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力学1
木曜日3･4限
2回目
概要


担当教員：武若聡、松田昭博
オフィスアワー：随時
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できればメールで連絡してください
[email protected]
[email protected]
成績：期末75%，演習25%（60%以上）
関連科目：解析学，力学Ⅱ，数学序論，線形代数
一般座標（p.10）

直交する座標での位置（x,y,z）が他の変数（q1,q2,q3）の
関数として、




x=x（q1,q2,q3）
y=y（q1,q2,q3）
z=z（q1,q2,q3）
と書けて、（x,y,z）と（q1,q2,q3）に一対一の関係があると
き、（q1,q2,q3）を一般座標、もしくは、一般化された座標
という。
自由度：運動を決めるのに必要な独立変数の数
一般座標（p.10）

極座標（2次元）




平面上の1点Pの位置を距離rと角度θで表す。
x=ｘ(ｒ, θ)=r cosθ
y=y(ｒ, θ)=r sinθ
xとyはrとθによってただ一つ（一義的に）もとまる
y
 y
r  x  y ,  tan  
x
2
2
1
r

自由度2の一般座標といえる。
θ
O
x
一般座標（p.10）

極座標（xy平面上の円運動）の速度を計算する


x=ｘ(ｒ, θ)=r cosθ
y=y(ｒ, θ)=r sinθ
v x  x  r cos   r sin  
v  y  r sin   r cos  
y
y

df
ここで、f  (ニュートンの記号)
dt
等速円運動の場合、
r  A, r  0,  t,  
vx   A sin t ,v y  Acos t 
A
θ
O
x
一般座標（p.10）

2次元の極座標での加速度を計算する
v x  x  r cos   r sin  
v  y  r sin   r cos  
y

速度を時間で微分して加速度を求める。
a x  v x  r cos   rsin    rsin    r cos    r sin  
 r cos   2rsin    r cos   2  r sin  
a y  v y
 rsin   2rcos    r sin   2  r cos  
3次元の極座標：球座標(p.11)

z
3次元の極座標は以下のとおり。
P
x  r sin  cos 
θ
r
y  r sin  sin 
z  r cos 


r, ,   を球座標という。
y
x

座標を時間で微分すると速度ベクトルが求まる。
v x  r sin  cos   r cos  cos    r sin  sin  
v  r sin  sin   r cos  sin    r sin  cos  
y
v z  r cos   r sin  
3次元の極座標：円筒座標(p.11)

3次元の円筒座標は以下のとおり。
x   cos 
y   sin 
zz

座標を時間で微分すると速度ベクトルが求まる。
v x  x   cos    sin  
v x  y   sin    cos  
z
P
v z  z

らせん運動は、   a,   t, z  vt
z
x

ρ
y
2次元の極座標の応用：カム機構

カムの回転軸からカム棒へ接触する点までの距離をｒ
とすると、カム棒のy方向の速度ｖは r となる。

カムがθ＝ωｔで回転し、
カム棒の速度が一定の場合
y
dr d dr

dt dt d
dr v

d 
v

角度θで積分して
v
v2   
r    C, r 
 C（ABに対して対称）


A
θ
x
O
B
2. 質点の力学(p.16)

力：物体の運動を引き起こす原因になるもの、ベクトルで表
すことができる。

力の合力（F＝F1＋F2）

二つの力が同時に働くとき、物体にはその合力Fが働く
F1
F1＋F2
P
F2
質点の力学における運動の法則

第1法則（慣性の法則）


第2法則



力を受けない質点は、静止したままか、等速直線運動をする。
質量mの質点に力Fが作用すると、力の方向に加速度aを生じる。
加速度の大きさはFに比例し、mに逆比例する。
第3法則（作用・反作用の法則）

一つの質点Aが他の質点Bに力Fを及ぼすとき、質点Aには質点B
から-Fの力が働く。
慣性座標系、慣性系

慣性座標系、慣性系：第一法則が成立する座標系
地球表面では、地球の自転および公転による加速度を受ける。そのた
め、慣性系とは置けないが、地球表面上の狭い範囲での運動を取
り扱う場合、地表面に固定した座標系を近似的に慣性系であると
みなす。

運動方程式（第2法則から）
ma  mr  F
ma x  Fx , ma y  Fy , ma z  Fz
mx  Fx , my  Fy , mz  Fz


この微分方程式を解くことでx,y,zがtの関数として決まる。
ある時刻における位置rと速度v0を与える必要がある（初期条件）
力の単位

F=maにおいて、



MKS単位:1kgの物体に1m/s2の加速度を生じる力を１N（ニュート
ン）と呼ぶ。
CGS単位：1gの質点に1cm/s2の加速度を与えるような力を1ダイン
（10-5N）と呼ぶ。
MKS単位とCGS単位を混同すると間違った結果となる。


MKS単位：N、m、s、kg
CGS単位：dyne、cm、s、g
重力

重力：万有引力による地球の中心に向かう力



大きさ：F=mg、
重力加速度もしくは重力定数：g=9.81m/s2
力の重力単位：質量1kgの質点に働く重力の
大きさ（1kgw、1kg重）

1kgw＝9.80665N
落下運動（p.19）

質量mの質点が自由落下するときの運動

x軸の正の向きを鉛直下方にとり、時刻tにおける質
点の座標をxとする。
mx  mg
v  x  gt  A(Aは積分定数)

t=0における初速度v0を入力すると速度が求まる。
O
x
v  gt  v0

さらに時間で積分すると距離が求まる（t=0でx=0）
1 2
x  gt  v 0 t
2
x軸
速度と座標の関係（p.20）

落下運動の速度と座標からtを消去する。
1
t  v  v 0 
g

1 2
x  gt  v 0 t
2
時間に依存しない力学的なエネルギーの保存則に関連
する式が得られる。
2

1

1 1
x  g v  v 0   v 0  v  v 0 
2 g

g

1 2


v  v20 
2g
2gx  v 2  v 2 0
放物運動(p.21)

質点をv0の初速で投げ上げる。投げ上げる方向はx軸方
向で水平面と仰角θとする。運動方程式は
mx  0, my  mg, mz  0

z方向には運動しないので質点の運動はxy平面でおきる。
x  0, y  g

t=0での初期条件を使って、放物運動は以下のとおり
x  v 0 cos  , y  v 0 sin  , x  0, y  0
1
x  v 0 t cos  , y   gt 2  v 0 t sin 
2
抵抗があるときの落下運動（p.22）

質量mの質点が空気抵抗を受けて落下する運動

x軸の正の向きを鉛直下方にとり、時刻tにおける質点の
座標をxとする。  は比例定数。
mx  mg  m x
O

x をｖとおくと以下の運動方程式が求まる。
v   v  g

上式は1階の常微分方程式における線形非同次方程式
である。この式には以下の特徴がある。
（非同次方程式の一般解）＝（同次方程式の一般解） v  v  0
＋（非同次方程式の特別解）
v  v  g
v  v  g
x
x軸
同次・非同次？？

非同次項を持つ微分方程式・・・f(t)は非同次項
d2y
dy

p
 qy  f (t )
2
dt
dt
2階の線形微分方程式

非同次項
同次方程式はf(t)=0の時
d2y
dy

p
 qy  0
2
dt
dt
2階の線形微分方程式
d2y
dy

p
 qy  f (t ) となる
 このような微分方程式は dt 2
dt
2
d y
dy
特別解以外にも dt 2  p dt  qy  0 を満たす一般解も
解として持つ．
変数分離形の微分方程式

微分方程式に以下の関係を持つものがある．
dy f ( x)

dx g ( y )


すると，以下のように変形できる．
dy
 f (x)
dx
f ( x)dx  g ( y)dy
直接積分形という
両辺は積分できる．
y   f ( x)dx
 f ( x)dx   g ( y)dy

この場合は・・・
この解き方を変数分離法という
抵抗があるときの落下運動
•
速度をv1とv2に分ける。
v  v1  v2
•
次に速度v1とv2が以下の式を満足すると考える。
v1  v1  0, v2  v2  g
•
前式は変数分離法を用いて次のように変形する
O
x
1
1 dv1
v1 
 
v1
v1 dt
ln v1   t  A
v1  Ce  t
x軸
確認・・・

先ほどの微分方程式を確認する．
v1   v1  0
dv1


1
dt
v1

式を変形する．
1
dv1   dt
v1
1
 v1 dv1    dt
ln v1   t  A
v1  e A e  t
v1  Ce  t
抵抗があるときの落下運動
•
後式はv2を定数として求める。
v2 
•
g

v1とｖ2を足したものが速度vの一般解となる。
v  v1  v 2

•
g

 Ce t
O
x
任意定数Cを含む解を一般解という。
•
Ce t は0に収束するので最終的に速度vはg/γになる。
この速度を終速度という。
• 終速度の時、加速度は0
x軸

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