αm,n } がきまる。このような数列を 2 重数列という。これは正数を座標とする点 (m, n) (格子点とい
う) に項 αm,n が対応してできる数列である。
この項を全部足し合わせることを考える。足し合わせるためには原理上一つ一つ順番に足し合わせるわ
けであるから、まずその順序をきめる必要がある。つまり格子点を一列にならべる。たとえば、
(0, 0); (1, 0), (1, 1), (0, 1); (2, 0), (2, 1), (2, 2), (1, 2), (0, 2);
(3, 0), (3, 1), (3, 2), (3, 3), (2, 3), (1, 3), (0, 3); · · ·
のように、原点を左下すみにもつ正方形の辺上にある格子点を順に並べる方法がある。これを仮に平方式
順序という。この順序で 2 重数列をたすと、級数
α0,0 + α1,0 + α1,1 + α0,1 + α2,0 + α2,1 + α2,2 + α1,2 + α0,2 +
ができる。また
(0, 0); (1, 0), (0, 1); (2, 0), (1, 1), (0, 2); (3, 0), (2, 1), (1, 2), (0, 3); · · ·
のように m + n が一定になる点をまとめてとりだし、ならべる方法がある。これを仮に対角式順序という。
この順序で 2 重数列をたすと、級数
α0,0 + α1,0 + α0,1 + α2,0 + α2,1 + α1,2 + α0,3 + · · ·
ができる。他にもいろいろな順序で足す方法がある。この時次のことがなりたつ (証明は省略):
2 重数列をある順序でたすとき、それが絶対収束するならば、他の方法で足しても絶対収束し、同じ値に
収束する。
2 重数列が上のように αm,n = zm wn と定義される場合にこのことを適用してみよう。|αm,n | = |zm ||wn |
を平方式の順序で足してできる級数の部分和 Sn , n = 1, 2, · · · , はつぎのようになる。
S1 = |z0 ||w0 |; S2 = |z0 ||w0 | + |z1 ||w0 |, S3 = |z0 ||w0 | + |z1 ||w0 | + |z1 ||w1 |,
S4 = |z0 ||w0 | + |z1 ||w0 | + |z1 ||w1 | + |z0 ||w1 | = (|z0 | + |z1 |)(|w0 | + |w1 |), · · ·
一般に n = 1, 2, · · · , に対して、Sn2 は原点を左下角にもつ辺の長さが n − 1 である正方形内の格子点 (i, j)
に対応する項 |αi,j | = |zi ||wj | の和である。それは結局
Sn2 = (|z0 | + |z1 | + |z2 | + · · · + |zn−1 |)(|w0 | + |w1 | + |w2 | + · · · + |wn−1 |)
∑∞
∑∞
である。さて仮定より、 m=0 |zn | =: A < ∞, m=0 |wn | =: B < ∞ であるから、Sn2 ≤ AB, n = 1, 2, · · · ,
である。Sj , j = 1, 2, は全体として増加列であるから、結局 Sj ≤ AB, j = 0, 1, 2, · · · である。故に {Sj } は
上に有界な増加列であるから、ある値に収束する。すなわち αm,n = zm wn を平方式の順序でたすと、絶対
収束することがわかった。
第2章
28
関数論
したがって上のことより、他の方法で足しても同じ値に収束する。ところで αm,n = zm wn を平方式の順
序でたすとき、その部分和を sj , j = 1, 2, · · · , とすると、j = n2 , n = 1, 2, · · · , に対しては、
sn2 = (z0 + z1 + z2 + · · · + zn−1 )(w0 + w1 + w2 + · · · + wn−1 )
∑∞
∑∞
であるから、Z := m=0 zm , W := n=0 wn とおくと、limn→∞ sn2 = ZW である。もともと {sj } が収
束することは保証されているから、結局
( ∞
)( ∞
)
∑
∑
lim sj = lim sn2 = ZW =
zm
wn .
n→∞
j→∞
m=0
n=0
最後に αm,n = zm wn を対角式の順序でたしたときの部分和を t1 , t2 , · · · とすると、したがって limj→∞ tj =
ZW である。ところで
j = 1 + 2 + 3 + · · · + N = N (N + 1)/2,
N ≥ 1,
のときは
tN (N +1)/2 =
N
−1 ∑
n
∑
zj wn−j
n=0 j=0
であるから
lim
N
−1 ∑
n
∑
N →∞
これは
∞
∑


n=0
zj wn−j = lim tj = ZW.
j→∞
n=0 j=0
n
∑

zj wn−j  =
(
∞
∑
n=0
j=0
)(
zn
∞
∑
)
wn
n=0
を意味するから、定理の (ii) がなりたつ。
例 2.3.16
ez ew = ez+w
実際上の定理を適用すると
ez ew
=
∞
∞
∞
∑
∑
∑
zm ∑ zn
=
m! n=0 n!
m=0
=
∞
∞
n
∑
∑
1 ∑
(z + w)k
k!
z m wk−m =
k! j=0 m!(k − m)!
k!
k=0 m+n=k
k=0
z+w
∞ ∑
n
∑
z m wn
z m wk−m
=
m! n!
m! (k − m)!
m=0
k=0
k=0
= e
これを用いると ez e−z = ez−z = e0 = 1 であるから
e−z =
1
= (ez )−1 .
ez
2.3. 数列、級数の極限の基本事項
29
例 2.3.17 x, y が実数のとき z = x + iy に対して
ez = ex+iy = ex (cos y + i sin y)
(2.1)
まず上の例から ex+iy = ex eiy . さらに定理 2.3.13 により
eiy = cos y + i sin y
問 2.3.18 複素数 z, w に対して次の公式を示せ。
cos z 2 + sin2 z = 1,
cos(z + w) = cos z cos w − sin z sin w,
sin(z + w) = sin z cos w + cos z sin w
例 2.3.19 複素数 z ̸= 0 の極形式は |z| = r, arg z = θ とおくと
z = r(cos θ + i sin θ) = reiθ
と表される。
wn = z をみたす w を z の n-乗根といって w = z 1/n と表す。w = 0 ならば z = 0 であるから、逆もな
りたつ。z ̸= 0 とする。このとき w ̸= 0 である。z, w の極形式を
z = reiθ ,
w = ρeiϕ
とする。wn = ρn einϕ であるから、
wn = z ⇐⇒ ρn = r, nϕ = θ + k(2π), k = 0, ±1, ±2, · · · ,
したがって ρ = r1/n であり、
ϕ=
θ
2π
+k .
n
n
θ = arg z の値を一つ固定する。たとえば 0 ≤ θ < 2π ととする。ω := ei(2π/n) とおくと、
w = ρeiϕ = r1/n ei(θ/n)+ik(2π/n) = r1/n ei(θ/n) (ei(2π/n) )k = r1/n ei(θ/n) ω k
ω は単位円上の偏角が ϕn = 2π/n の点であるから、点 ω k , k = 0, ±1, ±2, · · · , は単位円上に偏角が等間
隔 2π/n で並ぶ。したがって n 個の点,1 = ω 0 , ω, ω 2 , · · · , ω n−1 , は単位円に内接する正 n 角形の頂点で、
ω n = 1 となり ω 0 に重なる。z 1/n はしたがって n 個あり、α = r1/n eiθ/n とすると、
α, αω, αω 2 , · · · , αω n−1
で与えられる。
第2章
30
2.4
関数論
複素数の指数関数、対数関数
上の例の公式 (2.1)
ez = ex (cos y + i sin y),
z = x + iy
は、大事である。これをもとに複素数の指数関数がどのような関数か詳しく見てみよう。
まず y = 0 の場合は ez = ex となり、実数の指数関数と一致する。x = 0 の場合、すなわち z = iy （純
虚数）の場合は
eiy = cos y + i sin y
であり、eiy は複素平面 C の単位円上の、偏角が y の点である。特に
e2πi = 1, eπi = −1, e(π/2)i = i, e−(π/2)i = −i
一般の点 ez = ex eiy は、この点 eiy の実数 ex > 0 倍の点であるから、
|ez | = ex ,
arg ez = y.
問 2.4.1 次の複素数の実部、虚部、絶対値、偏角をもとめよ。
e(π/3)i ,
e(π/4)i , e1−i(π/6) , e−2+i(7π/6)
ex ̸= 0 であるから、すべての複素数 z に対して
ez ̸= 0.
y を固定して、x の値を −∞ から ∞ まで連続的に増大させる。このとき ez は偏角 y が一定のまま、絶
対値 ex が増大する。
x を固定して、y の値を −∞ から ∞ まで連続的に増大させる。このとき ez は y が増大するにつれて、
原点を中心とし半径 ex の円上を正の向き（半時計まわり）に無限に回転する。
いいかえると複素平面で iy を通り実軸に平行な直線を Ly とおき、原点から出る偏角が y である直線
を ℓy とおく。
lim ex = 0,
x→−∞
lim ex = ∞
x→∞
であるから、z が Ly を左方向に移動するとき、ez は ℓy に添って原点に近づき、z が Ly を右方向に移動
するとき、ez は ℓy に添って無限遠に飛んでいく。y が −π から π まで変化すると、Ly は複素平面の実軸
に平行な帯状領域
H := {x + iy : −∞ < x < ∞, −π < y ≤ π}
を下から上に平行移動し、そのとき半直線 ℓy は原点のまわりを１周する。したがって w = ez により、H
が 複素平面から原点を除いた集合 C \ {0} 全体の上に１対１にうつる。
2.4. 複素数の指数関数、対数関数
31
次に
ez+2πi
=
ex+i(y+2π) = ex (cos(y + 2π) + i sin(y + 2π))
=
ex (cos y + i sin y) = ez
であるから、
ez+2πi = ez ,
すなわち ez は周期 2πi の周期関数である。したがって、Ly と Ly+2kπi , k = 0, ±1, ±2, · · · , は同じ半直線
ℓy に移る。したがって H を虚軸に平行に平行移動した領域
H + 2kπi = {z + 2kπi : z ∈ H} k = 0, ±1, ±2, · · · ,
はすべて C \ {0} に写される。よって w = ez により、ある点 w ̸= 0 に移る点 z は C 上に 2πi の等間隔で
虚軸に平行に無数に並んでいる。
さらに、複素平面上で実軸上の点 x をとおり、y 軸に平行な直線を Kx をおく。z が Kx を下から上
に移動すると、ez は原点を中心とし半径 r = ex の円 Cr 上を正の向きに無限回回転する。 x < 0 なら
ば、円 Cr は単位円の内部にあり、x → −∞ のときこの円は原点に収縮する。x > 0 ならば、円 Cr は
単位円の外部にあり、x → ∞ のときこの円は無限におおきくなる。ゆえに、w = ez により、z− 平面の左
半分 ℜz < 0 が w− 平面の単位円の内部に無限回写され、右半分 ℜz > 0 が w− 平面の単位円の外部に無
限回写される。
指数関数の逆関数が対数関数である。すなわち w に対して w = ez となる z を w の対数といって z = log w
とかく。ただし w ̸= 0 である。しかし上に注意したように、このような z の値は虚軸に平行に 2π の等
間隔で無数にならんでいる。つまり指数関数は１対１の対応でないから、その逆関数が一意的に定まらず、
z = log w はこの等間隔にならんでいる点のどれを指すのか確定しない。
しかし z の範囲を H に制限すると、w = u+iv ̸= 0 に対して ez0 = w となる z0 = x0 +iy0 , (−π < y0 ≤ π),
が唯一つ定まる。さらに
ez0 = w ⇔ ex0 (cos y0 + i sin y0 ) = w
であるから、まず
ex0 = |w| ⇔ x0 = log |w|
により、x0 と |w| は１対１に対応する。問題は w の偏角であるが、−π < arg w ≤ π であるようにとる
と、y0 = arg w としてこれも１対１に対応する。ez = w となる他の z の値は、zn = x0 + i(y0 + 2nπ), n =
±1, ±2, · · · , であるから、
zn = x0 + i(y0 + 2nπ) = log |w| + i(y0 + 2nπ), n = 1, 2, · · · .
と表される。y0 + 2nπ, n = 0, ±1, ±2, · · · , は w の偏角を一般角で計ったときの値全体に一致する。した
がって arg w を一般角で計って
log w = log |w| + i arg w
と定義すると、ez = w となる z の値を z = log w ですべて表すことができる。
第2章
32
関数論
問 2.4.2 複素数 z に対して次の公式を示せ。
ez+2πi = ez ,
cos(z + 2π) = cos z,
sin(z + 2π) = sin z
問 2.4.3 次の複素数の実部、虚部をもとめよ。
log(1 + i),
log(1 − i),
Log(1/i),
Log(−1 + 2i)
問 2.4.4 次の公式を導け:
log(w1 w2 ) = log w1 + log w2 ,
2.5
log
w1
= log w1 − log w2
w2
連続関数
複素変数 z を複素変数 w に移す関数 w = f (z) を考える．たとえば
f (z) = 2z + 1,
f (z) = −z 2 + 3z − 1,
f (z) = ez
z が z0 でない値をとりながら限りなく z0 に近づくとき、f (z) の値が w0 に限りなくちかづくことを、次
の記号であらわす：
lim f (z) = w0 .
z→z0
つまりこの極限等式は z ̸= z0 でしかも |z − z0 | → 0 のとき、|f (z) − w0 | → 0 をあらわす。たとえば
z 2 − 22
= 4.
z→2 z − 2
lim
実際 z ̸= 2 のとき
(z − 2)(z + 2)
z 2 − 22
−4=
−4=z+2−4=z−2
z−2
z−2
であるから、
2
z − 22
z=
̸ 2, |z − 2| → 0 ⇒ − 4 → 0.
z−2
実数関数の場合と同様に次の極限公式がなりたつ。
定理 2.5.1 limz→a f (z), limz→a g(z) がともに存在するならば、
(1)
lim (f (z) + g(z)) = lim f (z) + lim g(z)
z→a
(2)
z→a
lim cf (z) = c lim f (z) (c
z→a
z→a
z→a
は定数)
(3) lim f (z)g(z) = lim f (z) lim g(z)
z→a
z→a
また limz→a g(z) ̸= 0 ならば
lim
z→a
f (z)
limz→a f (z)
=
g(z)
limz→a g(z)
z→a
2.5. 連続関数
33
関数 f (z) は limz→a f (z) = f (a) であるとき、z = a において連続であるという。関数の定義域 D ⊂ C
のすべての点で連続ならば、単に（D で）連続であるという。普通は、いくつかの例外点を除いて連続で
ある。
定理 2.5.2 連続関数の合成関数は連続関数である。すなわち、y = f (z), z = g(w) が連続関数で、合成関
数 y = f (g(w)) が定義される（つまり z = g(w) を f (z) に代入できる）ならば、これも連続である。
たとえば、（n 次）多項式関数
f (z) = an z n + an−1 z n−1 + · · · + a1 z + a0
(an ̸= 0)
は複素平面 C 全体で連続である。
二つの多項式 f (z), g(z) の商 f (z)/g(z) で表される有理式関数は g(z) ̸= 0 であるすべての点で連続で
ある。
f (z) = |z| は連続関数である。実際
|f (z) − f (w)| = ||z| − |w|| ≤ |z − w|
より、明らかである。
指数関数は複素平面 C 全体で連続である。実際
|ea+h − ea | = |ea (eh − 1)| = |ea ||eh − 1|
と変形されるから、limh→0 |eh − 1| = 0 ならば z = a で連続である ( ただし h は複素数の値をとりながら
原点に近づく）。ところで、eh の定義より、
eh − 1
h2
h3
h2
h3
1+h+
+
+ ··· − 1 = h +
+
+ ···
2!
3!
2!
3!
(
)
2
h
h
= h 1+ +
+ ···
2!
3!
=
であるから
h
h2
|eh − 1| = |h| 1 + +
+ · · · 2!
3!
(
)
(
)
|h| |h|2
|h| |h|2
+
+ · · · ≤ |h| 1 +
+
+ ···
≤ |h| 1 +
2!
3!
1!
2!
≤
|h|e|h|
実数 x の指数関数 ex は連続であるから、
lim |h|e|h| = lim |h| lim e|h| = 0 × 1 = 0.
|h|→0
ゆえに
lim eh = 1.
h→0
|h|→0
|h|→0
第2章
34
関数論
三角関数は指数関数であらわされるから、全平面で連続である。
対数関数は連続である。正確に言えば、連続になるように対数関数を定義できる。log w = log |w| + i arg w
であり、その実部 log |w|, 虚部 arg w が連続になるようにすればよい。log |w| は、w の連続関数 |w| と実
数の対数関数 log の合成関数であるから、連続である。a ̸= 0 とし、arg w が w = a において連続である
ようにできる。|a| = r とし、 |w − a| < r とする。このとき w ∈ Ur (a) であることに注意する。複素平
面の原点 O から出て w を通る半直線に、点 a から垂線を下ろしたときの足を v とし、∠aOv = θ のとき
arg w = arg a + θ により w の偏角をとる。このとき
arg w − arg a = θ,
|v − a| ≤ |w − a| < r = |a|
である。ゆえに
sin |θ| =
|v − a|
|w − a|
≤
< 1.
|a|
r
したがって |θ| = Sin−1 (|w − a|/r) と表される。逆三角関数は連続関数であるから、|w − a| → 0 のとき
|θ| → 0 である。したがって arg w は w = a で連続である。
2.6
正則関数
一般に複素数の関数 w = f (z) において、極限値
f ′ (a) := lim
z→a
f (z) − f (a)
z−a
が存在するとき、f (z) は z = a において微分可能であるといい、この値を f (z) の a における微分係数と
いう。右辺は次のようにあらわすこともできる：
f ′ (a) = lim
h→0
f (a + h) − f (a)
.
h
定理 2.6.1 f (z) が z = a で微分可能ならば、z = a で連続である。
証明実際 z ̸= a のとき
f (z) − f (a) =
f (z) − f (a)
(z − a) → f ′ (a) × 0 = 0 (z → a)
z−a
であるから、limz→a f (z) = f (a).
複素平面の点 a を中心とする半径 r の円の内部
Ur (a) := {z ∈ C : |z − a| < r}
を、a の r-近傍という。f (z) が a のある r-近傍のすべての点で（定義されていて）微分可能であるとき、
f (z) は z = a で正則であるという。また f (z) が集合 D ⊂ C の各点で正則であるとき、f (z) は D におい
2.6. 正則関数
35
て正則であるという。このように定義できるためには、f (z) が D 全体で定義されており、さらに D の各
点に対して、そのある r-近傍でも定義されていることになる。
複素平面の部分集合はその境界を自分自身がまったく含んでいない場合は開集合であるという。また境界
を全部含んでいる場合は閉集合であるという。たとえば、単位円の内部 D := {z : |z| < 1} は、D の境界
である円周 C := {z : |z| = 1} をまったく含んでいないから、開集合である。しかし、F = {z : |z| ≤ 1} は
F の境界 C を全部含んでいるから、閉集合である。
一般の部分集合 D ⊂ C にたいして、ある点 b が D の境界の点であるのは、b のどんな近くにも D の点
と、D に含まれない点（つまり D の補集合 Dc := {w ∈ C : w ̸∈ D} の点）があることである。
定義 2.6.2 任意の r > 0 に対して
D ∩ Ur (b) ̸= ∅,
Dc ∩ Ur (b) ̸= ∅,
であるような点 b を D の境界点であるという。これに対して、ある r > 0 に対して
Ur (a) ⊂ D(⇔ Ur (a) ∩ Dc = ∅)
である点 a は D の内点であるといい、ある r > 0 に対して
Ur (c) ⊂ Dc (⇔ Ur (a) ∩ D = ∅)
である点 c は D の外点であるという。D の境界点の全体を Db で表し、D の境界という。D の内点の
全体を Di で表し、D の内部という。D の外点の全体を De （または Do ） で表し、D の外部という。
D = Di ∪ Db とおき D の閉包 という。
この定義より、Db , Di , De は互いに交わらず、任意の点はこの３集合のどれかに含まれる：
Db ∩ Di = ∅, Db ∩ De = ∅, Di ∩ De = ∅, Db ∪ Di ∪ De = C
また
Di ⊂ D ⊂ Di ∪ Db = D
も明らかである。
Db , Di , De のいずれかが空集合の場合もある。
問 2.6.3 次の各 D に対して Db , Di , De を求めよ。
(1) D = {z : |z| < 1} (2) D = {z : |z| ≤ 1} (3) D = {z : |z| ≥ 1}
(4) D = {z : 1 < |z| ≤ 2} (5) D = {z : |z| = 1} (6) D = {z : |z| ̸= 1}
(7) D = {z : |z| ̸= 0} (8) D = C (9) D = ∅
第2章
36
関数論
定義 2.6.4 D ⊂ C は D = Di であるとき、開集合であるという。また D = D であるとき、閉集合である
という。
Di ⊂ D はいつもなりたつから、D = Di ⇔ D ⊂ Di である。つまり D のすべての点 z が D の内点、
すなわち Ur (z) ⊂ D である近傍をもつとき、D は開集合である。関数 f (z) が D で正則と言う場合は、D
はいつも開集合とする。複素平面 C 全体で正則な関数は整関数という。
問 2.6.3 の (1),(6),(7) は開集合、(2),(3),(5) は閉集合、(8),(9) は開集合でもあり、閉集合でもある。(4)
は開集合でも閉集合でもない。
f (z) が正則であるとき、定義域の各点 z に f ′ (z) を対応させる関数を f (z) の導関数という。w = f (z)
dw
と表した場合は導関数は
と表すこともある。その他実数関数の場合と同じような記号をもちいる。実
dz
関数の場合と同様に次の微分公式がなりたつ。
定理 2.6.5 f (z), g(z) が D で正則ならば、f (z) + g(z), cf (z), f (z)g(z) も D で正則で
(1)
d
(f (z) + g(z)) = f ′ (z) + g ′ (z)
dz
d
(cf (z)) = cf ′ (z)
dz
d
(3)
(f (z)g(z)) = f ′ (z)g(z) + f (z)g ′ (z)
dz
また f (z)/g(z) は g ′ (z) ̸= 0 である点全体で正則で
(2)
(4)
d f (z)
f ′ (z)g(z) − f (z)g ′ (z)
=
dz g(z)
g(z)2
定理 2.6.6 z = f (ζ) w = g(z) が共に正則で f (ζ) の値が恒に g の定義域に入るならば、合成関数 w =
g(f (ζ)) =: h(ζ) は正則で h′ (ζ) = g ′ (f (ζ))f ′ (ζ), すなわち
dw
dw dz
=
dζ
dz dζ
例 2.6.7
d n
z = nz n−1 ,
dz
n = 0, ±1, ±2, · · · ,
多項式関数は整関数である。
分数関数は分母が 0 でない集合で正則である。
定理 2.6.8 指数関数は整関数で
d z
e = ez
dz
2.6. 正則関数
37
証明
1 z+h
eh − 1
(e
− ez ) = ez
h
h
であるから、
eh − 1
=1
h→0
h
(2.2)
lim
を示せばよい。ただし h は複素数である。ez の定義により
(
)
1
h2
h3
h4
eh − 1
−1 =
1+h+
+
+
+ ··· − 1 − 1
h
h
2!
3!
4!
(
)
2
3
4
1
h
h
h
=
h+
+
+
+ ··· − 1
h
2!
3!
4!
h
h2
h4
= 1+ +
+
+ ··· − 1
3!
4!
( 2!
)
3
1
h
h
= h
+ +
+ ···
2! 3!
4!
したがって
h
e − 1
−
1
h
(
|h| |h|2
1
+
+
+ ···
2!
3!
4!
(
)
|h|2
≤ |h| 1 + |h| +
+ ···
2!
)
≤ |h|
= |h|e|h| → 0(|h| → 0).
ゆえに (2.2) が成り立つ。
問 2.6.9 cos z, sin z は整関数で次の微分公式が成り立つことを示せ。
d
cos z = − sin z,
dz
d
sin z = cos z,
dz
例 2.6.10
d
1
log w =
dw
w
(w ̸= 0)
証明 実際、b, w を零でない複素数とし、a = log b, z = log w とおくと ea = b, ez = w である。b ̸= w な
らば、a ̸= z であるから、
z−a
log w − log b
= z
=
w−b
e − ea
1
ez −ea
z−a
とかける。対数関数の連続性から、w → b ならば、z → a であるから、
lim
w→b
log w − log b
= lim
z→a
w−b
1
ez −ea
z−a
=
1
1
1
=
z −ea =
ea
b
limz→a ez−a
第2章
38
関数論
したがって log w の w = b における微分の値は 1/b である。b を一般の点 w とかきかえると、例の公式を
える。
正則でない関数の簡単な例は f (z) = z(z の共役複素数）である。a, z を異なる複素数とし、r = |z−a|, θ =
arg(z − a) とおくと、z − a = reiθ とあらわされる。したがって
f (z) − f (a) = z − a = z − a = re−iθ
であるから、
f (z) − f (a)
re−iθ
=
= e−2iθ
z−a
reiθ
ゆえに、θ を一定にしたとき、
lim
z→a
f (z) − f (a)
= e−2iθ
z−a
となり、θ に応じて異なる値をとる。
問 2.6.11 f (z) = zz = x2 + y 2 (z = x + iy) は微分可能でないことを示せ。
また、関数 f (z) = |z| もすべての点 z0 で微分可能でない。たとえば z0 = 0 においては
z = r(cos θ + i sin θ)
とあらわすと、|z − z0 | = r > 0 であり、
f (z) − f (z0 )
|z|
r
1
=
=
=
z − z0
z
r(cos θ + i sin θ)
cos θ + i sin θ
である。この値は θ の値によって変化する。したがって r → 0 でも一定の値には収束しない。
一般の点 z0 ̸= 0 では
|z0 + h| − |z0 |
|1 + h/|z0 || − 1
|1 + h/|z0 || − 1
= |z0 |
=
h
h
h/|z0 |
と変形し、h → 0 のとき h/|z0 | → 0 であるから、limw→0 (|1 + w| − 1)/w が存在しないことを示せばよい。
w = t > 0 の場合をかんがえると、
1
1
|1 + w| − 1
= lim + 1 − = 1.
lim
t→0
w→0
w
t
t
w = −s, s > 0 の場合を考えると、
lim (|1 + w| − 1)/w = lim
w→0
ことなる極限値になる。
s→0
|1 − s| − 1
|(1/s) − 1| − (1/s)
= lim −
= −1.
s→0
−s
−1
2.6. 正則関数
39
問 2.6.12 w = reiθ とおき、θ を一定として、limw→0 (|1 + w| − 1)/w を計算せよ。
複素関数 w = f (z) があるとき、実数 x, y に対して、f (x + iy) を考え
u(x, y) = ℜf (x + iy)
v(x, y) = ℑf (x + iy)
と定義すると、実数の２変数関数 u(x, y), v(x, y) ができ
f (x + iy) = u(x, y) + iv(x, y)
と表される．このことを f (z) = u(x, y) + iv(x, y) とかき、u(x, y) を f (z) の実部、v(x, y) を f (z) の虚部
という。
このとき次の定理が成り立つ．
定理 2.6.13 f (z) が D で正則ならば、D の各点 x + iy において
∂u
∂v
=
,
∂x
∂y
∂u
∂v
=−
∂y
∂x
(2.3)
が成り立つ。逆に u, v のこの４種の偏導関数が D で存在し、連続であり、この関係式が成り立つならば、
f (z) は D で正則で
f ′ (z) =
∂v
∂v
∂u
∂u
+i
=
−i .
∂x
∂x
∂y
∂y
この定理における関係式 (2.3) をコーシー・リーマン（Cauchy-Riemann）の関係式という。
例 2.6.14 f (z) = z 2 = x2 − y 2 + 2ixy であるから、この場合 u = x2 − y 2 , v = 2xy. したがって
∂u
= 2x,
∂x
∂u
= −2y,
∂y
∂v
= 2y,
∂x
∂v
= 2x
∂y
確かにコーシー・リーマンの関係式がなりたつ。そして
∂u
∂v
+i
= 2x + i2y = 2(x + iy) = 2z.
∂x
∂x
f (z) = z = x − iy であるから、この場合 u = x, v = −y. したがって
∂u
= 1,
∂x
∂u
= 0,
∂y
∂v
= 0,
∂x
∂v
= −1
∂y
コーシー・リーマンの関係式が成り立たない。
問 2.6.15 次の関数の場合にコーシー・リーマンの関係式がなりたつかどうか確かめよ。
(1) f (z) = z 3
(2) f (z) = ez
(3) f (z) = |z|2
第2章
40
関数論
複素平面の部分集合 E は次の条件をみたすとき連結であるという：E 内の任意の２点は E 内を通る曲
線で結ばれる。
たとえば U1 (0) は連結であるが、U1 (0) ∪ U1 (3) は連結でない。
集合 D が連結かつ開集合であるとき、D は領域であるという。
補題 2.6.16 D が領域ならば、D 内の任意の２点は D 内の実軸または虚軸に平行な有限個の線分をつな
いだ折れ線で結ばれる。
証明 z1 , z2 を D 内の異なる２点とし、この点を結ぶ D 内の曲線を
z(t) = x(t) + iy(t)
a≤t≤b
とする。各点 z(t) と D の補集合との距離を ρ(t) とおく。D は開集合であるから、ρ(t) > 0 である。
s, t ∈ [a, b] とし、w ∈ Dc とすると
ρ(s) ≤ |z(s) − w| ≤ |z(s) − z(t)| + |z(t) − w|
であるから、
ρ(s) − |z(s) − z(t)| ≤ |z(t) − w|.
w は Dc 内の任意の点でよいから、これより
ρ(s) − |z(s) − z(t)| ≤ ρ(t).
したがって ρ(s) − ρ(t) ≤ |z(s) − z(t)| である。s と t の役割を入れ替えると ρ(t) − ρ(s) ≤ |z(t) − z(s)| =
|z(s) − z(t)| をえる。ゆえに
|ρ(s) − ρ(t)| ≤ |z(s) − z(t)|.
この不等式より、z(t) が連続であるから、ρ(t) も連続関数である。ゆえに ρ(t) は [a, b] のある点 t0 で最小
値 r := ρ(t0 ) をとる。ρ(t0 ) > 0 であるから、r > 0 である。
z(t) は [a, b] で連続であるから、つぎのような δ > 0 が存在する：|s − t| < δ ならば |z(s) − z(t)| < r.
区間 [a, b] を n 等分してできる分点を a = t0 < t1 < t2 < · · · < tn = b とする。n を十分大きくとり
(b − a)/n < δ とする。このとき
|z(ti ) − z(ti+1 )| < r,
i = 0, 1, 2 · · · , n − 1
である。ゆえに z(ti ) を中心とする半径 r の円 Ur (z(ti )) をとると、Ur (z(ti )) ⊂ D であり、z(ti+1 ) ∈ Ur (z(ti ))
である（i = 0, 1, · · · , n − 1)。円 Ur (z(ti )) の中心 z(ti ) と円内の点 z(ti+1 ) は実軸に平行な線分と虚軸に平
行な線分をつないだ折れ線で結ばれる。したがって補題がなりたつ。
コーシー・リーマンの関係式により次がなりたつ。
定理 2.6.17 f (z) が領域 D で正則でしかも実数の値しかとらないならば、f (z) は D で定数である。
この定理によっても実数値関数 f (z) = zz や f (z) = |z| は正則ではない。
2.7. べき級数
2.7
41
べき級数
前節にあげた関数以外にも正則関数はたくさん存在する。正則関数はべき級数でいくらでも構成できる。
一般に次の形の級数を（a のまわりの）べき級数という。
∞
∑
cn (z − a)n .
n=0
a, c0 , c1 , c2 , · · · , は複素数の定数で z は複素数変数である。たとえば
∞
∑
zn = 1 + z + z2 + z3 + · · · ,
n=0
∞
∑
1
1
1
1
(z − 1)n = 1 + (z − 1) + (z − 1)2 + (z − 1)3 + (z − 1)4 + · · ·
n!
2
6
24
n=0
等である。
補題 2.7.1 級数
∑∞
n=0
an が収束するならば、limn→∞ an = 0 であり、またすべての n = 0, 1, 2, · · · , に
対して |an | ≤ M である定数 M が存在する。
∑n
∑∞
証明 n=0 an = A とおく。An = k=0 ak とおくと、limn→∞ An = A である。ところで an = An −An−1
と表されるから
lim an = lim An − lim An−1 = A − A = 0.
n→∞
n→∞
n→∞
したがって十分大きい番号 N からさきの n に対しては |an | < 1 である。ゆえに
M = max{|a0 |, |a1 |, |a2 |, · · · , |aN |, 1}
とおくと、すべての n に対して |an | ≤ M.
∑∞
定理 2.7.2 べき級数 n=0 cn (z − a)n はある点 z0 ̸= a で収束すれば |z − a| < |z0 − a| であるすべての z
で絶対収束する。
∑∞
証明 n=0 cn (z0 − a)n は収束するから補題により
|cn (z0 − a)n | ≤ M
n = 0, 1, 2, · · · ,
であるような定数 M > 0 がある。
r = |z−a|, r0 = |z0 −a| とおき r < r0 とする。このとき r/r0 < 1 であるから
である。したがって
(
)n ∞
∞ ∑
∑
z−a
n
|cn (z − a) | =
cn (z0 − a) z0 − a n=0
n=0
)n
(
∞
∑
|z − a|
n
=
|cn (z0 − a) |
|z0 − a|
n=0
( )n
∞
∑
r
1
≤
M
=M
.
r0
1 − r/r0
n=0
∑∞
n=0 (r/r0 )
n
= 1/(1−r/r0 )
第2章
42
関数論
証明終わり
r0 = |z0 − a| とおくと、z0 は a を中心とする半径 r0 の円 Cr0 (a) 上の点である。上の定理より Cr0 (a) の
上のある点でべき級数が収束すれば、その円の内部のすべての点でべき級数は収束することになる。この対
偶命題を考えると、ある円 CR (a) の上のどこかの点でべき級数が発散すると、その円の外部のすべての点
で発散することがわかる。これより r0 ≤ R であることはすぐわかる。このような r0 と R の境目として、
∑∞
べき級数 n=0 cn (z − a)n に対して、次のような円があることになる。
∑∞
− a)n に対して次のような r が存在する：|z − a| < r ならば、収束し
|z − a| > r ならば発散する。この r をべき級数の収束半径といい、Cr (a) をべき級数の収束円という。た
定義 2.7.3 べき級数
n=0 cn (z
だし、z = a のみで収束するときは r = 0, またすべての z で収束するときは r = ∞ とする。
べき級数により収束円の内部で関数
f (z) =
∞
∑
cn (z − a)n
(|z − a| < r)
n=0
が定義される。
∑∞
z n /n! のときは r = ∞.
(ii) 1/(1 − z) = n=0 z n のときは r = 1.
∑∞
(iii) n=0 n!z n のときは r = 0.
例 2.7.4 (i) ez =
∑n=0
∞
補題 2.7.5 (i) 0 < r < 1 ならば limn→∞ nrn = 0, limn→∞ n2 rn = 0.
(ii)
f (z) =
∞
∑
nz n−1 =
n=1
g(z) =
∞
∑
1
(|z| < r = 1)
(1 − z)2
n(n − 1)z n−2 =
n=2
2
(|z| < r = 1)
(1 − z)3
証明 0 < r < 1 ならば 1/r > 1 であるから、1/r − 1 = h とおくと h > 0 で 1/r = 1 + h とかける。し
たがって r = 1/(1 + h) とあらわされ、rn = 1/(1 + h)n である。２項定理により
(1 + h)n = 1 + nh +
n(n − 1) 2 n(n − 1)(n − 2) 3
h +
h + ···
2
2×3
であるから、とくに
(1 + h)n >
n(n − 1) 2
n(n − 1)(n − 2) 3
h , (1 + h)n >
h
2
6
がなりたつ。最初の不等式をつかうと
nrn =
n
2n
2
<
=
→ 0 (n → ∞).
n
2
(1 + h)
n(n − 1)h
(n − 1)h2
2.7. べき級数
43
２番目の不等式をつかうと
n2
6n2
6
<
=
→ 0 (n → ∞).
n
(1 + h)
n(n − 1)(n − 2)h3
(1 − 1/n)(n − 2)h3
n2 r n =
(ii) z ̸= 1 のとき
1 + z + z2 + z3 + · · · + zn =
1 − z n+1
.
1−z
両辺の微分をとると
z + 2z + 3z 2 + · · · nz n−1
=
=
=
d 1 − z n+1
dz 1 − z
−(n + 1)z n (1 − z) − (1 − z n+1 )(−1)
(1 − z)2
n
1 − (n + 1)z + nz n+1
.
(1 − z)2
さらに |z| < 1 ならば、(i) の結果より、
lim |(n + 1)z n | = lim
n→∞
n→∞
n+1
n|z|n = 1 × 0 = 0,
n
lim |nz n+1 | = lim (n|z|n )|z| = 0 × |z| = 0.
n→∞
n→∞
したがって f (z) =
∞
∑
nz n−1 = lim (z + 2z + 3z 2 + · · · nz n−1 ) =
n→∞
n=1
1
(1 − z)2
また f (1) = 1 + 2 + 3 + · · · → ∞ であるから、|z| > 1 ならば f (z) は発散する。
g(z) についても (i) の２番目の結果を使って同様に証明される。
定理 2.7.6 べき級数
|
limn→∞ |c|cn+1
n|
(i)
r = 0.
(ii) limn→∞
r = 0.
√
n
∑∞
n=0 cn (z
− a)n の収束半径 r は次の公式で計算できる：
= A が存在するならば、r =
|cn | = B が存在するならば、r =
1
A.
1
B.
ただし A = 0 ならば r = ∞, また A = ∞ ならば
ただし B = 0 ならば r = ∞, また B = ∞ ならば
∑∞
− a)n を項別微分してできるべき級数や項別積分してできるべき級数はも
とのべき級数と同じ収束半径をもつ：すなわち
定理 2.7.7 べき級数
∞
∑
n=0
cn (z − a)n ,
n=0 cn (z
∞
∑
ncn (z − a)n−1 ,
n=1
はすべて同じ収束半径をもつ。
∞
∑
cn
(z − a)n+1
n
+
1
n=0
第2章
44
関数論
∑∞
∑∞
n−1
証明 a = 0 として証明する。 n=0 cn z n の収束半径を r,
の収束半径を ρ とする。
n=0 ncn z
ρ ≤ r, r ≤ ρ をしめす。
ρ ≤ r をしめす。ρ = 0 ならばあきらかであるから、ρ > 0 とする。0 < |z1 | < ρ である z1 を一つとる。
∑∞
n−1
は収束するから、補題 2.7.1 により
n=0 ncn z1
|ncn z1n−1 | ≤ M1
(n ≥ 0)
である M1 ≥ 0 がある。したがって |cn z1n | ≤ |z1 ncn z1n−1 | ≤ |z1 |M1 であるから、
n
(
)n
z
|z|
|cn z n | = |cn z1n | ≤ |z1 |M1
z1
|z1 |
がなりたつ。|z| < |z1 | ならば |z|/|z1 | < 1 であるから
∞
∑
|cn z | ≤
n
n=0
ゆえに
∞
∑
(
|z1 |M1
n=0
∑∞
n=0 cn z
n
|z|
|z1 |
)n
= |z1 |M1
|z1 |2 M1
1
=
.
1 − |z|/|z1 |
|z1 | − |z|
は |z| < |z1 | である任意の z で収束する。したがって |z1 | ≤ r. |z1 | は ρ にいくらでも
近くとれるから、ρ ≤ r.
つぎに r ≤ ρ をしめす。r = 0 ならば明らかであるから、r > 0 とする。0 < |z0 | < r である z0 を一つ
∑
とる。このとき n=0 cn z0n は収束するから、補題 2.7.1 により
|cn z0n | ≤ M0
(n ≥ 0)
である M0 ≥ 0 がある。したがって
n
)n
(
z
|z|
|ncn z n | = n|cn z0n | ≤ nM0
z0
|z0 |
がなりたつ。|z| < |z0 | ならば |z|/|z0 | < 1 であるから補題 2.7.5(ii) を用いて
(
)n−1
∞
∑
|z|
1
|z|
|z||z0 |M0
|z|
|ncn z | ≤
M0
=
M0
=
.
n
2
|z0 |
|z0 |
(1 − |z|/|z0 |)
|z0 |
(|z0 | − |z|)2
n=0
n=0
∞
∑
ゆえに
n
∑∞
n=0
ncn z n は |z| < |z0 | である任意の z で収束する。したがって |z0 | ≤ ρ. |z0 | は r にいくらでも
近くとれるから、r ≤ ρ.
系 2.7.8
∞
∑
∑∞
n=0 cn r
n
|cn |nρn−1 ,
n=1
は収束する。
, r > 0, が収束するならば、0 ≤ ρ < r のとき
∞
∑
n=2
|cn |n(n − 1)ρn−2 ,
2.7. べき級数
45
定理 2.7.9 べき級数で定義される関数
∞
∑
f (z) =
cn (z − a)n
n=0
は収束円の内部 |z − a| < r で正則で
f ′ (z) =
∞
∑
ncn (z − a)n−1 .
n=1
証明 a = 0 の場合を示す（一般の a の場合も同様である）。g(z) =
∑∞
n=1
ncn z n−1 とおく。|z| < r を固
定し、|z + h| < r である h ̸= 0 を考える．このとき
[
]
∞
∑
f (z + h) − f (z)
(z + h)n − z n
− g(z) =
− nz n−1 .
cn
h
h
n=1
n = 1 のときは
(z + h)n − z n
z+h−z
− nz n−1 =
− 1 = 0.
h
h
n ≥ 2 のとき２項定理により、
=
=
=
=
=
(z + h)n − z n
− nz n−1
h
(
)
1
n(n − 1) n−2 2 n(n − 1)(n − 2) n−3 3
n!
z n + nz n−1 h +
z
h +
z
h + · · · + hn − z n
h
1·2
1·2·3
n!
−nz n−1
(
)
n(n − 1) n−2 2 n(n − 1)(n − 2) n−3 3
n! n
1
n−1
nz
h+
z
h +
z
h + ··· + h
− nz n−1
h
1·2
1·2·3
n!
n(n − 1) n−2
n(n − 1)(n − 2) n−3 2
n!
nz n−1 +
z
h+
z
h + · · · + hn−1 − nz n−1
1
·
2
1
·
2
·
3
n!
(
n(n − 1) n−2 n(n − 1)(n − 2) n−3
h
z
+
z
h
1·2
1·2·3
)
n(n − 1)(n − 2)(n − 3) n−4 2
n! n−2
+
z
h + ··· + h
1·2·3·4
n!
(
n(n − 1)
(n − 2) n−3
(n − 2)(n − 3) n−4 2
h z n−2 +
z
h+
z
h ···
2
3
3·4
)
(n − 2)! n−2
+
h
3 · 4···n
第2章
46
と変形される。したがって
(z + h)n − z n
n−1 − nz
h
(
n(n − 1)
(n − 2) n−3
(n − 2)(n − 3) n−4 2
≤
|h| |z|n−2 +
|z|
|h| +
|z|
|h| · · ·
2
3
3·4
)
(n − 2)! n−2
+
|h|
3 · 4···n
n − 2 = m とおくと
(z + h)n − z n
n−1 − nz
h
(
n(n − 1)
m
m(m − 1) m−2 2
≤
|h| |z|m + |z|m−1 |h| +
|z|
|h| · · ·
2
3
3·4
)
m!
+
|h|m
3 · 4 · · · (m + 2)
(
n(n − 1)
m
m(m − 1) m−2 2
≤
|h| |z|m + |z|m−1 |h| +
|z|
|h| · · ·
2
1
1·2
)
m!
+
|h|m
1 · 2···m
n(n − 1)
=
|h|(|z| + |h|)m
2
n(n − 1)
=
|h|(|z| + |h|)n−2
2
ゆえに
f (z + h) − f (z)
− g(z)
h
∞
)
∑ ( (z + h)n − z n
− nz n−1 = cn
h
n=2
∞
∑
(z + h)n − z n
− nz n−1 ≤
|cn | h
n=2
≤
∞
|h| ∑
n(n − 1)|cn |(|z| + |h|)n−2
2 n=2
|z| < r であるから、|z| < ρ <r である数 ρ がとれる。このとき |h| < ρ − |z| ならば
∞
|h| ∑
f (z + h) − f (z)
≤
−
g(z)
n(n − 1)|cn |ρn−2
h
2 n=2
ρ < r であるから、系 2.7.8 により、
M :=
∞
∑
n=2
n(n − 1)|cn |ρn−2
関数論
2.8. 複素線積分
47
は収束し、有限な値である。ゆえに
f (z + h) − f (z)
|h|
− g(z) ≤
M
h
2
となり、
f (z + h) − f (z)
lim − g(z) = 0.
h→0
h
すなわち f ′ (z) = g(z).
□
この定理を繰り返し適用すれば、次の系を得る。
系 2.7.10 べき級数で表される関数 f (z) =
f ′ (z) =
∞
∑
ncn (z − a)n−1 , f ′′ (z) =
n=1
f (k) (z) =
∞
∑
∑∞
n=0 cn (z
∞
∑
− a)n は収束円の内部で何回でも微分可能で、
n(n − 1)cn (z − a)n−2 , · · · ,
n=2
n(n − 1)(n − 2) · · · (n − k + 1)cn z n−k
n=k
例 2.7.11 すべての複素数 z において
(
)
d z
d
z2
z3
z4
e =
1+z+
+
+
+ ···
dz
dz
2!
3!
4!
=
d
sin z
dz
=
=
d
cos z
dz
=
=
z2
z3
1+z+
+
+ · · · = ez ,
2!
3!
(
)
d
z3
z5
z7
z−
+
−
+ ···
dz
3!
5!
7!
z2
z4
z6
1−
+
−
+ · · · = cos z,
4!
6!
(2!
)
2
3
d
z
z
z6
1−
+
−
+ ···
dz
2!
4!
6!
z3
z5
−z +
−
+ · · · = − sin z.
3!
5!
複素線積分
2.8
前節でべき級数の和で定義される関数は収束円の内部で正則であることを示した．じつはその逆がなり
たつ。すなわち複素平面のある点 a で正則な関数は a のまわりのべき級数で表される。これを以下でしめ
す。この節では、そのために必要となる複素線積分について解説する。
まず実数のある区間 [a, b] で定義された実数 t の複素変数関数 f (t) = u(t) + iv(t) を考える。ただし
u(t), v(t) は連続な実数関数とする。このとき f (t) の積分を
∫ b
∫ b
∫ b
f (t)dt =
u(t)dt + i
v(t)dt
a
a
a
第2章
48
関数論
で定義する。また u(t), v(t) が微分可能であるとき、
f ′ (t) = u′ (t) + iv ′ (t)
と定義する。すなわち、f (t) の実部 u(t), 虚部 v(t) を積分または微分するのである。このとき実数関数の
積分と同じような諸公式がなりたつ。たとえば
定理 2.8.1 F ′ (t) = f (t) ならば
∫
b
f (t)dt = F (b) − F (a).
a
定理 2.8.2
(i)
∫
∫
b
a
∫
b
(f (t) ± g(t))dt =
b
f (t)dt ±
a
g(t)dt
a
(ii) 定数 α（複素数でもよい） に対して
∫
∫
b
b
αf (t)dt = α
a
f (t)dt.
a
補題 2.8.3 複素数 w ̸= 0 に対して ℜw = x, ℑw = y, |w| = r, arg w = θ とおくと
|w| = r = x cos θ + y sin θ
証明 w = reiθ であるから、r = we−iθ である。ゆえに
r
= we−iθ = (x + iy)(cos(−θ) + i sin(−θ)) = (x + iy)(cos θ − i sin θ)
= x cos θ + y sin θ + i(y cos θ − x sin θ)
両辺の実部と虚部を比較して
r = x cos θ + y sin θ,
0 = y cos θ − x sin θ.
定理 2.8.4
∫
∫
b
b
f (t)dt ≤
|f (t)|dt.
a
a
証明
∫
∫
b
w=
f (t)dt =
a
∫
b
[u(t) + iv(t)]dt =
a
∫
b
b
u(t)dt + i
a
v(t)dt
a
2.8. 複素線積分
49
に対して上の補題を適用する。|w| = r, arg w = θ とすると、
∫
∫ b
∫ b
b
f (t)dt = r = cos θ
u(t)dt + sin θ
v(t)dt
a
a
a
∫ b
=
[u(t) cos θ + v(t) sin θ]dt
a
ところで
u(t) cos θ + v(t) sin θ = ℜ(f (t)e−iθ ) ≤ |f (t)e−iθ | = |f (t)||e−iθ | = |f (t)|
以上により定理が証明された。
実数の区間 [a, b] で定義された複素関数
z(t) = x(t) + iy(t)
は、x(t), y(t) が微分可能で導関数が連続であるとき、複素平面の滑らかなパラメタ曲線 C を定義するとい
う。z(a) を C の始点、z(b) を C の終点という。複素関数 f (z) = u(x, y) + iv(x, y) は、C をふくむある
開集合で定義された連続関数であるとする。
定義 2.8.5 上の C と f (z) にたいして、C に沿った f (z) の（線）積分を
∫
∫ b
∫ b
f (z)dz :=
f (z(t))z ′ (t)dt =
(u(x(t), y(t)) + iv(x(t), y(t))(x′ (t) + iy ′ (t))dt
C
a
a
と定義する。また C をこの積分の積分路という。
例 2.8.6 f (z) = (z − w)n であり、C が w を中心とする半径 r の円を正の向きに 1 周する曲線とする。す
なわち
C : z = z(θ) = w + r(cos θ + i sin θ) = w + reiθ
0 ≤ θ ≤ 2π.
このとき z ′ (θ) = r(d/dθ)eiθ = ireiθ であり、
∫
∫ π
∫ π
f (z)dz =
(reiθ )n ireiθ dt =
irn+1 ei(n+1)θ dθ
C
0
0
∫ π
n+1
= ir
ei(n+1)θ dθ
0
ところで、m ̸= 0 ならば、(d/dθ)eimθ = imeimθ であるから、n ̸= −1 ならば、
∫
[
2π
ei(n+1)θ dθ =
0
ei(n+1)θ
i(n + 1)
]θ=2π
=
θ=0
また n = −1 ならば r
= r = 1,
∫ 2π
∫ 2π
ei(n+1)θ dθ =
dθ = 2π
n+1
0
0
0
e2(n+1)πi − e0
1−1
=
= 0.
i(n + 1)
i(n + 1)
第2章
50
関数論
である。ゆえに
{
∫
n ̸= −1
n = −1
0
2πi
(z − w) dz =
n
C
(のとき)
(のとき)
C1 , C2 が滑らかな曲線で、C1 の終点と C2 の始点が一致するとき
∫
∫
∫
f (z)dz =
f (z)dz +
f (z)dz
C1 +C2
C1
C2
と定義する。一般的に n 個の滑らかな曲線 C1 , C2 , · · · , Cn があり、 Ck−1 の終点が Ck の始点と一致する
とき
∫
∫
∫
f (z)dz =
C1 +C2 +···+Cn
∫
f (z)dz + · · · +
f (z)dz +
C1
C2
f (z)dz
Cn
と定義し、この値を区分的に滑らかな曲線 C = C1 + C2 + · · · + Cn に沿った（線）積分という。
滑らかな曲線 C : z = z(t), a ≤ t ≤ b, にたいして、区間 [−b, −a] で定義される s をパラメタとする曲線
C1 を
− b ≤ s ≤ −a
C1 : z = z(−s)
と定義すると、
d
d(−s)
z(−s) = z ′ (−s)
= −z ′ (−s).
ds
ds
したがって
∫
∫
f (z)dz =
−a
f (z(−s))(−z ′ (−s))ds.
−b
C1
積分変数の変換 −s = t をおこなうと
∫
−a
∫
′
a
b
ゆえに
∫
∫
b
f (z(t))z (t)dt = −
f (z(−s))(−z (−s))ds =
−b
′
′
∫
f (z(t))z (t)dt = −
a
f (z)dz.
C
∫
f (z)dz = −
C1
f (z)dz.
C
C に対して C1 を −C であらわす。これは C の終点から始点に逆向きにたどる曲線で、上の計算から
∫
∫
∫
∫
f (z)dz = −
f (z)dz あるいは
f (z)dz +
f (z)dz = 0
−C
C
この最後の式はよく用いられる．
C
−C
2.9. コーシーの積分定理
51
コーシーの積分定理
2.9
区分的に滑らかな曲線 C は始点と終点が一致するとき、閉曲線であるという。
開集合 D の各点 z で、F ′ (z) = f (z) であるとき F (z) は f (z) の原始関数であるという。
定理 2.9.1 f (z) が開集合 D で連続で、F ′ (z) = f (z) となる F が存在するとする。このとき D 内の任意
の C に対して、C の始点を α, 終点を β とすると、
∫
f (z)dz = F (β) − F (α).
C
とくに、C が閉曲線ならば
∫
f (z)dz = 0.
C
a ≤ t ≤ b, z(a) = α, z(b) = β, とあらわされるとする。このとき合成関数の微分法に
証明 C : z = z(t),
より
d
F (z(t)) = F ′ (z(t))z ′ (t) = f (z(t))z ′ (t).
dt
ゆえに
∫
∫
b
f (z)dz =
C
f (z(t))z ′ (t)dt = F (z(b)) − F (z(a)) = F (β) − F (α).
a
閉曲線のときは、α = β であるから、右辺は零である。
例 2.9.2 n ̸= −1 ならば d/dz((z − w)n+1 /(n + 1)) = (z − w)n であるから、任意の閉曲線 C に対して
∫
(z − w)n dz = 0.
C
ただし、n = −2, · · · , のときには w ̸∈ C とする。
n = −1 のときを考える。
d
1
log(z − w) =
,
dz
z−w
z ̸= w
であるから、w を通らない閉曲線 C のパラメタ表示を z = z(t), a ≤ t ≤ b, とおくと、
d
1
log(z(t) − w) =
z ′ (t),
dt
z(t) − w
a ≤ t ≤ b.
ただし、
log(z(t) − w) = log |z(t) − w| + i arg(z(t) − w)
第2章
52
関数論
の偏角 arg(z(t) − w) は t について連続であるようにとる。t が a から b まで変化する間に、arg(z(t) − w)
は連続的に変化し、点 z(t) が点 w の周りを n 回まわって始点にもどってくると、
arg(z(b) − α) − arg(z(a) − w) = 2nπ.
したがって
∫
C
1
dx =
z−w
∫
b
a
1
z ′ (t)dt = log(z(b) − w) − log(z(a) − w) = i(2nπ).
z(t) − w
ゆえに積分
∫
1
1
dz
2πi C z − w
は整数の値をとる。この値を w の C に関する指数、または C の w のまわりの回転数という。後で対数関
数を使わないでこの積分が整数値であることを示す。
上の定理では原始関数の存在を仮定したが、f (z) が正則ならばこの仮定なしで、閉曲線にそった f (z) の
積分が零になる。D が簡単な集合の場合の証明をのべる。
複素平面の点 a から点 b にいたる線分を [a, b] で表す：そのパラメタ表示は
[a, b] : z = a + t(b − a)
このとき
∫
0 ≤ t ≤ 1.
∫
f (z)dz = −
[b,a]
f (z)dz
[a,b]
であるから、
∫
∫
f (z)dz +
[a,b]
f (z)dz = 0.
[b,a]
複素平面の点 a1 , a2 , · · · , an をこの順に結ぶ折れ線を [a1 , a2 , · · · , an ] であらわす。このとき
(∫
)
∫
∫
∫
n ∫
∑
f (z)dz =
f (z)dz =
+
+··· +
f (z)dz.
[a1 ,a2 ,··· ,an ]
j=2
[aj−1 ,aj ]
[a1 ,a2 ]
[a2 ,a3 ]
[an−1 ,an ]
補題 2.9.3 折れ線 [a1 , a2 , · · · , an ] の上のすべての z において |f (z)| ≤ M であれば、折れ線の長さを L
とすると
∫
f (z)dz ≤ M L.
[a1 ,a2 ,··· ,an ]
2.9. コーシーの積分定理
53
証明実際たとえば [a1 , a2 ] のながさ L1 は L1 = |a2 − a1 | であるから、
∫ a2
∫ 1
f (z)dz = f (a1 + t(a2 − a1 ))(a2 − a1 )dt
a1
0
∫ 1
≤
|f (a1 + t(a2 − a1 ))||(a2 − a1 )|dt
0
∫
1
≤
M L1 dt = M L1
0
したがって
(∫
)
∫
∫
+
+··· +
f (z)dz [a1 ,a2 ]
[a2 ,a3 ]
[an−1 ,an ]
∫
∫
∫
f (z)dz f (z)dz + f (z)dz + · · · + ≤ [an−1 ,an ]
[a1 ,a2 ]
[a2 ,a3 ]
≤ M L1 + M L2 + · · · + M Ln = M L.
上の補題は積分路が折れ線でなくてもなりたつ。
定理 2.9.4 区分的に滑らかな曲線 C のうえのすべての z において |f (z)| ≤ M である定数 M があれば、
C の長さを L とすると
∫
f (z)dz ≤ M L.
C
証明 省略
複素平面の３点 a, b, c を頂点とする三角形 ∆ に対して、
∂∆ = [a, b, c, a] = [a, b] + [b, c] + [c, a]
とおく。これはこの三角形を１周する積分路である。
定理 2.9.5 (三角形領域でのコーシーの積分定理) f (z) が複素平面のある開集合 D で正則ならば、D に
含まれる任意の三角形 ∆ にたいして、
∫
f (z)dz = 0.
∂∆
証明 ∆ の頂点は上のように a, b, c であるとする。∂∆ にそった f (z) の積分を J(∆) とおく：すなわち
(∫
)
∫
∫
∫
∫
J(∆) :=
f (z)dz =
∂∆
f (z)dz =
[a,b,c,a]
+
[a,b]
+
[b,c]
f (z)dz.
[c,a]
[b, c] の中点を a1 , [c, a] の中点を b1 , [a, b] の中点を c1 , として、これらの中点により三角形 ∆ を合同な四
つの三角形 ∆1 , ∆2 , ∆3 , ∆4 に分割し、
∂∆1 = [a, c1 , b1 , a], ∂∆2 = [c1 , b, a1 , c1 ], ∂∆3 = [a1 , c, b1 , a1 ], ∂∆4 = [c1 , b1 , a1 , c1 ]
第2章
54
関数論
であるとする。∂∆j にそった f (z) の積分を J(∆j ) とおくと、
(∫
∫
∫
∫
∫
∫
4
∑
j
J(∆ ) =
+
+
+
+
+
[a,c1 ]
j=1
[c1 ,b1 ]
∫
+
[a1 ,c]
=
[c,b1 ]
+
[a,c1 ]
=
+
[b1 ,a]
(∫
∫
+
[a,c1 ]
∫
[b1 ,a1 ]
+
∫
+
[c1 ,b]
∫
[a,b]+[b,c]+[c,a]
∫
∫
f (z)dz
[b1 ,c1 ]
)
+
[a1 ,c]
∫
+
[a1 ,c]
f (z)dz =
=
+
[a1 ,b1 ]
+
[b,a1 ]
+
[b,a1 ]
∫
)
∫
+
[c1 ,a1 ]
∫
[c1 ,b]
[a1 ,c1 ]
∫
+
∫
[b,a1 ]
∫
+
∫
[c1 ,b]
∫
+
(∫
[b1 ,a]
∫
f (z)da
∫
[c,b1 ]
f (z)dz
+
[c,b1 ]
)
[b1 ,a]
f (z)dz = J(∆).
∂∆
したがって絶対値を考えると
|J(∆)| = |J(∆1 ) + J(∆2 ) + J(∆3 ) + J(∆4 )|
≤ |J(∆1 )| + |J(∆2 )| + |J(∆3 )| + |J(∆4 )|
右辺の各項がすべて |J(∆)|/4 より小であるとすると、|J(∆)| < 4(|J(∆)|/4) = |J(∆)| となり矛盾である．
したがって右辺の少なくとも一つの項は |J(∆)|/4 以上である。すなわち三角形 ∆ を小三角形に４等分
したとき、その内のすくなくとも一つの三角形 ∆1 に対して |J(∆)|/4 ≤ |J(∆1 )|, 言いかえると、
|J(∆)| ≤ 4|J(∆1 )|.
次に同様にして、三角形 ∆1 を４等分すると、その中の少なくとも一つの三角形 ∆2 に対して、|J(∆1 )| ≤
4|J(∆2 )| である。したがって
|J(∆)| ≤ 42 |J(∆2 )|
このようにして、次のような三角形の系列 ∆ ⊃ ∆1 ⊃ ∆2 ⊃ · · · が存在する：
|J(∆)| ≤ 4n |J(∆n )|,
n = 1, 2, · · · .
(1)
これらの三角形は次々に縮み、１点 z0 に収縮する。
さて f (z) は z0 で微分可能であるから、

 f (z) − f (z0 ) − f ′ (z ) (z ̸= z )
0
0
z − z0
ϕ(z) =

0
(z = z0 )
とおくと limz→z0 ϕ(z) = 0 である。すなわち任意の ϵ > 0 にたいして、δ > 0 を十分小さくとると |z−z0 | < δ
のとき |ϕ(z)| < ϵ である。ゆえに |z − z0 | < δ のとき
|f (z) − f (z0 ) − f ′ (z0 )(z − z0 )| = |ϕ(z)(z − z0 )| = |ϕ(z)||(z − z0 )| < ϵ|z − z0 |.
2.9. コーシーの積分定理
55
ところで
∫
(f (z) − f (z0 ) − f ′ (z0 )(z − z0 ))dz
∂∆n
∫
∫
∫
=
f (z)dz −
f (z0 )dz − f ′ (z0 )
∂∆n
∂∆n
(z − z0 )dz =
∂∆n
であるが、右辺の第２項、第３項は零である。したがって
∫
∫
∫
′
f (z)dz =
(f (z) − f (z0 ) − f (z0 )(z − z0 ))dz =
∂∆n
∂∆n
ϕ(z)(z − z0 )dz.
∂∆n
∆n は n → ∞ のとき１点 z0 に収縮する。したがって n が十分大きくなれば ∆n ⊂ Uδ (z0 ) となる。このと
き z ∈ ∂∆n ならば、上でしらべたように |f (z) − f (z0 ) − f ′ (z0 )(z − z0 )| ≤ ϵ|z − z0 | であり、さらに |z − z0 |
は ∆n の辺の長さ以下である。ゆえに ∆n の辺の長さを Ln とおくと
z ∈ ∂∆n ⇒ |f (z) − f (z0 ) − f ′ (z0 )(z − z0 )| ≤ ϵLn
∫
ゆえに
∂∆n
∫
f (z)dz = ∂∆n
ϕ(z)(z − z0 )dz ≤ (ϵLn )Ln = ϵL2n .
(2)
ところで、∆ の辺の長さを L とおく。∆1 の各辺の長さは ∆ の各辺の長さの 1/2 であるから、L1 = L/2.
同様に L2 = L1 /2 = L/22 . 以下同様にして Ln = L/2n であるから
( )2
L2
L
2
=
Ln =
2n
4n
(3)
(1),(2),(3), より n が十分大きいとき
L2
= ϵL2 .
4n
正数 ϵ はいくらでも小さくとれるから、|J(∆)| = 0 でなければならない。ゆえに J(∆) = 0.
|J(∆)| ≤ 4n |J(∆n )| ≤ 4n ϵ
上の定理の仮定は様々にゆるめることができる。まず
定理 2.9.6 f (z) が複素平面のある開集合 D で連続で、D から１点 w をのぞいた集合 D \ {w} := {z ∈
D : z ̸= w} で正則ならば、D に含まれる任意の三角形 ∆ にたいして、
∫
f (z)dz = 0.
∂∆
証明 w が ∆ の外部にあるときは前の定理から、上の積分は零である。w が ∆ の辺または内部にあると
する。
(i) w が辺 ∂∆ = [a, b, c] の 頂点に一致する、たとえば w = a とする。この場合、[a, b] 上に１点 c1 を
とり、[a, c] 上に１点 [b1 ] をとると
(∫
)
∫
∫
∫
f (z)dz =
+
+
f (z)dz
∂∆
[a,b]
(∫
[b,c]
=
[c,a]
∫
∫
+
[a,c1 ,b1 ,a]
+
[c1 ,b,b1 ,c1 ]
)
f (z)dz
[b1 ,b,c,b1 ]
第2章
56
関数論
[c1 , b, b1 , c1 ], [b1 , b, c, b1 ] を辺とする二つの三角形上では f (z) は正則であるから、この積分路に沿った f (z)
の積分は零である。ゆえに
∫
∫
f (z)dz =
∂∆
f (z)dz
[a,c1 ,b1 ,a]
∆ 上での |f (z)| の最大値を M とし、[a, c1 , b1 , a] を辺とする三角形の辺の長さを L1 とすると、
∫
∫
f (z)dz ≤ M L1 .
f (z)dz = [a,c1 ,b1 ,a]
∂∆
c1 , b1 を a にどんどん近づけると L1 → 0 であるから、結局
∫
f (z)dz = 0.
∂∆
したがって
∫
f (z)dz = 0.
∂∆
(ii) 次に w が三角形の辺、たとえば [a, b] 上にあるときは、
∂∆ = [a, w, c, a] + [w, b, c, w]
に分解する。右辺の積分路に沿った積分は (i) より零である。したがって左辺の積分路に沿った積分も零で
ある。
(iii) 最後に w が ∆ の内部にあるときは
∂∆ = [a, b, w, a] + [b, c, w, b] + [c, a, w, c]
と分解する。このとき右辺の積分路に沿った積分は (i) より零である。したがって左辺の積分路に沿った積
分も零である。
積分路に関する制限も大幅に緩和できる。たとえば D が次のような凸集合である場合は C は任意の閉
曲線でよい。複素平面の部分集合 D は次の条件を満たすとき、凸集合であるという：D の任意の２点は
D 内の線分で結ばれる。たとえば、三角形、長方形、円で囲まれる集合は凸集合である。二つの同心円の
間の集合は凸集合ではない。また凸集合ならば連結集合である。
定理 2.9.7 (凸集合でのコーシーの積分定理) D は凸開集合、 α ∈ D, とする。f (z) が D で連続、D \ {α}
で正則ならば、D 内の任意の閉曲線 C に対して、
∫
f (z)dz = 0.
C
2.9. コーシーの積分定理
57
証明 D 内の点 a を一つとり、固定する。D 内の任意の点 z に対して、D が凸集合であるから線分 [a, z]
は D にふくまれる。このとき
∫
F (z) =
f (w)dw
[a,z]
と定義する。z0 を D の他の点とする。再び D が凸集合であることにより、a, z, z0 を頂点とする三角形は
D に含まれる。したがって定理 2.9.5 から、三角形の辺 [a, z, z0 , a] にそった f (z) の積分は零である：
∫
f (w)dw
0=
[a,z,z0 ,a]
(∫
=
∫
+
[a,z]
∫
)
∫
+
(∫
f (w)dw =
[z,z0 ]
[z0 ,a]
∫
−
+
[a,z]
)
∫
[z,z0 ]
f (w)dw
[a,z0 ]
f (w)dw − F (z0 ).
= F (z) +
[z,z0 ]
ゆえに z ̸= z0 ならば
F (z) − F (z0 )
− f (z0 ) =
z − z0
1
z − z0
=
1
z − z0
( ∫
−
∫
)
f (w)dw
[z,z0 ]
−
1
z − z0
∫
f (z0 )dw
[z0 ,z]
[f (w) − f (z0 )]dw.
[z0 ,z]
z0 を固定し z → z0 の場合を考える。w が線分 [z0 , z] 上を動くときの |f (w) − f (z0 )| の最大値を Mz とお
くと、上の式から
∫
F (z) − F (z0 )
1
1
=
−
f
(z
)
[f
(w)
−
f
(z
)]dw
Mz |z − z0 | = Mz .
≤
0
0
z − z0
z − z0 [z0 ,z]
|z − z0 |
f (w) は連続であるから、limz→z0 Mz = 0. ゆえに
lim
z→z0
F (z) − F (z0 )
= f (z0 ),
z − z0
すなわち F ′ (z0 ) = f (z0 ).
以上により、 F (z) は f (z) の原始関数であるから、定理 2.9.1 により、閉曲線に沿った f (z) の積分は零
である。
コーシーの積分定理は実は次の形まで一般化できる。閉曲線は始点と終点以外では交点がないとき単一
閉曲線であるという。すなわち
C : z = z(t) : a ≤ t ≤ b
と定義されているとすると、 z(a) = z(b) であり、 a ≤ t1 < t2 ≤ b ならば z(t1 ) ̸= z(t2 ) であるとき、C は
単一閉曲線である。
第2章
58
関数論
定理 2.9.8 (ジョルダンの曲線定理) 平面内の単一閉曲線 C は平面を二つの連結集合に分割する。つまり
平面は C の内部と外部に分割され、それぞれの分割成分は連結集合である。
この定理は当たり前のように思われるが、証明は難しい。
定理 2.9.9 (コーシーの積分定理) f (z) が開集合 D で正則で、C が D 内の単一閉曲線でその内部がすべ
て D にふくまれるならば
∫
f (z)dz = 0.
C
単一閉曲線の内部が D に含まれるかどうかいちいち確かめるのはわずらわしい．その条件がいつもなり
たつ集合を考えたよう。
定義 2.9.10 連結開集合 D は、その中にある任意の単一閉曲線の内部が D に含まれるとき、単連結な領
域であるという。
たとえば、多角形の内部、円の内部などは単連結である。しかし、二つの同心円の間の部分は単連結では
ない。穴のある集合は単連結ではない。
D が単連結領域ならば、単一閉曲線でなくても、閉曲線に対してコーシーの積分定理が成り立つ．
定理 2.9.11 f (z) が単連結領域 D で正則ならば、D 内の任意の閉曲線 C に対して、
∫
f (z)dz = 0.
C
2.10
コーシーの積分公式
前節で証明したコーシーの積分定理を用いると、正則関数を線積分を用いてあらわす公式が得られる。そ
のために一つ準備をする。
補題 2.10.1 C を閉曲線とする。このとき曲線 C の上にない点 w に対して
∫
1
1
IC (w) =
dz
2πi C z − w
と定義すると、 IC (w) は整数の値をとる連続関数である。
a ≤ t ≤ b で表されるとする。このとき
証明 C が z = z(t)
IC (w) =
1
2πi
∫
b
a
z ′ (t)
dt
z(t) − w
である。
∫
u(t) =
a
t
z ′ (t)
dt
z(t) − w
2.10. コーシーの積分公式
59
とおくと IC (w) = u(b)/2πi であるから、IC (w) が整数であることは、ある整数 n により u(b) = 2πin と
なることと同値である。整数 n に対して e2πin = 1 であるから、eu(b) = 1 を示せばよい。そのために
v(t) = eu(t)
とおく。このとき微分をとると、
v ′ (t) = eu(t) u′ (t) = v(t)
z ′ (t)
z(t) − w
である。したがって v ′ (t)(z(t) − w) = v(t)z ′ (t) となり、
d v(t)
v ′ (t)(z(t) − w) − v(t)z ′ (t)
=
= 0.
dt z(t) − w
(z(t) − w)2
したがって v(t)/(z(t) − w) は [a, b] で一定である。u(a) = 0 であるから v(a) = e0 = 1, ゆえに
v(t)
1
=
.
z(t) − w
z(a) − w
これより
v(t) =
z(t) − w
z(a) − w
であるが、z(t) が閉曲線であるから、z(b) = z(a) であり、結局 v(b) = 1.
系 2.10.2 C が円を正の向きに１周する積分路ならば w が C の内部にあれば IC (w) = 1, w が C の外部
にあれば IC (w) = 0,
証明 w が C の中心ならば、前に計算したように IC (w) = 1 である。w が C の内部を動くとき IC (w)
は整数値をとりながら連続的に変化するから、内部で恒に１である。
w が C の外部にあるときは、関数 1/(z − w) は C およびその内部で正則であるから、コーシーの定理
から IC (w) = 0.
上の IC (w) を C に関する w の指数 (index) または、C の w のまわりの回転数 (rotation number)
という。
定理 2.10.3 (コーシーの積分公式) f (z) は開集合 D で正則、C は D 内の単一閉曲線を正の向きに 1 周
する積分路で、その内部が D に含まれるとする。このとき C 内の任意の点 w に対して、
∫
1
f (z)
f (w) =
dz.
2πi C z − w
証明 C が円の場合を考える。
{
f (z)−f (w)
z ̸= w z−w
g(z) =
′
f (w)
z=w
第2章
60
関数論
と定義すると、g(z) は D から点 w を除いた集合で正則である。したがってそこでもちろん連続である。ま
た微分の定義から
lim g(z) = f ′ (w) = g(w)
z→w
であるから、g(z) は z = w でも連続である。ゆえに定理 2.9.7 により C に沿った g(z) の積分は零である。
したがって
∫
f (z) − f (w)
0=
dz
z−w
C
∫
∫
f (z)
f (w)
dz −
dz
z
−
w
z
−w
C
C
∫
∫
f (z)
1
=
dz − f (w)
dz.
z
−
w
z
−
w
C
C
=
うえの系より w が C の内部にあれば
∫
1
dz = 2πi.
C z−w
したがって定理の公式が導かれる。
定理 2.10.4 f (z) は D で正則とする。このとき f (z) は D において何回でも微分可能である。また a ∈ D
とし、Ur (a) ⊂ D とすると、n 次の微分は Ur (a) において次の積分で与えられる：
∫
n!
f (ζ)
n
f (z) =
dζ, |z − a| < r,
2πi C (ζ − z)n+1
ただし C は a を中心とする半径 r の円を正の向きに１周する積分路である。
証明円 C を上のようにとり、ϕ(ζ) が ζ ∈ C について連続な関数とするとき、n = 1, 2, · · · , に対して
z ∈ Ur (a) において
∫
ϕ(ζ)
Fn (z) =
dζ
(ζ
− z)n
C
とおく。このとき Fn (z) が微分可能で Fn′ (z) = nFn+1 (z) を証明する。
まず F1 (z) が連続であることを証明する。z0 を Ur (a) の点とする。すなわち ρ := |z0 − a| < r とする。
このとき点 z が |z − z0 | < r − ρ =: δ を満たすならば |z − a| ≤ |z − z0 | + |z0 − a| < r − ρ + ρ = r で
あるから、 z は Ur (a) 内の点である。従って |z − z0 | < δ/2 であれば、z と C 上の各点 ζ との距離は δ/2
より大きい：|ζ − z| > δ/2. このとき
(
)
∫
∫
1
1
ϕ(ζ)
F1 (z) − F1 (z0 ) =
ϕ(ζ)
−
dζ = (z − z0 )
dζ
ζ
−
z
ζ
−
z
(ζ
−
z)(ζ
− z0 )
0
C
C
ζ が C 上にあるとき |ζ − z| > δ/2, |ζ − z0 | > δ であるから、
1
2
1
(ζ − z)(ζ − z0 ) = |ζ − z||ζ − z0 | ≤ δ 2
2.10. コーシーの積分公式
61
ゆえに C 上での |ϕ(ζ)| の最大値を M とすると
|F1 (z) − F1 (z0 )| ≤ |z − z0 |
2M
2πr.
δ2
したがって limz→z0 F1 (z) = F1 (z0 ).
上の F1 (z) − F1 (z0 ) の式より
∫
F1 (z) − F1 (z0 )
ϕ(ζ)
=
dζ.
z − z0
C (ζ − z)(ζ − z0 )
ψ(ζ) = ϕ(ζ)/(ζ − z0 ) は ζ ∈ C の連続関数であるから、たった今証明した（ϕ を ψ に置き換えた）F1 (z)
の連続性により
∫
∫
∫
∫
ϕ(ζ)
ψ(ζ)
ψ(ζ)
ϕ(ζ)
lim
dζ = lim
dζ =
dζ =
dζ
z→z0 C (ζ − z)(ζ − z0 )
z→z0 C ζ − z
(ζ
−
z
)
(ζ
− z0 )2
0
C
C
ゆえに F1 (z) は z = z0 で微分可能で F1′ (z0 ) = F2 (z0 ).
′
(z) = (n − 1)Fn (z) は証明できたとする。
次に Fn−1
1
1
−
(ζ − z)n
(ζ − z0 )n
1
1
1
1
=
−
+
−
n−1
n
n
n−1
(ζ − z)
(ζ − z0 ) (ζ − z0 )
(ζ − z)
(ζ − z)
(ζ − z0 )
1
1
(ζ − z0 ) − (ζ − z)
=
−
+
(ζ − z)n−1 (ζ − z0 ) (ζ − z0 )n
(ζ − z)n (ζ − z0 )
1
1
z − z0
=
−
+
(ζ − z)n−1 (ζ − z0 ) (ζ − z0 )n−1 (ζ − z0 ) (ζ − z)n (ζ − z0 )
であるから、
ψ(ζ) =
ϕ(ζ)
ζ − z0
とおくと、
Fn (z) − Fn (z0 )
[∫
]
∫
∫
ψ(ζ)
ψ(ζ)
ϕ(ζ)
=
dζ −
dζ + (z − z0 )
dζ
n−1
n−1
n (ζ − z )
(ζ
−
z)
(ζ
−
z
)
(ζ
−
z)
0
0
C
C
C
帰納法の仮定を ψ(ζ) にもちいると、z → z0 のとき右辺の最初の項は 0 へ収束する。また第２項の積分は
z が z0 の近くにあるとき、一定の定数 N 以下であるから、右辺第２項も z → z0 のとき 0 に収束する。
ゆえに Fn (z) は連続である。この式を z − z0 でわると、
Fn (z) − Fn (z0 )
z − z0
[∫
] ∫
∫
ψ(ζ)
ψ(ζ)
1
ψ(ζ)
dζ −
dζ +
dζ
=
n−1
z − z0 C (ζ − z)n−1
(ζ
−
z
)
(ζ
− z)n
0
C
C
第2章
62
関数論
′
ψ(ζ) に対して、右辺の第１項に対しては帰納法の仮定 Fn−1
(z) = (n − 1)Fn (z) を用い、第２項にたいして
は Fn (z) の連続性を用いると、
Fn (z) − Fn (z0 )
lim
z→z0
z − z0
[∫
] ∫
ψ(ζ)
ψ(ζ)
= (n − 1)
dζ +
dζ
n
(ζ
−
z
)
(ζ
− z0 )n
0
C
C
∫
ϕ(ζ)
dζ = nFn+1 (z0 )
= n
(ζ
−
z0 )n+1
C
以上により
F1′′ (z) = F2′ (z) = 2F3 (z)F1′′′ (z) = 2F3′ (z) = 2 × 3F4 (z) · · ·
(n)
F1 (z) = 2 × 3 × · · · nFn+1 (z) = n!Fn+1 (z)
をえる。したがって定理の f (n) (z) を表す積分の式が導かれた。
D が開集合ならば、D の点 a にたいして Ur (a) ⊂ D である正の数 r が存在するのであった。
定理 2.10.5 f (z) が開集合 D で正則ならば、D の任意の点 a における f (z) のテーラー級数は上のよう
な Ur (a) のすべての点 z において f (z) に収束する：
f (z) =
∫
∞
∞
∑
∑
f (ζ)
f (n) (a)
1
(z − a)n =
dζ(z − a)n
n+1
n!
2πi
(ζ
−
a)
C
n=0
n=0
|z − a| < r.
ただし C は a を中心とし、半径 ρ(≤ r) の円を正の向きに 1 周する積分路である。
証明 C : ζ = a + reiθ 0 ≤ θ ≤ 2π とするとコーシーの積分定理により
∫
1
f (ζ)
f (z) =
dζ |z − a| < r
2πi C ζ − z
であった。ところで
1
1
1
=
=
ζ −z
ζ − a − (z − a)
(ζ − a)(1 − (z − a)/(ζ − a))
と変形できる。等比級数の和の公式
1 + w + w2 + · · · + wn−1 =
1 − wn
1−w
(w ̸= 1)
により、
wn
1
= 1 + w + w2 + · · · + wn−1 +
1−w
1−w
(w ̸= 1)
が成り立つ。r = |ζ − a| > |z − a| であるから、
)k
(
)n
n−1 (
1
1 ∑ z−a
z−a
1
1
=
+
(ζ − a)(1 − (z − a)/(ζ − a))
ζ −a
ζ −a
ζ −a ζ −a
1 − (z − a)/(ζ − a)
k=0
(2.4)
2.11. 積分計算への応用
63
である。この式を代入し、前の定理を使うと
(
)n
∫
∫
n−1
∑ (z − a)k
1
1
z−a
1
1
f (z) =
dζ
+
dζ
f (ζ)
f
(ζ)
2πi C
(ζ − a)k+1
2πi C
ζ −a ζ −a
1 − (z − a)/(ζ − a)
k=0
(
)n
∫
∫
n−1
∑
1
f (ζ)
1
1
z−a
=
(z − a)k
dζ
+
f
(ζ)
dζ
2πi C (ζ − a)k+1
2πi C
ζ −z ζ −a
n=0
(
)n
∫
n−1
∑ f (k) (a)
1
f (ζ) z − a
k
(z − a) +
=
dζ
k!
2πi C ζ − z ζ − a
k=0
最後の積分項を Rn (z) とおく。|z − a| ≤ ρ < r のとき r − ρ > 0 とおくと、ζ ∈ C に対して、
z − a ρ
ζ − a = r < 1
である。また δ = r − ρ > 0 とおくと |ζ − z| ≥ δ であるから、M := max{∥f (ζ)| : ζ ∈ C} として
f (ζ) M
ζ − z ≤ δ
である。ゆえに |z − a| ≤ ρ < r のとき
|Rn (z)| ≤
1 M ( ρ )n
rM ( ρ )n
2πr =
2π δ r
δ
r
がなりたつ。したがって limn→∞ Rn (z) = 0 である。以上により (2.4) が成り立つ。
例 2.10.6 複素平面全体で正則な関数（整関数）の場合は、上の r の値はいくらでも大きくとれる。した
がって整関数は、すべての z において（任意の点 a の周りの）テーラー級数であらわされる。たとえば、
ez =
∞
∑
ea
(z − a)n
n!
n=0
がすべての a とすべての z に対してなりたつ。a = 0 の場合を考えると
ez =
∞
∑
1 n
z
n!
n=0
積分計算への応用
2.11
コーシーの積分定理、積分公式は定積分の計算に応用できる。その有名な１例をあげる。この積分は後に
定理 3.7.2 で用いられる。
補題 2.11.1
∫ ∞(
0
sin x
x
)2
∫
dx =
0
∞
sin x
π
dx =
x
2
第2章
64
証明部分積分により
)2
∫ ∞(
sin x
dx
x
0
関数論
[
]∞ ∫ ∞
sin2 x
2 sin x cos x
−
+
dx
x
x
0
0
∫ ∞
∫ ∞
sin 2x
sin x
=
dx =
dx
x
x
0
0
=
ここで limx→0 sin x/x = 1 を使った。
この積分は有名な積分で次のように計算する。sin x/x の原始関数は初等的に関数では表されないから次
のように工夫する。eix /x = (cos x + i sin x)/x であるから、x が実数のとき sin x/x = ℑeix x である。複
素関数 eiz /z の次のような積分路 C に沿った線積分を考える：C = C1 + C2 + C3 + C4 ;
C1 : z = s, 0 < δ ≤ s ≤ R; C2 = Reiθ , 0 ≤ θ ≤ π;
C3 : z = s, −R ≤ s ≤ −δ; C4 : z = δeiθ , π ≤ θ ≤ 2π.
ただし、0 < δ < R とする。C は閉曲線で、f (z) = eiz とおくと、コーシーの積分公式から
∫
C
eiz
dz =
z
∫
f (z)
dz = 2πif (0) = 2πi.
z
C
他方各 Cj , j = 1, 2, 3, 4 上での積分を計算する。まず
∫
C1
∫
C3
eiz
dz =
z
eiz
dz
z
∫
R
cos s + i sin s
ds
s
δ
∫
∫ δ
cos s + i sin s
cos(−u) + i sin(−u)
ds =
(−du)
s
−u
−R
R
)
∫ R(
sin u
cos u
+i
du
=
−
u
u
δ
−δ
=
であるから、
∫
C1 +C3
eiz
dz = 2i
z
∫
R
δ
sin s
ds
s
次に
∫
C4
eiz
dz =
z
∫
2π
π
ei(δ(cos θ+i sin θ)) iθ
iδe dθ =
δeiθ
∫
2π
iei(δ(cos θ+i sin θ)) dθ
π
ゆえに
∫
lim
δ→0
C4
eiz
dz =
z
∫
∫
2π
2π
i lim ei(δ(cos θ+i sin θ)) dθ =
π
δ→0
idθ = πi
π
(2.5)
2.12. 留数と積分計算への応用
最後に
∫
C2
∫
eiz
dz
z
π
=
∫
0
π
=
65
eiR(cos θ+i sin θ)
Rieiθ dθ
Reiθ
e−R sin θ eiR cos θ idθ
0
であるから、
∫
∫ π
∫ π
−R sin θ iR cos θ eiz e
dθ =
≤
e
i
e−R sin θ dθ.
dz
C2 z
0
0
0 < θ < π のとき、 sin θ ≥ 0 であるから、limR→∞ e−R sin θ = 0. ゆえに
∫ π
∫ π(
)
lim
e−R sin θ dθ =
lim e−R sin θ dθ = 0
R→∞
0
0
R→∞
であるから、
∫
eiz
lim
dz = 0.
R→∞ C
z
2
(2.6)
したがって
∫
R
2πi − 2i
δ
sin x
dx − πi =
x
∫
C−C1 −C3
eiz
dz − πi =
z
∫
C2
eiz
dz +
z
∫
C4
eiz
dz − πi
z
(2.5, 2.6) により、δ → 0, R → ∞ のとき、この式の右辺は零に収束する。以上により、
∫
lim
δ→0,R→∞
2i
δ
R
sin x
dx = πi
x
を得るから、捕題の積分公式が成り立つ。
2.12
留数と積分計算への応用
定理 2.10.5 は f (z) が Ur (a) 全体で正則である場合の定理であるが、Ur (a) の内部に正則でない点がある
場合を考える。たとえば
f (z) =
z
z
z
1
= 2
= 2
=
2
2
z +1
z − (−1)
z −i
2
(
1
1
+
z−i z+i
)
は、z ̸= ±i で正則であるが、z = ±i では微分可能でない。したがってたとえば a = i を中心とし、半径
r = 1 の円板 U1 (i) の中心 i 以外では正則であるが、中心では正則ではない。
このような場合には次の定理がなりたつ。
第2章
66
関数論
定理 2.12.1 f (z) が同心円でかこまれた領域
Ar,R (a) = {z|r < |z − a| < R}
(0 ≤ r < R)
で正則ならば、z ∈ Ar,R (a) に対して、
∞
∑
f (z) =
cn (z − a)n
(2.7)
n=−∞
がなりたつ。ただし cn は、次のように与えられる。r < ρ < R である勝手な ρ をとり、 a を中心とする
半径 ρ の円上を正の向きに 1 周する積分路を C とするとき、
∫
1
f (ζ)(ζ − a)−n−1 dζ, n = 0, ±1, ±2, · · · .
cn =
2πi C
(2.8)
証明はまた少々準備を要するので省略する。また公式 (2.8) において、 C の半径 ρ は、条件 r < ρ < R
を満たせばどのようにとってもよく、その取り方によらず cn は同じ値になる。
上の展開式 2.7 を f (z) の Ar,R (a) におけるローラン級数（Laurent series）またはローラン展開とい
う。(z − a) の正のべき乗と負のべき乗にわけてかくと（n < 0 のときは m = −n とかきなおして）
f (z) =
∞
∑
cn (z − a)n +
n=0
∞
∑
c−m (z − a)−m
m=1
= c0 + c1 (z − a) + c2 (z − a)2 + c3 (z − a)3 + · · ·
c−2
c−3
c−1
+
+
+ ··· .
+
z − a (z − a)2
(z − a)3
上の係数 cn は n ≥ 0 の場合は、定理 2.10.5 におけるテーラー級数の係数と同じものである。n < 0 の
場合は m = −n とおくと、
∫
1
c−m =
f (ζ)(ζ − a)m−1 dζ
2πi C
m≥1
(2.9)
である。
よくある場合は r = 0 の場合である。この場合、A0,R (a) = {z|0 < |z − a| < R} は円板 UR (a) から中心
a を除いた集合、つまり UR (a) の中心に穴があいた円板である。このときのローラン展開を a を中心とす
る（または a のまわりの）ローラン展開という。この場合 z − a の正のべきを集めた部分
∞
∑
cn (z − a)n
n=0
は、 |z − a| < R で収束するべき級数である。したがってこの部分は |z − a| < R において正則である。
ローラン展開の負べきだけをあつめた
ϕ(z) =
∞
∑
cm
(z − a)m
m=1
2.12. 留数と積分計算への応用
67
は、f (z) の z = a における特異性の主要部という。この部分は 0 < |z − a|、すなわち z ̸= a では収束する。
実際、0 < |z − a| < R では収束することはわかっている。したがって w = 1/(z − a) とおくと、|w| > 1/R
であり、
ϕ1 (w) =
∞
∑
cm wm
m=1
で定義されるべき級数は |w| > 1/R で収束することになる。したがって定理 2.7.2 により、ϕ1 (w) は |w| ≤ 1/R
でも収束する。ゆえに ϕ(z) = ϕ1 (1/(z − a)) は |1/(z − a)| ≤ 1/R, すなわち |z − a| ≥ R においても収束
する。これより ϕ(z) は z ̸= a では正則であるが、z = a では定義されず f (z) が z = a で正則でないこと
の原因となる。
しかし負べきの係数が全部ゼロ、つまり主要部がゼロになるときもある。そのときは
f (z) =
∞
∑
cn (z − a)n
n=0
となり、べき級数に一致するのであるから、じつは z = a で正則である。
定義 2.12.2 (i) f (z) が 0 < |z − a| < R である z で正則で、そのローラン展開の負べきの係数のうちにゼ
ロでないものがあるとき、f (z) は z = a で特異点をもつという。負べきの係数が全部ゼロのときは、z = a
は f (z) の見かけの特異点あるいは除去可能な特異点であるという。
(ii) ある k ≥ 1 にたいして
c−k ̸= 0,
そして m ≥ k + 1 ならば c−m = 0
であるとき、f (z) は z = a において k 位の極 (pole) をもつという。そうでないばあい、つまり c−m ̸= 0
である正の整数 m が無限にある場合は f (z) は z = a で真性特異点をもつという。
例 2.12.3 (i) sin z/z の分子はすべての z で正則であるから、特異点は z = 0 のように思われる．しかし
(
)
sin z
1
z3
z5
z2
z4
=
z−
+
− ··· = 1 −
+
− ···
z
z
3!
5!
3!
5!
であるから、z = 0 は除去可能な特異点である。一方
1
z
z3
sin z
=
−
+
− ··· ,
z2
z
3!
5!
sin z
1
1
z2
=
−
+
− ···
z3
z2
3!
5!
であるから、z = 0 は sin z/z 2 の 1 位の極であり、sin z/z 3 の 2 位の極である。
(ii) z ̸= 0 のとき
e−1/z =
(
)m
∞
∑
1
1
1
1 1
1 1
−
=1− +
−
+ ···
2
m!
z
z
2! z
3! z 3
m=0
であるから、e−1/z は z = 0 で真性特異点をもつ。
第2章
68
関数論
主要部の係数のうち 1/(z − a) の係数 c−1 は特別な意味をもつ。公式 (2.9) において m = 1 とおくと
∫
∫
1
c−1 =
f (ζ)dζ かきかえると
f (ζ)dζ = 2πic−1
2πi C
C
がなりたつ。c−1 の値を f (z) の z = a における留数 (residue) といって
Res(f, a) := c−1
とあらわす。つまり留数の値を計算すれば積分が計算できるのである。
ローラン級数の係数は公式 (2.8) から直接計算するのは難しい。f (z) をなんらかの方法で無限級数 (2.7)
の形にあらわせば、その係数がローラン係数になるのである。とくに 1/(z − a) の係数がわかれば、積分計
算に利用できる。
次の定理がなりたつ。
定理 2.12.4 f (z) が Ar,R (a) で正則で、この集合上で
f (z) =
∞
∑
dn (z − a)n
n=−∞
がなりたてば、
1
dn = cn =
2πi
∫
f (ζ)(ζ − a)−n−1 dζ
n = 0, ±1, ±2, · · · ,
C
例 2.12.5 例 2.12.3 より、sin z/z, sin z/z 2 , sin z/z 3 , exp(−1/z) の z = 0 における留数は、それぞれ、
0, 1, 0, −1 である。ゆえに単位円を正の向きに 1 周する積分路を C とすると、
∫
∫
∫
∫
sin z
sin z
sin z
dz = 0,
dz
=
2πi,
dz
=
0,
e−1/z dz = −2πi.
2
3
z
C
C z
C z
C
例 2.12.6
z
1
=
z2 + 1
2
(
1
1
+
z−i z+i
)
=
1/2
1/2
+
z−i z+i
したがって、この分数式は z = ±i において 1 位の極をもち、留数は 1/2 である。
Res(z/(z 2 + 1), i) = 1/2,
Res(z/(z 2 + 1), −i) = 1/2.
したがって、C1 : z = i + eiθ , 0 ≤ θ ≤ 2π C2 : z = −i + eiθ , 0 ≤ θ ≤ 2π とすると、
∫
∫
f (z)dz = 2πi(1/2) = πi
f (z)dz = 2πi(1/2) = πi.
C1
C2
同様に
1
1
=
2
z +1
2i
(
1
1
−
z−i z+i
)
2.12. 留数と積分計算への応用
69
であるから、この分数式も z = ±i において 1 位の極をもち、
Res(1/(z 2 + 1), −i) = −1/2i.
Res(1/(z 2 + 1), i) = 1/2i,
したがって
∫
f (z)dz = 2πi(1/2) = π,
∫
f (z)dz = 2πi(1/2) = −π.
C2
C1
さて一般に D 内に f (z) が正則でない点が有限個ある場合はつぎのようになる。
定理 2.12.7 単連結領域 D 内に f (z) が正則でない点が有限個あり、それらの点を a1 , a2 , · · · , ak とする。
このときこれらの点を通らない閉曲線 C に沿った f (z) の積分は次のようになる：
∫
f (z)dz = 2πi
C
k
∑
IC (aj )Res(f, aj )
j=1
ただし IC (aj ) は C に関する aj の指数である。
証明簡単のため、D 内に f (z) の特異点は a, b の二つであるとする。a に関する f (z) の主要部を ϕ(z),
b に関する f (z) の主要部を ψ(z) とする。ϕ(z) は z ̸= a では正則、ψ(z) は z ̸= b では正則であるから、
g(z) = f (z) − ϕ(z) − ψ(z)
とおくと、この関数は D \ {a, b} では正則である。また、z = a のまわりで
∞
∑
f (z) =
cn (z − a)n =
n=−∞
∞
∑
cn (z − a)n + ϕ(z)
n=0
であるから、
f (z) − ϕ(z) =
∞
∑
cn (z − a)n .
n=0
したがって f (z) − ϕ(z) は z − a で除去可能な特異点をもつ。ψ(z) は z = a では正則であるから、結局
g(z) は z = a では正則であるとみなせる．
同様に g(z) は z = b でも正則であるとみなせる。ゆえに D 内の任意の閉曲線 C にそって g(z) の積分
はゼロである。これより
∫
∫
∫
∫
0=
g(z)dz =
f (z)dz −
ϕ(z)dz −
ψ(z)dz.
C
C
C
であるから、
∫
∫
∫
f (z)dz =
ϕ(z)dz +
ψ(z)dz.
C
C
C
C
第2章
70
関数論
ところで
∫
∫ ∑
∞
∫
∞
∑
c−m
1
ϕ(z)dz =
dz =
c−m
dz.
m
(z
−
a)
(z
−
a)m
C
C m=1
C
m=1
しかし、既に調べたように
1
2πi
∫
C
1
dz =
(z − a)m
{
IC (a) (m = 1)
0
(m > 1)
であるから、結局
∫
ϕ(z)dz = 2πiIC (a)c−1 = 2πiIC (a)Res(f, a).
C
同様に
∫
ψ(z)dz = 2πiIC (b)Res(f, b).
C
ゆえに
∫
f (z)dz = 2πi(IC (a)Res(f, a) + IC (b)Res(f, b).
C
この定理により、閉曲線にそった積分は特異点の指数と留数を計算すれば、求められるということになる。
C が単一閉曲線を正の向きに 1 周する積分路ならば、z が C の内部にあれば指数は 1 であり、外部にあれ
ば指数は 0 である。また C が単一でない閉曲線の場合は C が z のまわりを m 回転するならば IC (z) = m
である。したがって特異点の留数さえ計算すれば、C にそった積分が求まるのである。
系 2.12.8 f (z) は単連結領域 D で有限個の特異点を除いて正則であるとする。f (z) の特異点を通らない
D 内の単一閉曲線を正の向けに 1 周する積分路 C に対して
∫
∑
f (z)dz = 2πi
Res(f, aj ).
C
j
ただし右辺は C 内の特異点全体での留数の和である。
例 2.12.9 原点を中心とする半径 2 の円を正の向きに 1 周する積分路を C とする。
∫
z
1 1
dz = 2πi(Res(z/(z 2 + 1), i) + Res(z/(z 2 + 1), i)) = 2πi( + ) = 2πi.
2
2 2
C z +1
∫
1
1
1
dz = 2πi(Res(1/(z 2 + 1), i) + Res(1/(z 2 + 1), i)) = 2πi( − ) = 0.
2+1
z
2i
2i
C
71
第 3 章 フーリエ級数
3.1
形式的準備
波動や振動減少は周期関数をもちいて表される。たとえば周期が 2π である 基本的周期関数は sin x, cos x
等であるが、さらに n = 1, 2, · · · , に対して sin nx, cos nx も周期関数である。n が増大するにつれてこの
周期関数は波でいえば細かい波、振動でいえば激しい振動を表している。一般的な波や振動は基本的な波、
振動に、細かい波、激しい波が重なりあってできていると考えられる。すなわち一般的な波、振動を表す関
数は
∞
f (x) =
a0 ∑
+
(an cos nx + bn sin nx)
2
n=1
の形で表されると考えられる。これを一般的に三角級数という。
einx − e−inx
einx + e−inx
+ bn
2
2i
an − ibn inx an + ibn −inx
e
+
e
2
2
an cos nx + bn sin nx = an
=
であるから、
cn =
an − ibn
2
c−n =
an + ibn
2
n = 1, 2, · · · , c0 =
とおくと、上の三角級数は
∞
∑
f (x) =
cn einx = c0 +
n=−∞
∞
∑
(cn einx + c−n e−inx )
n=1
と書き換えられる。
この無限級数に対して、つぎの部分和を考える。
sn (x) =
n
∑
ck eikx = c0 +
k=−n
n
∑
(ck eikx + c−k e−ikx )
k=1
このような形式の有限和を三角多項式という。
補題 3.1.1
{
∫ π
0
ikx
e dx =
2π
−π
(k =
̸ 0)
(k = 0)
a0
2
第3章
72
フーリエ級数
この補題により、たとえば次のように計算できる。
∫ π
∫ π
∫ π
n
∑
1
1
1
sn (x)dx =
c0 dx +
(ck eikx + c−k e−ikx )dx = c0
2π −π
2π −π
2π −π
k=1
また 1 ≤ |j| ≤ n ならば
∫ π
∫ π
n
∑
1
1
sn (x)e−ijx dx =
ck ei(k−j)x dx
2π −π
2π −π
k=−n
であるが、右辺の積分は k ̸= j のときは 0 になり、k = j のとき 2π になるから、
∫ π
1
sn (x)e−ijx dx = cj |j| ≤ n.
2π −π
したがって、j を固定して、n → ∞ のときの極限をとると
∫ π
1
sn (x)e−ijx dx
cj = lim
n→∞ 2π −π
であるが、この右辺の limn→∞ を積分記号の中にいれることができるだろうか。逆にいうと
∫ π
1
cj =
f (x)e−ijx dx
2π −π
とすると、
f (x) =
∞
∑
cj eijx
j=−∞
となるだろうか。
3.2
フーリエ係数
以上の前置きのもとに、本論にはいる。一般的に I := [−π, π) で定義された (連続とはかぎらない) 関数
f (x) をかんがえる。この区間の外にこの関数を周期的に拡張して、周期 2π の関数と考える。
定義 3.2.1 n = 0, ±1, ±2, · · · に対して
∫ π
1
cn =
f (t)e−int dt
2π −π
を f (x) のフーリエ係数という。また無限級数
∞
∑
cn einx
n=−∞
を f (x) のフーリエ級数といい、このことを
f (x) ∼
∞
∑
cn einx
n=−∞
で表す。cn は f から決まるから cn = fˆ(n) とも表す．
3.2. フーリエ係数
73
なお
∞
∑
cn einx
= c0 +
n=−∞
= c0 +
= c0 +
∞
∑
[ inx
]
cn e
+ c−n e−inx
n=1
∞
∑
n=1
∞
∑
[cn (cos nx + i sin nx) + c−n (cos nx − i sin nx)]
[(cn + c−n ) cos nx + i(cn − c−n ) sin nx]
n=1
と書き直される。n ≥ 1 に対して
∫ π
∫
1
1 π
an := cn + c−n =
f (x)2 cos nxdx =
f (x) cos nxdx
2π −π
π −π
∫ π
∫
1
1 π
bn := i(cn − c−n ) = i
f (x)(−2i) sin nxdx =
f (x) sin nxdx
2π −π
π −π
また
1
a0 :=
π
∫
π
f (x)dx
−π
とおくと、c0 = a0 /2. したがってフーリエ級数は
∞
a0 ∑
f (x) ∼
+
(an cos nx + bn sin nx)
2
n=1
と書いても同じである。
例 3.2.2 −π < x ≤ π のときは f (x) = x とおき、f (x + 2nπ) = f (x), −π < x ≤ π, n = ±1, ±2, · · · , とお
くと、f (x) は周期 2π の周期関数である。ただし x = π + 2nπ, n = 0, ±1, ±2, · · · , で不連続である。この
関数のフーリエ級数は次のようになる。まず f (−x) = −f (x) がなりたから、
∫ 0
∫ 0
∫ π
f (x) cos(nx)dx =
f (−t) cos(−nt)(−dt) =
(−f (t)) cos(nt)dt
−π
π
0
∫
π
= −
f (t) cos(nt)dt
0
これより
1
an =
π
次に
∫
(∫
∫ π)
0
+
−π
f (x) cos(nx)dx = 0.
0
∫
0
f (x) sin(nx)dx
−π
∫
0
=
f (−t) sin(−nt)(−dt) =
π
∫ π
=
(−f (t))(− sin(nt))dt
0
f (t) sin(nt)dt
0
π
第3章
74
フーリエ級数
であるから、
bn =
2
π
∫
π
f (x) sin(nx)dx.
0
部分積分により、
∫ π
f (x) sin(nx)dx
0
π
x sin(nx)dx
[
]π ∫ π
− cos(nx)
cos(nx)
−π cos(nπ)
(−1)n−1 π
=
x
+
dx =
=
n
n
n
n
0
0
0
したがって bn =
f (x) ∼
∫
=
(−1)n−1 2
n
であり、
(
)
∞
∑
sin 2x sin 3x sin 4x
(−1)n−1 2
sin(nx) = 2 sin x −
+
−
+ ··· .
n
2
3
4
n=1
実は −π < x < π においては，左辺と右辺は等しい．しかし x = π においては右辺の値は 0 であるが，
f (π) = π であるから，左辺と右辺は等しくない．
問 3.2.3 区間 −π < x ≤ π では f (x) = |x|, −π < x ≤ π, であるような周期 2π の関数のフーリエ級
数を求めよ．
定理 3.2.4 フーリエ級数について次が成り立つ：
(i) (f\
+ g)(n) = fˆ(n) + ĝ(n)
c (n) = αfˆ(n) (α : constant)
(ii) αf
(iii) f¯(x) = f (x) と定義すると、fb̄(n) = f (−n)
(iv) f を τ 平行移動した関数を fτ とおく、すなわち
fτ (t) = f (t − τ ),
−∞ < t < ∞
とすると、
fbτ (n) = fˆ(n)e−inτ
(v)
1
|fˆ(n)| ≤
2π
∫
π
−π
|f (t)|dt
関数 f (x) が区間 I で連続なとき、絶対値関数 |f (x)| も連続で I で最大値をとる。
∥f ∥∞ := max{|f (x)| : x ∈ I}
とおき、f の最大値ノルムという。
3.2. フーリエ係数
75
フーリエ係数 fˆ(n) は関数 f (x) が連続でなくても、f (x)e−inx が区間 I で積分可能ならば、定義される。
そのための十分条件は |f (x)| が I で積分可能であることである:このとき
∫ π
1
|f (t)|dt
∥f ∥1 :=
2π −π
とおき、f の L1 ノルムという。 f (x) が区間 I で連続ならば、∥f ∥1 ≤ ∥f ∥∞ .
f の L1 ノルムが有限な関数の全体を L1 (I) で表す。上の定理の (v) より
|fˆ(n)| ≤ ∥f ∥1 ,
f ∈ L1 (I), n = 0, ±1, ±2, · · · .
すなわち、フーリエ係数は一定値 ∥f ∥1 を越えない。実は
lim |fˆ(n)| = 0,
f ∈ L1 (I)
|n|→∞
であることがわかっている (リーマン・ルベークの定理)。振動数 n が大きくなれば、振幅をあらわすフー
リエ係数は小さくなるということである。あるいは、細かい波の成分は小さくなるともいえる。
さて
1
fˆ(n)einx =
2π
∫
π
f (t)ein(x−t) dt
(3.1)
−π
である。ϕn (x) = einx とおくと
∫ π
∫ π
1
1
in(x−t)
f (t)e
dt =
f (t)ϕn (x − t)dt
2π −π
2π −π
とかける。
定義 3.2.5 周期 2π の関数 f (x), g(x) に対して
∫ π
1
h(x) :=
f (t)g(x − t)dt
2π −π
で定義される関数 h(x) を f (x), g(x) の合成積といってつぎのように表す: h = f ∗ g.
補題 3.2.6 f, g が周期 2π の周期関数ならば f ∗ g = g ∗ f , すなわち
∫ π
∫ π
1
1
f (t)g(x − t)dt =
f (x − t)g(t)dt
2π −π
2π −π
問 3.2.7 この補題を確かめよ。
合成積をもちいると、式 (3.1) は
fˆ(n)einx = (f ∗ ϕn )(x)
(3.2)
と書き換えられるので、
f (x) ∼
∞
∑
n=−∞
fˆ(n)einx =
∞
∑
n=−∞
(f ∗ ϕn )(x).
(3.3)
第3章
76
3.3
フーリエ級数
フーリエ級数の総和定理
f (x) のフーリエ級数は f (x) に収束するとは限らない．実際連続関数のフーリエ級数がある点で発散す
る場合があることがわかっている。
しかし f が十分滑らかならばフーリエ級数は f に収束する。たとえば次の場合は関数論の知識から、フー
リエ級数の収束性が直ちにわかる。
複素平面の単位円 C : z = eiθ , 0 ≤ θ ≤ 2π, を含む領域
Ar,R (0) = {z : r < |z| < R} (0 ≤ r < 1 < R)
で正則な関数 g(z) があるとき、実数 θ の関数 f (θ) を
f (θ) = g(eiθ )
で定義できる。
f (θ + 2π) = g(ei(θ+2π) ) = g(eiθ ei2π ) = g(eiθ ) = f (θ)
であるから、f (θ) は周期 2π の周期関数である。g(z) のローラン展開を
g(z) =
∞
∑
cn z n
n=−∞
とする。このとき
f (θ) =
∞
∑
cn (eiθ )n =
n=−∞
∞
∑
cn einθ .
n=−∞
また、単位円を正のむきに 1 周する積分路 C は C : ζ = eit 0 ≤ t ≤ 2π と表されるから、
∫
∫ 2π
1
1
−n−1
g(ζ)ζ
dζ =
g(eit )(eit )−n−1 ieit dt
cn =
2πi C
2πi 0
∫ 2π
1
f (t)e−int dt
=
2π o
すなわち g(z) のローラン展開の係数は f (θ) のフーリエ係数であり、g(z) のローラン展開が、f (θ) のフー
リエ級数展開に変換されている。g(z) のローラン展開は、Ar,R (0) で g(z) に収束するから、f (θ) のフーリ
エ級数も f (θ) に収束している。
周期 2π の周期関数 f (θ) のフーリエ級数を
f (θ) ∼
∞
∑
cn einθ
n=−∞
であるとする。このとき複素数 z にたいして定義される級数
g(z) =
∞
∑
cn z n
n=−∞
が、上のような単位円を含む円環領域 Ar,R (0) で一様収束するとき、f (θ) は解析的な周期 2π の関数であ
るという。この場合 f (θ) は何回でも微分可能である。
3.3. フーリエ級数の総和定理
77
定理 3.3.1 実解析的な周期 2π の周期関数のフーリエ級数は、もとの関数に収束する。
フーリエ級数の収束を考える場合、問題となるのは f があまり滑らかでない場合である。しかしフーリ
エ級数そのものではなくて、級数の収束の意味を少し弱めると、広い範囲の関数のフーリエ級数がその関
数に収束する。以下これを解説しよう。
まず数列 {an } の収束に関する一つの定理を取り上げる．
定理 3.3.2 limn→∞ an = a ならば
lim
n→∞
a1 + a2 + · · · + an
=a
n
つまり {an } が a に収束すれば、平均値 (a1 + a2 + · · · + an )/n も同じ値に収束する。また a = ±∞ と
してもなりたつ。証明は ϵ − δ 論法を使ってでき、基本的な演習問題である。この定理の逆は成り立たない．
平均値が収束しても、もとの数列は収束するとはかぎらない。たとえば、数列 1, −1, 1, −1, 1, · · · , は収束
しないが、その平均値は 0 に収束する。
∑∞
数列からできる級数 n=1 an において、部分和 Sn = a1 + an + · · · + an からできる数列 {Sn } が S に
∑∞
収束するとき、級数 n=1 an が S に収束すると定義した。これに対して σn = (S1 + S2 + · · · + Sn )/n
が σ に収束するとき級数は（相加）平均法によって σ に収束するという。またこれを Cesaro の１次相加
法という。広い範囲の関数のフーリエ級数はこの方法で収束する。以下これを見よう．
f (x) のフーリエ級数の部分和 SN (f )(x) = SN (f, x) は式 (3.3) により、つぎのように表される：
( N
)
(
)
N
∑
∑
SN (f )(x) = SN (f, x) :=
f ∗ ϕn (x) = f ∗
ϕn (x),
n=−N
n=−N
ただし、ϕn (x) = einx , n = 0, ±1, ±2, · · · . この式の右辺に現れる関数を DN :=
リエ級数の Dirichlet 核という:
SN (f )(x) = (f ∗ DN )(x)
補題 3.3.3
DN (x) =
cos N x − cos(N + 1)x
( )
.
2 sin2 12 x
証明 einx = (eix )n であるから、等比級数の和の公式により N ≥ 1 のとき
DN (x) =
e−iN x − ei(N +1)x
1 − eix
であるが、分母分子に e−ix/2 をかけると
(
(
)
)
−2i sin N + 12 x
sin N + 12 x
e−i(N +1/2)x − ei(N +1/2)x
( )
( ) .
=
=
DN (x) =
e−ix/2 − eix/2
−2i sin 12 x
sin 12 x
∑N
n=−N
ϕn とおき、フー
第3章
78
フーリエ級数
さらに分母分子に sin(x/2) をかけると
) )
((
( )
sin N + 12 x sin x2
( )
.
DN (x) =
sin2 21 x
三角関数の加法定理より
((
) )
(x)
1
2 sin
n+
x sin
= cos nx − cos(n + 1)x
2
2
これをつかうと、
DN (x) =
cos N x − cos(N + 1)x
( )
.
2 sin2 12 x
この式の右辺は N = 0 のとき 1 であるから, N ≥ 0 に対してこの等式がなりたつ。
また Dn (x) の和は次のようになる．具体的にかくと、D0 (x) = 1 であり、N ≥ 1 のときは
N
∑
DN (x) =
einx = 1 +
N
∑
(einx + e−inx ).
n=1
n=−N
これを足し合わせると
D0 (x) + D1 (x) + D2 (x) + D3 (x) + · · · + DN (x)
= 1
+1 + e−ix + eix
+1 + e−ix + eix + e−2ix + e2ix
+1 + e−ix + eix + e−2ix + e2ix + e−3ix + e3ix
+···
+1 + e−ix + eix + e−2ix + e2ix + e−3ix + e3ix + · · · + e−iN x + eiN x
= (N + 1) + N (e−ix + eix ) + (N − 1)(e−2ix + e2ix ) + (N − 2)(e−3ix + e3ix ) + · · ·
+(N − (N − 1))(e−iN x + eiN x )
= (N + 1) +
N
∑
(N − (n − 1))(e−inx + einx )
n=1
=
N
∑
n=−N
(N + 1 − |n|)einx
3.3. フーリエ級数の総和定理
79
N = 1, 2, · · · , に対して
kN (x) =
=
N
1 ∑
Dn (x)
N + 1 n=0
(
)
N
N
∑
∑
1
|n|
(N + 1 − |n|)einx =
1−
einx
N +1
N +1
n=−N
= 1+
(3.4)
n=−N
N
N − 1 i2x
1
(eix + e−ix ) +
(e + e−i2x ) + · · · +
(eiN x + e−iN x ).
N +1
N +1
N +1
とおき、Fejer 核という。補第 3.3.3 により，次のように表される.
補題 3.3.4
1
1 1 − cos(N + 1)x
(1 )
=
kN (x) =
2
N + 1 2 sin 2 x
N +1
(
(
) )2
sin N2+1 x
( )
.
sin 12 x
問 3.3.5 D4 (x), k4 (x) のグラフの概形を描け。
(
kN ∗ f =
N
1 ∑
Dn
N + 1 n=0
)
∗f =
N
N
1 ∑
1 ∑
Dn ∗ f =
Sn (f )
N + 1 n=0
N + 1 n=0
であるから、kN ∗ f はフーリエ級数の部分和の平均である。式 (3.2,3.4) より、
(
N
∑
(kN ∗ f )(x) =
1−
n=−N
|n|
N +1
)
(
N
∑
(ϕn ∗ f )(x) =
n=−N
|n|
1−
N +1
)
fˆ(n)einx
であり、kN ∗ f は三角多項式であり、連続関数である。
補題 3.3.6 kN (x) は次の３条件をみたす。
∫ π
(i)
kN (x)dx = 2π
−π
(ii)∥kN ∥1 ≤ c
(N ≥ 0, c は定数)
(iii) 任意の δ, (0 < δ < π), に対して
∫
|kN (x)|dx = 0.
lim
N →∞
δ<|x|<π
これを総和核の条件という。
証明 kN (x) の最初の定義式 (3.4) から kN (x) が総和核の条件 (i) を満たすことがわかる。kN (x) の最後
の表示式から kN (x) ≥ 0 である。したがって、(i) より
∫ π
∫ π
1
1
∥kN ∥1 =
|kN (x)|dx =
kN (x)dx = 1
2π −π
2π −π
第3章
80
フーリエ級数
であり、条件 (ii) も自動的になりたつ。条件 (iii) を吟味する。再び最後の表示式を見よう。0 < δ < π
とする。δ ≤ x ≤ π の時 (sin(x/2))2 は x = δ において最小値 m := (sin(δ/2))2 > 0 をとる。また、
0 ≤ (sin((N + 1)x/2)))2 ≤ 1 であるから、
0 < δ < |x| ≤ π ⇒ 0 ≤ kN (x) ≤
したがって
∫
∫
kN (x)dx =
δ<|x|<π
1
.
(N + 1)m
∫
−δ
−π
π
kN (x)dx ≤
kN (x)dx +
δ
2(π − δ)
(N + 1)m
であるから、(iii) がなりたつ。
定理 3.3.7 (i) f (x) が周期 2π の連続関数ならば、limN →∞ ∥kN ∗ f − f ∥∞ = 0.
(ii) f ∈ L1 ([−π, π]) ならば、limN →∞ ∥kN ∗ f − f ∥1 = 0.
証明 総和核の性質 (i) により
∫ π
1
kN (t)f (x)dt
f (x) =
2π −π
とあらわる。したがって
(kN ∗ f )(x) − f (x) =
1
2π
∫
となり、さらに
|(kN ∗ f )(x) − f (x)| ≤
1
2π
π
−π
∫
kN (t)(f (x − t) − f (x))dt
π
−π
kN (t)|f (x − t) − f (x)|dt.
0 < δ < π とする。この右辺の積分の積分区間 [−π, π] を [−δ, δ] と、その残りの区間に分けると
(∫
)
∫
δ
1
|(kN ∗ f )(x) − f (x)| ≤
+
kN (t)|f (x − t) − f (x)|dt.
2π
−δ
δ<|t|≤π
(i) f (x) が連続の場合。kN ∗ f が連続関数であることの証明は省略する。(十分小さい）ϵ > 0 を考え、し
ばらく固定しておく。この ϵ に対して f (x) の連続性により次のような δ > 0 が存在する:
|t| ≤ δ ⇒ max{|f (x − t) − f (x)| : −π ≤ x ≤ π} < ϵ.
(有界閉区間で連続な関数の一様連続性)。f (x − t) のグラフは f (x) のグラフを x 軸方向に t だけ平行移動
したものである。上の条件は、元の f (x) のグラフとの間の距離 max{|f (x − t) − f (x)| : −π ≤ x ≤ π} は
|t| が十分小さければ、ϵ より小さくなるということである。
したがって、このとき
∫ δ
∫ δ
∫ π
1
1
1
kN (t)|f (x − t) − f (x)|dt ≤
kN (t)ϵdt ≤
kN (t)ϵdt = ϵ.
2π −δ
2π −δ
2π −π
3.3. フーリエ級数の総和定理
81
つぎに M := max{|f (t)| : t ∈ [−π, π]} とおくと、
|f (x − t) − f (t)| ≤ |f (x − t)| + |f (t)| ≤ 2M
であるから、
∫
1
kN (t)|f (x − t) − f (x)|dt
2π δ<|t|≤π
≤
=
∫
1
kN (t)2M dt
2π δ<|t|≤π
∫
M
kN (t)dt.
π δ<|t|≤π
総和核の性質 (iii) により、次のような N0 が存在する:
∫
M
N > N0 ⇒
kN (t)dt < ϵ.
π δ<|t|≤π
したがって N > N0 のとき
|kN ∗ f (x) − f (x)| < ϵ + ϵ = 2ϵ
がすべての x ∈ [−π, π] に対して成り立つ。したがってこの区間の最大値も 2ϵ 以下であるから、N > N0
のとき、∥kN ∗ f − f ∥∞ ≤ 2ϵ. 以上により定理 3.3.7 の (i) が証明された。(ii) の証明は省略する。
kN ∗ f は三角多項式であるから、次のように言うことができる。
定理 3.3.8 (i) f (x) が周期 2π の連続関数ならば、任意の ϵ > 0 に対して、∥f − P ∥∞ < ϵ であるような
三角多項式 P (x) が存在する。
(ii) f ∈ L1 ([−π, π]) ならば、任意の ϵ > 0 に対して、∥f − P ∥1 < ϵ であるような三角多項式 P (x) が存
在する。
次の定理は応用範囲の広い重要な定理である。
定理 3.3.9 (i) fˆ(n) = 0, n = 0, ±1, ±2, · · · ならば f = 0.
(ii) 二つの周期関数 f, g のフーリエ係数が同じならば、f = g.
証明 fˆ(n) = 0, n = 0, ±1, ±2, · · · ならば、
(kN ∗ f )(x) =
(
N
∑
1−
n=−N
|n|
N +1
)
fˆ(n)einx = 0.
ゆえに
f (x) = lim (kn ∗ f )(x) = 0.
N →∞
ゆえに (i) がなりたつ。(ii) は、f − g に対して (i) を用いれば、証明される。
第3章
82
フーリエ級数
定理 3.3.10 (Riemann-Lebesgue theorem) f ∈ L1 ([−π, π]) ならば、
lim fˆ(n) = 0.
|n|→∞
証明 kN ∗ f は eikx , k = 0, ±1, ±2, · · · , ±N で表されているから、補題 3.1.1 により、|n| > N ならば、
∫ π
1
(kN ∗ f (x))e−inx dx = 0.
2π −π
したがって |n| > N ならば、
∫ π
∫ π
1
1
−inx
(f (x) − kN ∗ f (x))e
dx =
f (x)e−inx dx = fˆ(n)
2π −π
2π −π
である。
f ∈ L1 ([−π, π]) ならば、limN →∞ ∥f − kN ∗ f ∥1 = 0 である。したがって任意の ϵ > 0 にたいして、
∥f − kNϵ ∗ f ∥1 < ϵ であるような Nϵ が存在する。
ゆえに |n| > Nϵ ならば
∫ π
1
|fˆ(n)| ≤
|(f (x) − kN ∗ f (x))e−inx |dx
2π −π
∫ π
1
=
|f (x) − kN ∗ f (x))|dx = ∥f − kn ∗ f ∥1 < ϵ.
2π −π
これは lim|n|→∞ fˆ(n) = 0 をしめす。
3.4
フーリエ級数の収束
f (x) のフーリエ級数は相加平均法により、f (x) に収束することはわかった。フーリエ級数自信が f (x)
に収束する場合については、関数の収束の仕方をいろいろ考えてたくさんの結果が知られている。その内
で標準的な方法は、次のような積分で関数の大きさを計って、フーリエ級数の収束性を扱うものである。
以下の論法は有限次元ベクトル空間の直交基底の方法を無限次元の関数空間に拡張するものである。複素
数 z1 , zn , · · · , zn の組 z = (z1 , z2 , · · · , zn ) の全体 Cn は n 次元のベクトル空間である。z = (z1 , z2 , · · · , zn )
と w = (w1 , w2 , · · · , wn ) の内積 < z, w > を
< z, w >= z1 w1 + z2 w2 + · · · + zn wn
で定義する。また z のノルム（長さ） ∥z∥ を
( n
)1/2
∑
√
2
∥z∥ = < z, w > =
|zi |
i=1
で定義する。< z, w >= 0 であるとき、z と w は直交するという。また ∥z∥ = 1 であるとき z は正規ベク
トルであるという。このとき、Cn には、互いに直交する n 個の正規ベクトル u1 , u2 , · · · , un が存在して、
任意のベクトル z は u1 , u2 , · · · , un を用いて
z = a1 u1 + a2 u2 + · · · + an un
3.4. フーリエ級数の収束
83
と表される。複素数係数 a1 , a2 , · · · , an は z に対して一意的に決まり
∥z∥2 = |a1 |2 + |a1 |2 + · · · + |an |2
が成り立つ。このような u1 , u2 , · · · , un を Cn の正規直交基底という。
たとえば e1 = (1, 0, 0, · · · , 0), e2 = (0, 1, 0, · · · , 0), · · · , en = (0, 0, 0, · · · , 1) は正規直交基底で、この場合
√
√
√
√
は a1 = z1 , a2 = z2 , · · · , an = zn である。また v1 = (1/ 2, 1/ 2), v2 = (−1/ 2, 1/ 2) は C2 の正規直
√
√
交基底である。この場合は a1 = (z1 + z2 )/ 2, a2 = (−z1 + z2 )/ 2 である。
区間 [−π, π] で定義された関数の集合に内積とノルムを定義し、正規直交関数系 ϕ1 (x), ϕ2 (x), · · · , をとっ
て（この場合は無限にとる）任意の関数が
f (x) =
∞
∑
ci ϕi (x) = c1 ϕ1 (x) + c2 ϕ2 (x) + · · ·
i=1
と表され、
∥f ∥2 =
∞
∑
|ci |2 = |c1 |2 + |c2 |2 + · · ·
i=1
であるようにできるかという問題を扱う。関数の集合をうまくとると、このような関数の展開ができるので
ある。
|f (x)|2 が [−π, π] で積分可能な関数 f (x) は２乗可積分な関数であるという。その関数全体を L2 ([−π, π])
とあらわす。また、f ∈ L2 ([−π, π]) の（２乗）ノルム ∥f ∥2 を次のように定義する。
√
1
∥f ∥2 = < f, f > = √
2π
(∫
π
)1/2
|f (x)| dx
2
−π
補題 3.4.1 f, g ∈ L2 ([−π, π] とする。
(i) |f (x)g(x)| は [−π, π] で積分可能である。
(ii) 任意の複素数 α, β に対して αf + βg ∈ L2 ([−π, π]).
証明 (i) 一般に |a||b| ≤ (|a|2 + |b|2 )/2 がなりたつから、 ∫ π
∫ π
∫ π
|f (x)g(x)|dx ≤
|f (x)|2 dx +
|g(x)|2 dx < ∞
−π
−π
−π
であり、|f (x)g(x)| は [−π, π] で積分可能である。
(ii) |αf (x)|2 = |α|2 |f (x)|2 であるから、αf ∈ L2 ([−π, π]). 同様に βg ∈ L2 ([−π, π]). 次に
|f (x) + g(x)|2
=
(f (x) + g(x))f (x) + g(x) = f (x)g(x) + f (x)g(x) + f (x)g(x) + g(x)g(x)
=
|f (x)|2 + 2ℜf (x)g(x) + |g(x)|2 ≤ |f (x)|2 + 2|f (x)g(x)| + |g(x)|2
であるから、f + g ∈ L2 ([−π, π]).
すでに調べたように αf, βg ∈ L2 ([−π, π]) であるから、αf + βg ∈ L2 ([−π, π]).
第3章
84
フーリエ級数
[−π, π] で定義された複素関数 f, g の内積 < f, g > を次の式で定義する。
∫ π
1
< f, g >=
f (x)g(x)dx
2π −π
補題 3.4.2 f, g ∈ L2 ([−π, π]) ならば、内積を定義する積分が定まり、次の不等式 (Cauchy-Schwarz の不
等式) がなりたつ。
| < f, g > | ≤ ∥f ∥2 · ∥g∥2
(3.5)
証明補題 3.4.1 から、f, g ∈ L2 ([−π, π]) ならば、内積 < f, g > が定義される。
|f (x)|2 の [−π, π] における積分が零ならば、|f (x)| = 0 であるから、不等式 (3.5) は両辺が零としてなり
たつ。|f (x)|2 の [−π, π] における積分が零でない場合を考える。複素数 < f, g > の絶対値を r 偏角を θ
とおく。< f, g >= reiθ であるから、h(x) = e−iθ f (x) とおくと
| < f, g > | = r = e−iθ < f, g >=< e−iθ f, g >=< h, g >
と書ける。次に任意の実数 t に対して、
|th(x) + g(x)|2
=
(th(x) + tg(x))th(x) + tg(x)
= t2 |h(x)|2 + t(h(x)g(x) + h(x)g(x)) + |g(x)|2
であるから
∫
π
|th(x) + g(x)|2 dx ∫ π
∫ π
∫
= t2
|h(x)|2 dx + 2t
(h(x)g(x) + h(x)g(x))dx +
−π
−π
−π
π
−π
|g(x)|2 dx
ところで
∫ π
−π
h(x)g(x)dx =< h, g >= | < f, g > |,
は正または零の実数である。ゆえに
∫ π
∫ π
∫
h(x)g(x)dx =
h(x)g(x)dx =
−π
−π
π
−π
h(x)g(x)dx = | < f, g > | = | < f, g > |
を得る。ゆえに式 (3.6) は次のようになる：
∫ π
|th(x) + g(x)|2 dx = t2 ∥h∥22 + 2t| < f, g > | + ∥g∥22 .
−π
左辺の t の２次式はすべての実数 t にたいして正または零であるから、２次式の判別式を考えて
| < f, g > |2 − ∥h∥22 ∥g∥22 ≤ 0.
(3.6)
3.4. フーリエ級数の収束
85
明らかに ∥h∥2 = ∥f ∥2 であるから、| < f, g > | ≤ ∥f ∥2 ∥g∥2 を得る。
f ∈ L2 ([−π, π]) ならば、Cauchy-Schwarz の不等式を g(x) = 1 として適用することにより、f ∈
L1 ([−π, π]) であり、∥f ∥1 ≤ ∥f ∥2 である：
(∫ π
)1/2
(∫ π
)1/2
∫ π
1
1
1
√
|f (x)|dx ≤ √
|f (x)|2 dx
dx
2π −π
2π
2π
−π
−π
(∫ π
)1/2
1
= √
|f (x)|2 dx
2π
−π
√
例 3.4.3 f (x) = 1/ (π − x)(π + x) とおくと、f ∈ L1 ([−π, π]) であるが、f ̸∈ L2 ([−π, π]). 実際変数変
換 x = πy をおこなうと
∫ π
∫ 1
∫ 1
1
1
1
√
√
√
dx =
πdy =
dy.
2 (1 − y)(1 + y)
(π
−
x)(π
+
x)
π
(1
−
y)(1
+ y)
−π
−1
−1
さらに変数変換 y = sin θ を行うと
∫ 1
∫ π/2
∫ π/2
1
1
1
√
√
dy =
cos θdθ =
cos θdθ = π.
2
(1 − y)(1 + y)
−1
−π/2
−π/2 cos θ
1 − sin θ
ゆえに
∫
π
−π
1
√
dx = π
(π − x)(π + x)
しかし f (x)2 = 1/(π − x)(π + x) の積分は
(∫ 0 ∫ π )
∫ π
2
f (x) ds =
+
f (x)2 dx
−π
−π
0
と分けて考えるとつぎのようになる。0 ≤ x ≤ π のとき、π ≤ x + π ≤ 2π であるから、
1
1
≥
,
(π − x)(π + x)
(π − x)π
ゆえに
∫
π
0
同様に
∫
0
−π
1
1
dx ≥
(π − x)(π + x)
π
∫
1
dx = ∞.
(π − x)(π + x)
したがって
∫ π
f (x)2 dx = ∞
−π
であり、f ̸∈ L2 ([−π, π]).
(0 ≤ x ≤ π).
0
π
1
1
x=π
dx = [− log(π − x)]x=0 = ∞.
π−x
π
(3.7)
第3章
86
フーリエ級数
問 3.4.4 式 (3.7) を確かめよ。
ゆえに L2 ([−π, π]) は L1 ([−π, π]) の部分集合で、実際に狭い集合である。フーリエ級数は L1 ([−π, π]) の
関数に対して定義されるから、もちろん L2 ([−π, π]) の関数に対しても定義される。この少し狭い L2 ([−π, π])
においてフーリエ級数を考えると、おおよそ次のようになる。f ∈ L1 ([−π, π]) にたいして、フーリエ級数
を並べてできる数列
fˆ = (· · · , fˆ(−2), fˆ(−1), fˆ(0), fˆ(1), fˆ(2), · · · )
を対応させる。Riemann-Lebesque の定理により、この数列は条件
lim |fˆ(n)| = 0
|n|→∞
をみたす。つまり十分先の項はどんどん零に近づいていく。これ以上のことは L1 ([−π, π]) の範囲で考える
と難しい。たとえば、逆の問題として、数列 {an }∞
が lim|n|→∞ an = 0 であるならば、fˆ(n) = an , n =
n=−∞
0, ±1, ±2, · · · , である関数 f ∈ L1 ([−π, π]) がいつも存在するかと問えば、答えは否であることがわかって
いる。
しかし関数 f を少し狭い範囲 L2 ([−π, π]) からとると、
∞
∑
|fˆ(n)|2 < ∞
n=−∞
となり、上のような逆問題も肯定的に成り立つのである。
2
定義 3.4.5 次のような条件をみたす数列 a := {an }∞
n=−∞ の全体を ℓ で表す：
(
a ∈ ℓ ⇔ ∥a∥2 :=
2
∞
∑
)1/2
|an |
2
n=−∞
(
=
∞
∑
|an | +
2
n=0
∞
∑
)1/2
|a−m |
2
< ∞.
m=1
2
定理 3.4.6 f ∈ L2 ([−π, π]) を、フーリエ級数の係数の列 fˆ := {fˆ(n)}∞
n=−∞ に写す写像は L ([−π, π]) か
ら ℓ2 の上への１対１の写像であり、ϕn (x) = einx , n = 0, ±1, ±2, · · · , とおくと、
lim ∥f −
N →∞
N
∑
fˆ(n)ϕn ∥2 = 0
n=−N
であり、
∥f ∥2 = ∥fˆ∥2
つまり、関数の全体 L2 ([−π, π]) は数列の全体 ℓ2 とみなしてよいということである。数列 {an } は、
{an } = (· · · , a−2 , a−1 , a0 , a1 , a2 , · · · , an , · · · )
とあらわしてみると、無限次元のベクトルとみなせる。
以下においてこの定理 3.4.6 の証明を概観する。L2 ([−π, π]) は次のような重要な性質をもつ。
3.4. フーリエ級数の収束
87
定理 3.4.7 L2 ([−π, π]) の関数の列 {fn } がコーシー列である、すなわち
lim ∥fm − fn ∥2 = 0
m,n→∞
であるならば、{fn } は L2 ([−π, π]) のある関数 f につぎの意味で収束する：
lim ∥fn − f ∥2 = 0.
n→∞
この性質を L2 ([−π, π]) は完備であるといっている。
f, g ∈ L2 ([−π, π]) は、< f, g >= 0 であるとき直交するという。L2 ([−π, π]) の関数の系列 ϕ1 , ϕ2 , · · · , は
互いに直交し、かつ ∥ϕn ∥2 = 1, n = 1, 2, · · · , であるとき、正規直交系であるという。∥ϕn ∥2 =< ϕn , ϕn >
であるから、正規直行系の条件は次のように表される：
< ϕm , ϕn >= δmn .
δmn は m = n のときは 1 を表し、m ̸= n のときは 0 を表す記号で Kronecher のデルタ記号という。
問 3.4.8 einx , n = 0, ±1, ±2, · · · は正規直交系であることを示せ。
補題 3.4.9 ϕ1 , ϕ2 , · · · , ϕN が正規直交系ならば
N
2
N
∑
∑
an ϕn =
|an |2 .
n=1
2
証明実際
N
2
∑
an ϕn n=1
n=1
= <
N
∑
an ϕn ,
n=1
2
=
N ∑
N
∑
N
∑
an ϕn >=<
n=1
N
∑
< am ϕm , an ϕn >=
an an =
n=1
am ϕm ,
m=1
m=1 n=1
=
N
∑
N ∑
N
∑
N
∑
an ϕn >
n=1
am an δmn
m=1 n=1
N
∑
|an |2
n=1
系 3.4.10 {ϕn }, n = 1, 2, · · · , が正規直交系で、数列 {an }, n = 1, 2, · · · , が
∑∞
らば、 n=1 an ϕn は L2 ([−π, π]) で収束する。
証明
∑∞
n=1
an ϕn の部分和を
SN = a1 ϕ1 + a2 ϕ2 + · · · + aN ϕN
とおく。このとき N > M ならば、
2
N
∑
∥SN − SM ∥22 = an ϕn =
n=M +1
N
∑
|an |2 → 0(M → ∞)
n=M +1
したがって、ある f ∈ L ([−π, π]) にたいして limN →∞ ∥SN − f ∥2 = 0.
2
∑∞
n=1
|an |2 < ∞ をみたすな
第3章
88
フーリエ級数
補題 3.4.11 {ϕn }, n = 1, 2, · · · , N が正規直交系ならば、任意の f ∈ L2 ([−π, π]) にたいして、an =<
f, ϕn > とおくとき、
2
N
N
∑
∑
0 ≤ f −
an ϕn = ∥f ∥2 −
|an |2
n=1
n=1
2
証明
2
N
∑
an ϕn f −
n=1
= <f−
2
N
∑
an ϕn , f −
n=1
N
∑
an ϕn >
n=1
= < f, f > − < f,
N
∑
an ϕn > − <
n=1
= ∥f ∥22 −
N
∑
N
∑
an ϕn , f > + <
n=1
< f, an ϕn > −
n=1
N
∑
N
∑
n=1
< an ϕn , f > +
n=1
N ∑
N
∑
an ϕn ,
N
∑
am ϕm >
m=1
< an ϕn , am ϕm >
n=1 m=1
ここで内積の定義により、
< f, an ϕn >= an < f, ϕn >= an an = |an |2
< an ϕn , f >= an < ϕn , f >= an < f, ϕn > = an an = |an |2
< an ϕn , am ϕm >= an am < ϕn , ϕm >= an am δnm
と計算して代入すると
∥f −
N
∑
an ϕn ∥22
= ∥f ∥22 − 2
n=1
N
∑
|an |2 +
n=1
= ∥f ∥22 −
n
∑
n
∑
|an |2
n=1
|an |2
n=1
系 3.4.12 ϕ1 , ϕ2 , · · · , が正規直交系ならば、任意の f ∈ L2 ([−π, π]) に対して、
∞
∑
| < f, ϕn > |2 ≤ ∥f ∥22
Bessel の不等式
n=1
定義 3.4.13 L2 ([−π, π]) の正規直交系 ϕ1 , ϕ2 , · · · , は、すべての ϕn に直交する f ∈ L2 ([−π, π]) が f = 0
だけであるとき、完全正規直交系であるという。
例 3.4.14 （１）ϕn (x) = einx , n = 0, ±1, ±2, · · · は完全正規直交系である。
3.4. フーリエ級数の収束
89
（２）1/2, cos(nx), sin nx, n = 1, 2, · · · , は完全正規直交系である、ただし内積は
∫
1 π
< f, g >=
f (x)g(x)dx
π −π
で定義する。
実際 < f, ϕn >= fˆ(n) = 0 ならば、定理 3.3.9 により f = 0 であるから、
（１）がなりたつ。また、
（２）
は（１）から明らかである。
定理 3.4.15 {ϕn }, n = 1, 2, · · · , が L2 ([−π, π]) の正規直交系であるとする。このとき、次の３条件は互い
に同値である
(i) {ϕn } が完全である。
(ii) すべての f ∈ L2 ([−π, π]) に対して
∥f ∥22 =
∞
∑
| < f, ϕn > |2
n=1
(iii) すべての f ∈ L2 ([−π, π]) に対して
N
∑
lim f −
< f, ϕn > ϕn = 0.
N →∞ n=1
2
証明 (ii) (iii) の同値性は補題 3.4.11 から明らかである。
(ii) ならば (i) ：(ii) が成り立つとき、すべての n に対して < f, ϕn >= 0 ならば、∥f ∥2 = 0 となり、し
たがって f = 0. ゆえに (i) がなりたつ。
∑∞
(i) ならば (iii)：f ∈ L2 ([−π, π]) とする。補題 3.4.12 より、 n=1 | < f, ϕn > |2 は収束する．したがっ
て系 3.4.10 により
gN :=
N
∑
< f, ϕn > ϕn
n=1
とおくと、{gN } は L2 ([−π, π]) においてある g に収束する：
lim ∥g − gN ∥2 = 0.
N →∞
k < N ならば、
< g, ϕk >=< g − gN , ϕk > + < gN , ϕk >
の右辺は次のようになる。
< gN , ϕk >=
N
∑
<< f, ϕn > ϕn , ϕk >=< f, ϕk >
n=1
であり、Chauchy-Schwarz の不等式により
|< g − gN , ϕk >| ≤ ∥g − gN ∥2 ∥ϕk ∥2 = ∥g − gN ∥2
第3章
90
フーリエ級数
したがって
|< g, ϕk > − < f, ϕk >| = |< g − gN , ϕk >| ≤ ∥g − gN ∥2 ∥ϕk ∥2 = ∥g − gN ∥2
であり、N → ∞ のときこの最後の項は零に収束する。ゆえに < g, ϕk >=< f, ϕk >, k = 1, 2, · · · , である。
したがって (i) を仮定すると、g − f = 0 がなりたち、g = f となり、(iii) が導かれた。
定理 3.4.16 (Parseval) {ϕn }, = 1, 2, · · · , が完全正規直交系ならば、f, g ∈ L2 ([−π, π]) に対して
< f, g >=
∞
∑
< f, ϕn >< ϕn , g >
n=1
証明
⟨
< f, g >= lim
N →∞
N
∑
⟩
< f, ϕn > ϕn , g
n=1
= lim
N
∑
N →∞
< f, ϕn >< ϕn , g >
n=1
{einx }, n = 0, ±1, ±2, · · · , は完全正規直行系であるから定理 3.4.15,3.4.16 により、次が成り立つ。
定理 3.4.17 (i) f, g ∈ L2 ([−π, π]) に対して
∞
∑
1
|fˆ(n)|2 =
2π
n=−∞
N
∑
lim ∥f −
N →∞
∫
π
−π
|f (x)|2 dx,
< f, g >=
∞
∑
fˆ(n)ĝ(n).
n=−∞
fˆ(n)ϕn ∥2 = 0.
n=−N
問 3.4.18 定理 3.4.15 の証明をまねて、次のことを証明せよ。
∑∞
2
2
ˆ
n=−∞ |an | < ∞ である任意の数列 {an } にたいして、f (n) = an であるような f ∈ L ([−π, π]) がた
だ一つ存在する。
定理 3.4.19 (i) f (x) が周期 2π の連続関数ならば、そのフーリエ級数は、ノルム ∥ · ∥2 について f (x) に
収束する。
(ii) f (x) が周期 2π の連続関数で、その導関数も連続ならば、f (x) のフーリエ級数は f (x) に一様収束
する。
証明 f (x) が連続ならば、∥f (x)∥2 も連続であるから、∥f (x)∥2 は [−π, π] で積分可能である。ゆえに (i)
は定理 3.4.17 から明らかである。
(ii) を証明する。部分積分により、
∫ π
1
f ′ (x)e−inx dx
fˆ′ (n) =
2π −π
(
)
∫ π
1
=
f (π)e−inπ − f (−π)einπ −
f (x)(−in)e−inx dx
2π
−π
= infˆ(n)
3.5. 一般の周期の場合のフーリエ級数
したがって n ̸= 0 のとき
|fˆ(n)| =
|fˆ′ (n)|
1
≤
|n|
2
91
(
)
1
|fˆ′ (n)|2 + 2
n
ここで、a ≥ 0, b ≥ 0 のとき ab ≤ (a2 + b2 )/2 であることを使った。f ′ は連続であるから、定理 3.4.17
∑ ˆ′
∑
∑∞
|fˆ(n)| < ∞
より
|f (n)|2 = ∥f ′ ∥2 < ∞ である。また
1/n2 < ∞ も既知である。したがって
2
n=−∞
である。ゆえに f (x) のフーリエ級数はある関数 g(x) に絶対収束する。したがってフーリエ級数は相加平
均法によっても g(x) に収束する。前節の結果により、相加平均法では f (x) に収束することがわかってい
るので、g(x) = f (x) である。
f (x) が不連続点を持つ場合については、次の結果が知られている。
定理 3.4.20 f (x) が [−π, π] で区分的に滑らかな関数であれば、そのフーリエ級数は、不連続点を含まな
い閉区間では f (x) に一様収束する。また不連続点 x0 ではフーリエ級数は
f (x0 − 0) + f (x0 + 0)
2
に収束する。
3.5
一般の周期の場合のフーリエ級数
関数 g(x) の周期が T > 0 の場合は、f (t) = g((T /2π)t) とおくと f (t) は周期 2π の関数になる。積分変
数の変換 t = (2π/T )x により、
∫ π
1
fˆ(n) =
f (t)e−int dt
2π −π
∫ T /2
1
2π
=
f ((2π/T )x)e−i(2π/T )nx dx
2π −T /2
T
∫ T /2
1
g(x)e−i(2π/T )nx dx
=
T −T /2
したがって
ω=
2π
T
とおいて g(x) のフーリエ係数を
∫
∫
1 T
1 T /2
g(x)e−inωx dx =
g(x)e−inωx dx
ĝ(n) :=
T −T /2
T 0
n = 0, ±1, ±2, · · ·
と定義し、g(x) のフーリエ級数を次のように表す：
(
)
∞
∞
∑
∑
2π
ĝ(n)einωx .
fˆ(n)ei(2π/T )nx =
g(x) = f
x ∼
T
n=−∞
n=−∞
ただし、式 (3.8) において次の補題を用いた。
(3.8)
第3章
92
フーリエ級数
補題 3.5.1 h(x) が周期 T > 0 の周期関数とする。このとき b − a = T ならば
∫
∫
T
b
h(s)ds =
h(x)dx.
0
a
証明 b − a = T ならば、a ≤ kT < b である整数 k がただ一つある。このとき
(∫
∫
∫ )
b
kT
h(x)dx =
b
+
a
a
h(x)dx.
kT
h(x) = h(x + T ) であるから x + T = y とおくと
∫
∫
kT
∫
kT
h(x)dx =
a
a
a+T
∫
(k+1)T
h(y)dy
b
T
h(x)dx =
kT
(k+1)T
h(y)dy =
a
したがって
∫ b
∫
h(x)dx =
∫
(k+1)T
h(x + T )dx =
h(s)ds
(x = s + kT )
0
g(x) が区間 I := [a, b), −∞ < a < b < ∞, で定義された関数とする。このとき、I の外側に g(x) を周期
関数として延長することができる。すなわち、T = b − a とおき、n = ±1, ±2, · · · , に対して
g(x + nT ) = g(x), x ∈ [a, b)
と定義する。このとき g(x) は周期 T の関数であるから、
1
ĝ(n) =
T
∫
T
g(x)e
−inωx
0
1
dx =
b−a
∫
b
g(x)e−inωx dx.
a
と表すこともできる。
また三角関数でフーリエ係数を表した場合は L = T /2 = (b − a)/2 とおくと
(
)
(
)]
∞ [
a0 ∑
2nπ
2nπ
g(x) ∼
+
an cos
x + bn sin
x
2
T
T
=
n=1
∞ [
∑
( nπ )
( nπ )]
a0
+
x + bn sin
x
an cos
2
L
L
n=1
となり、係数は
(
)
∫
∫ b
( nπ )
2
2nπ
1 L
g(s) cos
s ds =
g(s) cos
s ds
an =
L −L
L
b−a a
b−a
bn =
である。
1
L
∫
L
g(s) sin
−L
(
)
∫ b
( nπ )
2
2nπ
s ds =
g(s) sin
s ds
L
b−a a
b−a
3.6. フーリエ変換
93
フーリエ変換
3.6
|f (x)| が (−∞, ∞) で積分可能とする。
：
∫ ∞
1
∥f ∥1 := √
|f (x)|dx < ∞
2π −∞
このような関数の集合を L1 (R) で表す。このとき、T > 0 に対して、fT (x) を、fT (x) = x, −T /2 ≤ x < T /2,
とし、fT (x) はしかも周期 T であるように定義する。ω = 2π/T とおくと前節より、
1
fˆT (n) =
T
∫
T /2
f (t)e−inωt dt
−T /2
であるから、ξn := nω, n = 0, ±1, ±2, · · · , とおくと、
∫
∞
∑
1 T /2
f (t)e−inωt dt
fT (x) ∼
einωx
T
−T /2
n=−∞
(
)
∫ T /2
∞
∑
1
1
2π
−iξn t
iξn x
√
= √
f (t)e
dt
e
T
2π n=−∞
2π −T /2
ゆえに
1
ff
T (ξ) = √
2π
∫
T /2
f (t)e−iξt dt
−T /2
とおくと、
∞
∑
1
fT (x) ∼ √
eiξn x ff
T (ξn )ω
2π n=−∞
と書きかえられる．T → ∞ のとき
∫ ∞
1
f
fT (ξ) → √
f (t)e−iξt dt =: fˆ(ξ)
2π −∞
であるから、
(
f (x) ∼ lim
T →∞
∞
∑
1
√
eiξn x fˆ(ξn )ω
2π n=−∞
)
点列 ξn は −∞ から ∞ まで、間隔 ω = 2π/T で等間隔にならんだ点列であるから
∞
∞
∑
∑
1
1
√
eiξn x fˆ(ξn )ω = √
eiξn x fˆ(ξn )(ξn − ξn−1 )
2π n=−∞
2π n=−∞
とかきかえられる。したがって
(
)
∫ ∞
∞
∑
1
1
iξn x ˆ
e
f (ξn )ω = √
eiξx fˆ(ξ)dξ
f (x) ∼ lim √
T →∞
2π n=−∞
2π −∞
第3章
94
フーリエ級数
以上がフーリエ変換の形式的説明である。途中で厳密でない個所もある。あらためて
∫ ∞
∫ ∞
1
1
−iξx
ˆ
f (x)e
dx ğ(x) = √
g(ξ)eiξx dξ
f (ξ) = √
2π −∞
2π −∞
とおき、fˆ(ξ) を f (x) のフーリエ変換、ğ(x) を g(ξ) のフーリエ逆変換という。f, g ∈ L1 (R) ならばすべて
の実数 ξ, x に対して、定義される関数である。f ∈ L1 (R) ならば、
f˘(ξ) = fˆ(−ξ)
√
は明らかである．係数 1/ 2π が積分の前についているが、便宜的な量である。たとえば、
∫ ∞
∫ ∞
1
fˆ(ξ) =
f (x)e−iξx dx ğ(x) =
g(ξ)eiξx dξ
2π −∞
−∞
と定義する方法もある。
また
1
fˆT (n) =
T
∫
T /2
f (t)e−in(2π/T )t dt
−T /2
から出発して、点列 {ξn } を、ξn = 1/T と取り直して議論を進めることも可能である。この場合は
∫ ∞
∫ ∞
−2πiξx
ˆ
f (ξ) =
f (x)e
dx ğ(x) =
g(ξ)e2πiξx dξ
−∞
−∞
と定義することになる。いずれも一長一短がある。ここでは最初の定義で考える。
基本的な問題は
1
f (x) = √
2π
∫
∞
1
fˆ(ξ)eiξx dξ =
2π
−∞
∫
∞
−∞
(∫
∞
)
f (t)e−iξt dt eiξx dξ
(3.9)
−∞
が成り立つかということである。これを反転公式という。一つ一つの ξ に対して、eiξx は x の変化につれ
て複素平面の単位円を角速度 ξ で回転する。あるいは
eiξx = cos ξx + i sin ξx
であるから、その実部、虚部は x 軸の周りでの振動を表している。fˆ(ξ) はこの振動の振幅である。式 (3.9)
は、関数 f (x) をこのような振動成分の無限個の重ね合わせであらわしていることになる。
まず基本的な公式をあげる。
定理 3.6.1 f, g ∈ L1 (R) とする。このとき
(i) f[
+ g(ξ) = fˆ(ξ) + ĝ(ξ)
c (ξ) = αfb(ξ)
(ii) αf
α 定数
(iii) f (x) = f (x) （共役複素数）とすると
fb¯(ξ) = fˆ(−ξ)
3.6. フーリエ変換
95
(iv) fy (x) = f (x − y), y ∈ R, と定義すると
fby (ξ) = fˆ(ξ)e−iξy
(v)
1
|fˆ(ξ)| ≤ ∥f ∥1 = √
2π
∫
∞
−∞
|f (x)dx
(vi) λ > 0 にたいして ϕ(x) = λf (λx) と定義すると
( )
ξ
ˆ
ϕ̂(ξ) = f
λ
次の定理の証明には Funibi の定理といわれる 2 重積分の積分の順序交換に関する定理が必要である。
定理 3.6.2 R2 における次の 3 種類の積分のどれか一つが有限値とする：関数 f (x, y) が R2 で（その絶対
値が）重積分可能とする：
∫ ∞∫ ∞
∫
|f (x, y)|dxdy,
−∞ −∞
∞ (∫ ∞
−∞
−∞
)
∫
|f (x, y)|dx dy,
∞ (∫ ∞
−∞
−∞
)
|f (x, y)|dy dx
（第一の積分は 2 次元空間における積分、残りの二つは 1 次限積分の繰り返し）。このときこの 3 種類の積
分は同じ値でしかも絶対値をとっても同じ値になる：
)
∫ ∞∫ ∞
∫ ∞ (∫ ∞
∫
f (x, y)dxdy =
f (x, y)dx dy =
−∞ −∞
−∞
−∞
∞ (∫ ∞
−∞
)
f (x, y)dy dx
−∞
関数 f, g に対して
∫ ∞
1
f (x − y)g(y)dy
h(x) = √
2π −∞
がすべての x において存在するならば、その結果できる関数 h(x) を f (x), g(x) の合成積といって次のよう
に表す：
h=f ∗g
定理 3.6.3 f, g ∈ L1 (R) ならば、h = f ∗ g が存在して h ∈ L1 (R) となり、
∥h∥1 ≤ ∥f ∥1 ∥g∥1
であり、さらに
ĥ(ξ) = fˆ(ξ)ĝ(ξ)
第3章
96
証明 まず h ∈ L1 (R) をしめす。
)
∫ ∞ (∫ ∞
|f (x − y)g(y)|dy dx
−∞
)
|f (x − y)|dx |g(y)|dy
−∞
−∞
∫ ∞∫ ∞
∫ ∞
|f (x)|dx
|g(y)|dy
∫
=
−∞
=
∞
−∞
ここで各 y に対して
∫ ∞
∫
|f (x − y)|dx =
−∞
∞
−∞
(∫
∞
−∞
−∞
|f (x)|dx
であることを用いた。ゆえに h ∈ L1 (R) で、∥h∥1 ≤ ∥f ∥1 ∥g∥1 .
同様にして
(∫ ∞
)
∫ ∞
1
−iξx 1
√
ĥ(ξ) = √
e
f (x − y)g(y)dy dx
2π −∞
2π
−∞
(
)2 ∫ ∞ ∫ ∞
1
√
=
f (x − y)e−iξ(x−y) g(y)e−iξy dydx
2π
−∞ −∞
= fˆ(ξ)ĝ(ξ)
定理 3.6.4 f, h ∈ L1 (R) であり、ある H ∈ L1 (R) により
∫ ∞
1
h(x) = √
H(ξ)eiξx dξ
2π −∞
とあらわされるならば、
∫ ∞
1
(h ∗ f )(x) = √
H(ξ)fˆ(ξ)eiξx dx
2π −∞
証明実際
(h ∗ f )(x)
=
=
=
=
∫ ∞
1
√
h(x − y)f (y)dy
2π −∞
)
∫ ∞(
∫ ∞
1
1
iξ(x−y)
√
√
H(ξ)e
dξ f (y)dy
2π −∞
2π −∞
(
)
∫ ∞
∫ ∞
1
1
iξx
−iξy
√
√
H(ξ)e
f (y)e
dy dξ
2π −∞
2π −∞
∫ ∞
1
√
H(ξ)eiξx fˆ(ξ)dξ
2π −∞
定理 3.6.5 f ∈ L1 (R) とし、
∫ x
F (x) =
f (y)dy
−∞
と定義する．もし F ∈ L1 (R) ならば、
F̂ (ξ) =
1 ˆ
f (ξ)
iξ
(ξ ̸= 0)
フーリエ級数
3.6. フーリエ変換
97
証明まず F (x) の積分による定義から、limx→−∞ F (x) = 0. 次に条件 F ∈ L1 (R) より、limx→∞ F (x) = 0
が導き出される。実際 f ∈ L1 (R) であるから、
∫ ∞
lim F (x) = A :=
f (y)dy
x→∞
−∞
が存在する。もし A ̸= 0 ならば、ϵ := |A|/2 > 0 に対してつぎのような r > 0 が存在する：
x > r ⇒ |F (x) − A| < |A|/2
||F (x)| − |A|| ≤ |F (x) − A| であるから、
x > r ⇒ ||F (x)| − |A|| < |A|/2 ⇒ −|A|/2 ≤ ||F (x)| − |A|| ≤ |A|/2
とくに x > r ⇒ |F (x)| ≥ |A|/2. したがって
∫ ∞
∫ ∞
|F (x)|dx ≥
|A|/2dx = ∞
r
r
となり、F ∈ L (R) に反する。
1
したがって部分積分により ξ ̸= 0 のとき
∫ ∞
1
F̂ (ξ) = √
F (x)e−iξx dx
2π −∞
[
( −iξx )
]x=∞
∫ ∞
e−iξx
e
1
1
F (x)
F ′ (x)
−√
dx
= √
−iξ x=−∞
−iξ
2π
2π −∞
∫ ∞
1 1
√
=
f (x)e−iξx dx
iξ 2π −∞
1 ˆ
f (ξ)
=
iξ
系 3.6.6 F, F ′ ∈ L1 (R) ならば
Fˆ′ (ξ) = iξ F̂ (ξ)
証明
∫
x
G(x) =
F ′ (y)dy
−∞
′
とおくと、G (x) = F ′ (x) であるから、F (x) = G(x) + C となる定数 C がある。
lim G(x) = 0
x→−∞
であるから、limx→−∞ F (x) = C. ところで F ∈ L1 (R) であるから、前の定理の証明と同様にして
limx→−∞ F (x) = 0 である。したがって C = 0 となり、
∫ x
F (x) =
F ′ (y)dy
−∞
第3章
98
フーリエ級数
ゆえに ξ ̸= 0 のときは前の定理を適用して結論をえる。
ξ = 0 のとき
1
Fˆ′ (ξ) = √
2π
∫
∞
−∞
F ′ (y)dy = F (∞) − F (−∞) := lim F (x) − lim F (x)
x→∞
x→−∞
となるが、F ∈ L1 (R) より、この極限値はいずれも 0 である。したがって ξ = 0 のときも定理はなりたつ。
フーリエ級数の場合と同様に Riemann-Lebesque 次の定理がなりたつ。
それを証明するために、Lebesgue 積分の理論でよく知られている次の定理を使う．
定理 3.6.7 f ∈ L1 (R) ならば、
∫ ∞
lim
|f (x + y) − f (x)|dx = 0
y→0
−∞
定理 3.6.8 (Riemann-Lebesgue) f ∈ L1 (R) ならば、f (ξ) は R 全体で一様連続な関数で
lim fˆ(ξ) = 0
|ξ|→∞
証明 f ∈ L1 (R) とする。このとき
∫ ∞
1
−i(ξ+η)x
−iξx
ˆ
ˆ
|f (ξ + η) − f (ξ)| = √
(f (x)e
−e
)dx
2π −∞
∫ ∞
1
|f (x)e−iξx ||e−iηx − 1|dx
≤ √
2π −∞
∫ ∞
1
= √
|f (x)||e−iηx − 1|dx
2π −∞
f ∈ L1 (R) であるから、任意の ϵ > 0 に対して、次のような R > 0 が存在する：
∫
1
√
|f (x)|dx < ϵ
2π |x|>R
|e−iηx − 1| ≤ 2 であるから、
∫
∫
1
2
−iηx
√
|f (x)||e
− 1|dx ≤ √
|f (x)|dx < 2ϵ
2π |x|>R
2π |x|>R
他方、e−iηx は |η| ≤ 1, |x| ≤ R で一様連続であるから、次のような δ > 0 が存在する：
|η| < δ, |x| ≤ R ⇒ |e−iηx − 1| ≤ ϵ
したがって |η| < δ ならば
∫
1
√
|f (x)||e−iηx − 1|dx
2π |x|≤R
∫
1
≤ ϵ√
|f (x)|dx
2π |x|≤R
∫ ∞
1
≤ ϵ√
|f (x)|dx = ϵ∥f ∥1
2π −∞
3.7. フーリエ変換の総和定理
99
結局 |η| < δ ならば
1
|fˆ(ξ + η) − fˆ(ξ)| ≤ √
2π
(∫
∫
)
+
|x|≤R
|x|>R
|f (x)||e−iηx − 1|dx ≤ ϵ(∥f ∥1 + 2)
したがって、fˆ(ξ) は一様連続である。
次に −1 = eiπ = eiξ(π/ξ) , ξ ̸= 0, と変形できるから、
∫ ∞
1
−fˆ(ξ) = √
(−f (x))e−iξx dx
2π −∞
∫ ∞
1
f (x)e−iξ(x−π/ξ) dx
= √
2π −∞
∫ ∞
1
f (y + π/ξ)e−iξy dy
= √
2π −∞
と変形できる。したがって
∫ ∞
∫ ∞
1
1
f (x + π/ξ)e−iξx dx − √
f (x)e−iξx dx
2|fˆ(ξ)| = √
2π −∞
2π −∞
∫ ∞
1
|f (x + π/ξ) − f (x)|dx
≤ √
2π −∞
したがって定理 3.6.7 より lim|ξ|→∞ |fˆ(ξ)| = 0.
極限条件 lim|ξ|→∞ g(ξ) = 0 をみたす連続関数 g(ξ), −∞ < ξ < ∞, の全体は普通 C0 (R) と表される。
g ∈ C0 (R) でも g ∈ L1 (R) とはかぎらない。
問 3.6.9 g(ξ) = 1/(1 + |ξ|), −∞ < ξ < ∞, とおくと、g ∈ C0 (R), g ̸∈ L1 (R) を示せ。
3.7
フーリエ変換の総和定理
さて L1 (R) の関数のフーリエ変換はフーリエ級数の場合のような総和定理がなりたつ。
パラメタ λ をもつ関数の族 kλ (x) が次の条件をみたすとき総和核であるという。
(i)
1
√
2π
∫
∞
−∞
kλ (x) = 1
(ii) ∥kλ ∥ < M である定数 M がある。
(iii) 任意の δ > 0 に対して
∫
lim
|kλ (x)|dx = 0
λ→∞
|x|>δ
このとき次の定理がなりたつ。
第3章
100
フーリエ級数
定理 3.7.1
lim ∥f − kλ ∗ f ∥1 = 0
λ→∞
証明総和核の条件 (i) より
∫ ∞
1
f (x)kλ (y)dy
f (x) = √
2π −∞
したがって、δ > 0 に対して
∫ ∞
1
I := √
|f (x) − kλ ∗ f (x)|dx
2π −∞
∫
∫ ∞
1
1 ∞
√ (f (x) − f (x − y))kλ (y)dy dx
= √
2π −∞ 2π −∞
)
∫ ∞ (∫
∫
1
≤
+
|(f (x) − f (x − y))||kλ (y)|dydx
2π −∞
|y|≤δ
|y|>δ
と分割される。積分の順序を交換すると
∫ ∞∫
1
I1 :=
|f (x) − f (x − y)||kλ (y)|dydx
2π −∞ |y|≤δ
(
)
∫
∫ ∞
1
1
√
= √
|f (x) − f (x − y)|dx |kλ (y)|dy
2π |y|≤δ
2π −∞
定理 3.6.7 により、任意の ϵ > 0 にたいして、つぎのような δ > 0 が存在する：|y| ≤ δ ならば
∫ ∞
1
√
|f (x) − f (x − y)|dx < ϵ
2π −∞
したがって
1
I1 ≤ ϵ √
2π
∫
1
|kλ (y)|dy ≤ ϵ √
2π
|y|≤δ
∫
∞
−∞
|kλ (y)|dy = ϵ
つぎに |f (x) − f (x − y)| ≤ |f (x)| + |f (x − y)| であるから、
∫ ∞∫
1
|(f (x) − f (x − y))||kλ (y)|dydx
I2 :=
2π −∞ |y|>δ
∫
∫ ∞
1
1
√
|(f (x) − f (x − y))|dx|kλ (y)|dy
= √
2π |y|>δ 2π −∞
∫
∫ ∞
1
1
√
≤ √
(|f (x)| + |f (x − y)|)dx|kλ (y)|dy
2π |y|>δ 2π −∞
∫
1
= √
(∥f ∥1 + ∥f ∥1 )|kλ (y)|dy
2π |y|>δ
∫
1
= 2∥f ∥1 √
|kλ (y)|dy
2π |y|>δ
3.7. フーリエ変換の総和定理
101
総和核の条件 (iii) より、ϵ > 0 に対して、次のような λ0 が存在する。
∫
1
λ > λ0 ⇒ √
|kλ (y)|dy < ϵ
2π |y|>δ
したがって
λ > λ0 ⇒ I ≤ I1 + I2 ≤ ϵ + 2∥f ∥1 ϵ = (1 + 2∥f ∥1 )ϵ
以上により定理が証明された。
たとえば、関数
{
1 − |ξ|
∆(ξ) =
0
(|ξ| ≤ 1)
(|ξ| > 1)
のフーリエ逆変換を K(x) とおく。
∫
1
K(x) = √
2π
∞
1
∆(ξ)eiξx dξ = √
2π
−∞
∫
1
−1
(1 − |ξ|)eiξx dξ
具体的に計算してみる。
∫ 1
eix − e−ix
2 sin x
eiξx dξ =
=
ix
x
−1
∫
∫
1
−1
|ξ|eiξx dξ
∫
1
ξeiξx dξ +
=
0
∫
1
1
(−ξ)eiξx dξ =
0
ξ(eiξx + e−iξ )dξ
0
∫ 1
2 sin ξx
2 sin x
−
dξ
2ξ cos(ξx)dξ =
x
x
0
0
2 sin x 2 cos x − 1
2 sin x 4 sin2 (x/2)
+
=
−
x
x2
x
x2
∫
=
=
1
であるから
∫
1
(1 − |ξ|)e
iξx
−1
2 sin x
dξ =
−
x
(
2 sin x 4 sin2 (x/2)
−
x
x2
)
(
=
したがって
1
K(x) = √
2π
∫
1
1
(1 − |ξ|)eiξx dξ = √
2π
−1
(
sin(x/2)
x/2
)2
となる。Kλ (x) = λK(λx) とおき、Fejer 核という。すなわち
1
Kλ (x) = √
2π
∫
λ
−λ
(
|ξ|
1−
λ
)
1 sin2 (λx/2)
eiξx dξ = √
2π λ(x/2)2
sin(x/2)
x/2
)2
第3章
102
フーリエ級数
定理 3.7.2 Kλ (x) は総和核の条件をみたす。
証明 (iii) は容易にわかる。すなわち
1 22
0 ≤ Kλ (x) ≤ √
2πλ x2
であるから、
∫
0<
1
Kλ (x)dx ≤ √
2πλ
|x|>δ
∫
|x|>δ
4
1 8
dx = √
2
x
2πλ δ
したがって (iii) がなりたつ。つぎに
∫ ∞
∫ ∞
∫ ∞
1
1
1
√
Kλ (x)dx = √
λK(λx)dx = √
K(x)dx
2π −∞
2π −∞
2π −∞
(
)2
∫ ∞
1
1
sin(x/2)
√
= √
dx
x/2
2π −∞ 2π
)2
(
)2
∫ ∞(
∫
1
sin(x/2)
1 ∞ sin x
=
dx =
dx
2π −∞
x/2
π −∞
x
)2
∫ (
2 ∞ sin x
dx
=
π 0
x
したがって捕題 2.11.1 により、(i),(ii) はなりたつ。
したがって定理 3.7.1 から、f ∈ L1 (R) のとき
lim ∥f − Kλ ∗ f ∥ = 0
λ→∞
ところで定理 3.6.4 から
1
Kλ ∗ f (x) = √
2π
∫
∞
∆
−∞
( )
)
∫ λ(
ξ
1
|ξ| ˆ
eiξx dξ = √
1−
f (ξ)eiξx dξ
λ
λ
2π −λ
であるから、結局つぎのようになる。
定理 3.7.3 f ∈ L1 (R) ならば
)
∫ ∞ ∫ λ(
|ξ| ˆ
1
iξx
1−
f (ξ)e dξ dx = 0.
lim
f (x) − √
λ→∞ −∞ λ
2π −λ
定理 3.7.4 f, g ∈ L1 (R) で fˆ = ĝ ならば、∥f − g∥1 = 0. とくに、f, g が連続ならば、f (x) = g(x), x ∈ R.
fˆ(ξ) が L1 (R) の関数ならば、さらによい結果がえられる。
3.7. フーリエ変換の総和定理
103
定理 3.7.5 f ∈ L1 (R) で、さらに fˆ ∈ L1 (R) ならば、
∫ ∞
∫ ∞
iξx
ˆ
f (x) − √1
f (ξ)e dξ dx = 0
2π −∞
−∞
とくに f (x) が連続な点では
∫ ∞
1
f (x) = √
fˆ(ξ)eiξx dξ
2π −∞
証明
)
∫ ∞
1 ∫ λ(
1
|ξ| ˆ
iξx
iξx
ˆ
f (ξ)e dξ − √
f (ξ)e dξ 1−
√
2π −λ
λ
2π −∞
∫ ((
∫
)
)
1 λ
1
|ξ|
iξx
ixξ
≤ √ fˆ(ξ)e dξ 1−
− 1 fˆ(ξ)e dξ + √ λ
2π −λ
2π |ξ|≥λ
∫ λ
∫
1
|ξ| ˆ
1
≤ √
|f (ξ)|dξ + √
|fˆ(ξ)|dξ
2π −λ λ
2π |ξ|≥λ
fˆ ∈ L1 (R) ならば、最後の積分は λ → ∞ のとき 0 に収束する。その前の積分を考えるために

 |ξ| ˆ
|f (ξ)| |ξ| ≤ λ
gλ (ξ) =
λ
 0
|ξ| > λ
とおくと、
1
√
2π
∫
λ
−λ
|ξ| ˆ
1
|f (ξ)|dξ = √
λ
2π
∫
∞
−∞
gλ (ξ)dξ
と表される。ところで各点 ξ ∈ R において、
0 ≤ gλ (ξ) ≤ |fˆ(ξ)|,
lim gλ (ξ) = 0.
λ→∞
したがって
1
lim √
λ→∞
2π
∫
∞
−∞
gλ (ξ)dξ = 0.
以上により、
1
lim √
λ→∞
2π
∫
λ
−λ
(
1−
|ξ|
λ
)
1
fˆ(ξ)eiξx dξ = √
2π
であり、収束は x ∈ R について一様である。
)
∫ λ(
1
|ξ| ˆ
√
1−
f (ξ)eiξx dξ = Kλ ∗ f (x)
λ
2π −λ
∫
∞
−∞
fˆ(ξ)eiξx dξ
第3章
104
フーリエ級数
で、Kλ , f ∈ L1 (R) であるから、Kλ ∗ f ∈ L1 (R), ∥Kλ ∗ f ∥1 ≤ ∥Kλ ∥1 ∥f ∥1 = ∥f ∥1 . ゆえに定理 3.7.3 と合
わせて
)
∫ λ(
1
|ξ| ˆ
iξx
0 = lim
1−
f (ξ)e dξ dx
f (x) − √
λ→∞ −∞ λ
2π −λ
)
∫ ∞ ∫ λ(
1
|ξ| ˆ
f (ξ)eiξx dξ dx
=
1−
f (x) − lim √
λ→∞
λ
2π −λ
−∞
∫ ∞
∫ ∞
f (x) − √1
=
fˆ(ξ)eiξx dξ dx.
2π −∞
−∞
1
ˆ
f ∈ L (R) ならば、f ∈ C0 (R) であり、したがって一様連続である。f ∈ L1 (R) に対して f˘(ξ) = fˆ(−ξ)
であるから、f˘ ∈ C0 (R) であり、したがって一様連続である。上の定理から、f ∈ L1 (R), fˆ ∈ L1 (R) なら
∫
∞
ば、f は C0 (R) の関数と同一のものと思ってよいことになる。
とくに
(
)2
λ
sin(λx/2)
1 sin 2 (λx/2)
Kλ (x) = λK(λx) = √
=√
λx/2
2π
2π λ(x/2)2
)
∫ λ(
|ξ| ixξ
1
1−
= √
e dξ
λ
2π −λ
であるから、
cλ (ξ)
K
∫
∞
1 sin2 (λx/2) −iξx
1
√
=
e
dx =
2
π
2π λ(x/2)
−∞
(
)
|ξ|
= max 1 −
,0
λ
1
√
2π
∫
∞
−∞
sin2 (λt) −2iξt
e
dt
λt2
つまり、f (ξ) = max{1 − |ξ|/λ, 0} のフーリエ逆変換 Kλ (x) も L1 (R) の関数であるから、もう一度フーリ
エ変換すると、もとに戻るのである．
また
\
K
λ ∗ f (ξ) =
{ (
1−
|ξ|
λ
)
fˆ(ξ)
0
|ξ| ≤ λ
|ξ| > λ
となり、この関数はコンパクト台の関数である。limλ→∞ ∥f − Kλ ∗ f ∥1 = 0 であったから、次の定理がな
りたつ。
定理 3.7.6 L1 (R) の任意の関数は、フーリエ変換がコンパクト台を持つ関数でいくらでも近似される。
De la Valee Poussin 核は
Vλ (x) = 2K2λ (x) − Kλ (x)
で定義される。明らかに総和核の 3 条件をみたす。そのフーリエ変換は


|ξ| ≤ λ
 1,
|ξ|
cλ (ξ) = 2K
d
c
V
(ξ)
−
K
(ξ)
=
2
−
,
λ
≤ |ξ| ≤ 2λ
2λ
λ
λ


0,
2λ ≤ |ξ|.
3.7. フーリエ変換の総和定理
105
Poisson 核は
√
Pλ (x) = λP (λx),
P (x) =
2 1
π 1 + x2
で定義される。明らかに総和核の 3 条件をみたす。そのフーリエ変換は
∫
∫ ∞√
1
2 1
1 ∞
1
−iξx
e
e−iξx dx = e−|ξ| .
P̂ (ξ) = √
dx
=
π −∞ 1 + x2
2π −∞ π 1 + x2
実際 ξ ≥ 0 の場合は、次のような積分路 C1 , C2 を考える：
C1 : z = x, −r ≤ x ≤ x,
C2 : z = reiθ , −π ≤ θ ≤ 0
但し r > 1. このときコーシーの積分定理により
∫
1
1
e−iξ(−i)
1
e−iξz dz =
= − e−ξ
2
2πi C2 −C1 1 + z
−i − i
2i
ところで −π ≤ θ ≤ 0 のとき
| exp(−iξreiθ )| = | exp(−iξri sin(θ)| = | exp(ξr sin(θ)| ≤ 1.
また |w| ≤ 1/2 ならば |w + 1| ≥ 1/2 であるから、|z 2 | ≥ 2 ↔ 1/|z 2 | ≤ 1/2 ならば、
1 2
1
1 + z 2 = |z 2 ||1/z 2 + 1| ≤ |z|2
√
ゆえに r ≥ 2 ならば
∫
∫ 0
1
1
2
1
−iξz
≤ 1
e
dz
rdθ = → 0(r → ∞)
2πi
2π
2
2
1
+
z
r
r
C2
−π
したがって
1
r→∞ 2πi
∫
lim
−C1
1
1
e−iξz dz = − e−ξ
2
1+z
2i
であるから、
∫
1
1 ∞
e−iξx dx = e−|ξ| .
π −∞ 1 + x2
ξ ≥ 0 の場合は C2 として z = reiθ , 0 ≤ θ ≤ π をとり、同様に計算できる。
Gauss 核は
√
2
Gλ (x) = λG(λx) G(x) = 2e−x
で定義される。明らかに総和核の 3 条件をみたす。そのフーリエ変換は
∫ ∞√
2
2
1
Ĝ(ξ) = √
2e−x e−iξx dx = e−ξ /4 .
2π −∞
第3章
106
実際、まず
e−x e−iξx = e−(x
2
2
+iξx)
= e−ξ
2
/4 −(x+iξ/2)2
e
として変形すると
1
√
2π
∫
∫
2
√ −x2 −iξx
e−ξ /4 ∞ −(x+iξ/2)2
e
dx
2e
e
dx = √
π
−∞
−∞
∞
次のような積分路
C1 : z = x, −a ≤ x ≤ a, C2 : z = a + iy, 0 ≤ y ≤ ξ/2,
C2 : z = x + iξ/2, −a ≤ x ≤ a, C4 : z = −a + iy, 0 ≤ y ≤ ξ/2,
をとると
∫
e−z dz = 0
2
C1 +C2 −C3 −C4
ところで
|e−(a+iy) | = e−a
2
2
+y 2
≤ e−a
2
+ξ 2 /4
,
0 ≤ y ≤ ξ/2,
であるから、
∫
2
lim
e−z dz = 0.
a→∞
同様に
C2
∫
e−z dz = 0.
2
lim
a→∞
C4
したがって
∫ ∞
∫
2
e−(x+iξ/2) dx = lim
−∞
a→∞
C3
e−z dz = lim
2
a→∞
∫
e−z dz =
2
∫
−∞
C1
（最後の積分はよく知られた積分である）。以上により Ĝ(ξ) = e−ξ
∞
2
/4
.
e−x dx =
2
√
π
フーリエ級数
107
関連図書
[1] アールフォールス（笠原乾吉訳）「複素解析」、現代数学社
[2] 猪狩惺、「実解析入門」、岩波書店
[3] 猪狩惺、「フーリエ級数、岩波全書
[4] 高木貞治、「解析概論」、岩波書店
[5] 林 一道、「初等関数論」、裳華房
[6] 三宅敏恒、「入門微分積分」、倍風館

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