例題3

応用数学例題 3
情報工学科篠埜功
2016 年 4 月 25 日
問関数 sin x に区間 [0, π2 ] 上で最も近い 1 次関数を求めよ。近さの尺度としては、
y 座標の差の 2 乗の区間 [0, π2 ] における積分（の半分）を用いよ。
解答求める 1 次関数を f (x) = ax + b とおく。関数 f (x) と sin x の y 座標の差の
2 乗の区間 [0, π2 ] における積分の半分
1∫ 2
J =
{f (x) − sin x}2 dx
2 0
π
1∫ 2
{ax + b − sin x}2 dx
=
2 0
π
を最小にするような a, b を求めればよい。J を最小にするには、J の a, b での偏微
分が 0 になる点を求めればよい。つまり、
∂J
= 0,
∂a
∂J
=0
∂b
を解けばよい。まず、a での偏微分は、
∂J
∂ 1∫ 2
=
{ax + b − sin x}2 dx
∂a
∂a 2 0
π
1 ∂ ∫ 2
=
{ax + b − sin x}2 dx
2 ∂a 0
π
1∫ 2 ∂
{ax + b − sin x}2 dx
=
2 0 ∂a
π
1∫ 2
=
2{ax + b − sin x}xdx
2 0
π
∫
π
2
=
0
{ax2 + bx − x sin x}dx
∫
π
2
= a
∫
π
2
2
x dx + b
0
0
xdx −
∫
π
2
x sin xdx
0
である。ここでそれぞれの積分を計算すると、x2 については、
∫
0
π
2
[
x3
x2 dx =
3
1
]π
2
=
0
π3
24
であり、x については、
∫
π
2
0
∫
である。
π
2
0
[
x2
xdx =
2
]π
2
=
0
π2
8
x sin xdx については、
∫
π
2
[
cos x
x
−1
x sin xdx =
0
]π
2
0
−
∫
π
2
0
π
2
cos x
dx
−1
= [sin x]0
= 1
である。よって、
∂J
π3
π2
=
a+ b−1
∂a
24
8
となる。次に、b での偏微分は、
∂J
∂b
∂ 1∫ 2
{ax + b − sin x}2 dx
∂b 2 0
π
1 ∂ ∫ 2
{ax + b − sin x}2 dx
2 ∂b 0
π
1∫ 2 ∂
{ax + b − sin x}2 dx
2 0 ∂b
π
1∫ 2
2{ax + b − sin x}dx
2 0
π
=
=
=
=
∫
π
2
=
0
{ax + b − sin x}dx
∫
= a
π
2
∫
xdx + b
0
=
π
2
0
dx −
∫
π
2
sin xdx
0
π
π2
a+ b−1
8
2
である。これらを 0 とおくと、以下のような a, b に関する連立一次方程式が得ら
れる。
π3
π2
a+ b−1=0
24
8
π2
π
a+ b−1=0
8
2
となる。これを解くと、
a=
96 − 24π
,
π3
b=
2
8π − 24
π2
1.2
sin(x)
(96-24*pi)/pi**3*x+(8*pi-24)/pi**2
1
0.8
0.6
0.4
0.2
0
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
図 1: 区間 [0, π2 ] 上で関数 sin x に最も近い 1 次関数
となる。以上より、求める 1 次関数は
f (x) =
8π − 24
96 − 24π
x+
3
π
π2
である。これを関数 sin x とともに区間 [0, π2 ] において図示すると、図 1 のように
なる。図 1 において、緑色の直線が求めた 1 次関数であり、赤色の曲線が関数 sin x
である。
3

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