Analysis-Aufgaben: Quadratische Funktionen 4 1. Bestimme k so

Analysis-Aufgaben: Quadratische Funktionen 4
1. Bestimme k so, dass die folgenden Funktionen
f (x) = 3x2 + kx + 27
und
g(x) = 6x2 − 5kx − k 2
keine, genau eine oder zwei Nullstellen haben.
2. Gegeben ist die folgende Funktion
f (x) = 5x2 + 25x − 70
(a) Beweise, dass x̃ = 2 eine Nullstelle ist.
(b) Beweise, dass x̂ = −2 keine Nullstelle ist.
(c) Bestimme die zweite Nullstelle.
(d) Bestimme die dritte Nullstelle.
3. Bestimme die Gleichung einer quadratischen Funktion in der Form
f (x) = ax2 + bx + c
so, dass . . .
(a) die Funktion die Nullstellen x1 = 2 und x2 = 1 hat.
(b) die Funktion die Nullstellen x1,2 = ±3 hat.
(c) die Funktion die doppelte Nullstelle x1 = x2 = −5 hat.
(d) die Funktion die Nullstellen x1 = 0, x2 = 3 und x3 = 6 hat.
4. Gegeben ist die folgende Gleichung:
ax2 + bx + c = 0
√
−b + b2 − 4ac
(a) Beweise, dass x1 =
eine Lösung der Gleichung ist.
2a
(b) Bestimme die zweite Lösung x2 und beweise, dass sie auch wirklich
eine Lösung ist.
5. Zeige, dass folgende Gleichung richtig ist:
2
a(x − x1 )(x − x2 ) = ax + bx + c mit x1,2 =
1
−b ±
√
b2 − 4ac
2a
6. Der Satz von Vieta
behauptet die folgenden Beziehungen zwischen den Lösungen einer quadratischen Gleichung:
Seien x1 und x2 die Lösungen einer quadratischen Gleichung
der Form
ax2 + bx + c = 0
dann bestehen die folgenden zwei Zusammenhänge:
b
i. x1 + x2 = −
a
c
ii. x1 · x2 = ,
a
(a) Beweise den Satz von Vieta.
(b) Gegeben ist x2 + 4x + u = 0 mit x1 = 7
Bestimme den Parameter u und die zweite Lösung x2 .
(c) Gegeben ist f (x) = wx2 + x + 1
Bestimme den Parameter w so, dass die eine Nullstelle doppelt so
gross wie die andere ist.
(Weitere Aufgaben hierzu: Nr. 116 - 123
aus den Aufgaben zum Thema Quadratische Gleichungen)
7. Wir betrachten die folgende Funktion:
f (x) = −2x2 + 3x + 6
(a) Bestimme die Stellen x1 und x2 an welchen die Funktion f den Wert
4,5 hat.
(b) Zeige, dass die Funktion f nie den Wert 12 annehmen kann.
2

Download Report