Berechnungsschema zur Bestimmung der (rationalen) Jordan-Normalform einer Matrix und der zugehörigen Transformationsmatrix Teil 1 Pr−1 Sei A ∈ HomK (V, V ) und mA = g f , wobei g = X r + i=0 ai X i ∈ K[X] irreduzibel ist. Seien k ∈ N mit k ≤ f und v ∈ Kern(g(A)k ) \ Kern(g(A)k−1 ). Dann ist B := (v, Av, . . . , Ar−1 v, g(A)v, Ag(A)v, . . . , Ar−1 g(A)v, . . . , g(A)k−1 v, Ag(A)k−1 v, . . . Ar−1 g(A)k−1 v) = (Ai g(A)j v | j = 0, 1, . . . , k − 1, i = 0, 1, . . . r − 1) eine geordnete Basis von U (v, A). Sei S ∈ M at(r, K) die Begleitmatrix von g und sei T = (tij ) ∈ M at(r, K) mit t1r = 1 und tij = 0 sonst. Dann gilt:   S 0 0 T S      T S  ∈ M at(r · k, K). B (A|U (v,A) )B =    . . . .   . . T 0 S Teil 2 Sei A ∈ M at(n, K) und V = K n . Qk (a) Man bestimme fA und seine irreduzible Zerlegung, also fA = i=1 giei . Dabei ist ei ∈ N und gi ∈ K[X] irreduzibel und normiert mit ggT (gi , gj ) = 1 für i 6= j. (r) (b) Nun bestimme für jedes i ∈ {1, 2, . . . , k} und r ∈ N jeweils eine Basis von Vi := Kern(gi (A)r . Man stoppt diese Berechnungen, sobald man ein fi gefunden hat, mit (f ) (f +1) (f ) Vi i = Vi i . Setze dann Vi := Vi i und nenne dies die Primärkomponente von A bzgl. gi . Ferner nenne fi die Fittinghöhe von A bzgl. gi . Qk (c) Es gilt nun mA = i=1 gifi . (fi ) (d) Für jedes i ∈ {1, 2, . . . , k} wähle nun ein v1 ∈ Vi Basis B1 von U (v1 , A) wie in Teil 1 . (f ) (fi −1) \ Vi und bestimme eine (f −1) (e) Wähle nun ein v2 ∈ Vi i \ (Vi i + U (v1 , A)) und bestimme eine Basis B2 von (f ) U (v2 , A) wie in Teil 1. Setze dieses Vorgehen fort und wähle ein vm ∈ Vi i \ P (f −1) m−1 (Vi i + j=1 U (vj , A)) und bestimme eine Basis Bm von U (vm , A) wie in Teil 1. Pl (f −1) (f ) (f) Tritt nun für ein l ∈ N ein, dass Vi i ⊆ ( j=1 U (vj , A) + Vi i , so wählt man Pl (f −1) (f −2) ein vl+1 ∈ Vi i \ (Vi i + j=1 U (vj , A)) und bestimmt eine Basis Bl+1 von U (vl+1 , A) wie in Teil 1. Dieses Verfahren führt man nun solange durch, S bis man t Basen B1 , . . . Bt von U (v1 , A), . . . , U (vt , A) gefunden hat, sodass B i := j=1 Bj eine Basis von Vi ist. (g) Füge nun alle Basen B i für i ∈ {1, 2, . . . , k} zu einer geordneten Basis B von V zusammen. Sei dann C ∈ M at(n, K) die Matrix, deren Spalten die Vektoren aus B in der entsprechenden Reihenfolge sind. Dann gilt C −1 AC = RJN F (A). 1