3.8 Begleitendes Dreibein Wir wollen längs der Kurve in jedem Punkt sinnvoll eine Basis anheften. 3.8.1 W-Punkte Geg.: regul. C 2-Kurve c : ~ x(s), s ∈ I ~ x(s) heißt W-Punkt von c :⇔ ~ x 00(s) = ~ o. 3.8.2 Begleitendes Dreibein ~t, ~ n, ~b Vor.: c regul. C 2-Kurve, W-Punkt-frei. ~t(s) := ~ x 0(s) . . . der Tangenten(einheits)vektor ~ x 00 (s) ~ n(s) := |~x 00(s)| . . . der Hauptnormalenvektor ~b(s) := ~t(s) × ~ n(s) . . . Binormalenvektor jeweils von c an der Stelle s (~t(s), ~ n(s), ~b(s)) ist eine Rechts-ONB und heißt das begleitende Dreibein (kurz: 3-Bein) oder Frenet-3-Bein von c an der Stelle s. ~ y=~ x(s) + v · ~t(s), v ∈ R . . . Tangente ~ y=~ x(s)+v·~ n(s), v ∈ R . . . Hauptnormale ~ y=~ x(s) + v · ~b(s), v ∈ R . . . Binormale ~ y=~ x(s) + v · ~t(s) + w · ~ n(s), v, w ∈ R . . . Schmiegebene ~ y=~ x(s) + v · ~ n(s) + w · ~b(s), v, w ∈ R . . . Normal(en)ebene ~ y=~ x(s) + v · ~t(s) + w · ~b(s), v, w ∈ R . . . rektifizierende Ebene jeweils von c an der Stelle s. 3.8.3 HESSE-Form der Schmiegebene σ von c an der Stelle s: σ : ± ~b(s) · (~ y−~ x(s)) = 0 Gleichung in ~ y. Das Zeichen + steht, falls ~b(s) · ~ x(s) ≥ 0. 3.8.4 Berechnung von ~t, ~ n, ~b bei allgemeinem Parameter t 2t dt dt d ¨( )2 + ~ ~ x 00 = (~ x˙ · )0 = ~ x x˙ 2 ⇒ ds ds ds dt dt 2 d2 t 0 00 ¨( ) + ~ ~ x ×~ x =~ x˙ × (~ x x˙ 2 ) = ds ds ds ¨·( =~ x˙ × ~ x dt 3 ) ⇒ ds 0×~ 00 ~ x x ~b = ~t × ~ n= = 00 |~ x | ¨ ~ x˙ × ~ x ~ x0 ×~ x 00 = = 0 00 ¨| |~ x ×~ x | |~ x˙ × ~ x Ergebnis: ~t = ¨ ~ x˙ ~ x˙ × ~ x ~ , b= , ~ n = ~b × ~t ¨| |~ x˙ | |~ x˙ × ~ x 3.8.5 Bsp: Schraublinie r · cos t c:~ x(t) = r · sin t , p·t −r · sin t ~ x˙ (t) = r · cos t , p −r · cos t ¨(t) = ~ x −r · sin t 0 rp · sin t ¨= ~ x˙ × ~ x −rp · cos t ⇒ r2 p · sin t ~b = −p · cos t · q 1 r 2 + p2 r −r · sin t 1 ~t = q · r · cos t r 2 + p2 p 2 2 (−p − r ) · cos t ~ n = ~b×~t = (−r2 − p2) · sin t · 0 − cos t 1 = 2 2 r +p = − sin t 0 3.9 Ableitungsgleichungen von FRENET Vor.: c : ~ x(s), s ∈ I, eine reguläre C 3Kurve, W-Punkt-frei. Da (~t, ~ n, ~b) eine Basis des R3, gibt es a11(s), a12(s), . . . , a33(s), mit: ~t 0 = a11~t + a12~ n + a13~b ~ n 0 = a21~t + a22~ n + a23~b ~b 0 = a31~t + a32~ n + a33~b Aus ~t2 = 1 folgt ~t~t 0 = 0, also a11 = 0. Aus ~ n2 = 1 folgt ~ n~ n 0 = 0, also a22 = 0. Aus ~b2 = 1 folgt ~b~b 0 = 0, also a33 = 0. Aus ~t~ n = 0 folgt ~t 0~ n + ~t~ n 0 = 0, also a21 = 0. Aus ~t~b = 0 folgt ~t 0~b + ~t~b 0 = 0, also a31 = 0. Aus ~ n~b = 0 folgt ~ n 0~b + ~ n~b 0 = 0, also a32 = 0. a12 + a13 + a23 + 3.9.1 Bem.: Die Matrix der aik ist schiefsymmetrisch, weil (~t, ~ n, ~b) eine ONB ist. Weil ~t = ~ x 0, ist ~t 0 = ~ x 00 =: κ~ n mit κ = |~ x 00| (siehe ”Auf ihre Bogenlänge bezogene Kurven”). 3.9.2 Die Ableitungsgleichungen von Frenet ~t 0 = ~ n 0 = −κ~t ~b 0 = κ~ n + τ~b − τ~ n 3.9.3 Die ”Krümmungen” einer Raumkurve κ . . . Krümmung von c τ . . . Torsion oder Windung von c 1 =: ρ . . . Krümmungsradius von c κ 1 . . . Torsionsradius von c τ 3.9.3 Berechnung von τ : 00 ~ n = p ~x 00 2 ⇒ (~ x ) q ~ n0 = 00 000 (~ x 00)2 · ~ x 000 − 2~x√ ~x002 · ~ x 00 2 ~ x ~ x 002 ~b = ~x 00×~x 0000 |~ x ×~ x | √ ~ x 002 · ~ x 000 · (~ x0 ×~ x 00) 0 ~ τ =~ n ·b= ~ x 002|~ x0 ×~ x 00| Da |~ x0 × ~ x 00| = |~ x 00| erhält man mit dem Spatprodukt: det(~ x 0, ~ x 00, ~ x 000) τ = ~ x 002 3.9.4 Satz: Für das begleitende Dreibein (~t, ~ n, ~b) einer regulären W-Punktfreien auf ihre Bogenlänge s bezogenen C 3-Raumkurve c : ~ x(s), s ∈ I, gelten die Ableitungsgleichungen von Frenet aus 3.9.2 mit det(~ x 0, ~ x 00, ~ x 000) 00 κ = |~ x | und τ = . 002 ~ x 3.9.5 Berechnung von κ, τ bei allgemeinem Parameter t det(~ x 0, ~ x 00, ~ x 000) 00 κ(s) = |~ x (s)|, τ = ~ x 002 dt 1 ~ x˙ 0 ˙ ˙ ~ x =~ x· =~ x· = ds ṡ |~ x˙ | 1 2 1 0 00 ¨ ˙ ~ x =~ x·( ) +~ x·( ) ṡ ṡ ... 1 1 1 1 1 1 ¨·(2( )( )0+( )( )0)+~ ~ x 000 = ~ x ·( )3+~ x x˙ ( )00 ṡ ṡ ṡ ṡ ṡ ṡ κ = |~ x 00| = 1·|~ x 00|·1 = |~ x 0|·|~ x 00|·sin ∠(~ x 0, ~ x 00) = ¨ ~ x˙ ~ x 0 00 = |~ x ×~ x |=| × ( 2 + . . .)| = ˙ |~ x| |~ x˙ | ¨| |~ x˙ × ~ x = |~ x˙ |3 Merkregel: Anzahl der Punkte in Zähler und Nenner! ... ˙ ¨ det( ~x˙ , ˙~x2 + . . . , ˙~x3 + . . .) |~ x| |~ x| |~ x| = τ = ˙ ¨2 |~ x×~ x| |~ x˙ |3·2 ... ˙ ¨ det(~ x, ~ x, ~ x) = ¨)2 (~ x˙ × ~ x 3.9.6 Satz: Ist c : ~ x(t), t ∈ I, eine reguläre W-Punkt-freie C 3-Raumkurve, so ist ... ˙ ¨ ˙ ¨ |~ x×~ x| det(~ x, ~ x, ~ x) κ(t) = , τ (t) = ¨)2 |~ x˙ |3 (~ x˙ × ~ x 3.9.7 Bsp.: Schraublinie r · cos t c:~ x(t) = r · sin t , p·t −r · sin t t ∈ R, −r · cos t ¨ ~ x˙ (t) = r · cos t , ~ x(t) = −r · sin t , p 0 r · sin t ... ~ x = −r · cos t 0 rp · sin t ¨= ~ x˙ × ~ x −rp · cos t r2 ~ x˙ 2 = r2 + p2; ¨)2 = r2 · (p2 + r2) (~ x˙ × ~ x q ¨| r p2 + r 2 |~ x˙ × ~ x r q κ(t) = = = r 2 + p2 |~ x˙ |3 ( r 2 + p 2 )3 ... ˙ ¨ det(~ x, ~ x, ~ x ) = p·det −r cos t r sin t −r sin t −r cos t ! = pr2 pr2 p τ (t) = 2 2 = 2 r (p + r2) r + p2 3.10 Geometrische Eigenschaften von Raumkurven 3.10.1 Geometrische Krümmung Deutung der Seien ~ x 0(s), ~ x 0(s + h) Tangenteneinheitsvektoren einer Kurve an ”benachbarten Stellen” s und s + h. ω(h) := ∠(~ x 0(s), ~ x 0(s + h)) lim ω(h) = 0 = lim h h→0 h→0 ~ x 0(s) × (~ x 0(s + h) − ~ x 0(s)) sin ω(h) =| | h h sin ω(h) =| ~ x 0(s) × ~ x 00(s) | = κ(s) lim h→0 h Nach de L’Hôpital ist also sin ω(h) cos ω(h) · ω 0(h) κ(s) = lim = lim = ω 0(0) h→0 h→0 h 1 Außerdem gilt: sin ω(h) sin ω(h) ω(h) κ(s) = lim = lim · h→0 h→0 ω(h) h h ω(h) = 1 · lim h→0 h Exakt: Die Krümmung κ(s) ist der limh→0 des Verhältnisses von ∠(~t(s), ~t(s+h)) zu h. Ungefähr: Die Krümmung κ ist ein Maß für die Abweichung der Kurve vom geradlinigen Verlauf. 3.10.2 Geometrische Deutung des Betrags der Torsion σ(s) . . . Schmiegebene von c an der Stelle s Analog zum Vorgehen bei der Krümmung zeigt man: Exakt: Bis auf Vorzeichen ist die Torsion τ (s) der limh→0 des Verhältnisses von ∠(σ(s), σ(s + h)) zu h. Ungefähr: Die Torsion τ ist ein Maß für die Abweichung der Kurve vom ebenen Verlauf. 3.10.3 Schmiegebene als Grenzlage c : ~ x(s), s ∈ I, eine W-Punkt-freie C 2Kurve: Skizze Liegen ~ x(s), ~ x(s + h), ~ x(s + k) nicht auf einer Geraden, so bestimmen sie eindeutig eine Ebene ε(s, h, k), für die gilt: limh,k→0 ε(s, h, k) = σ(s) = Schmiegebene von c an der Stelle s. (ohne Beweis) Sprechweise: c berührt an der Stelle s die Schmiegebene σ(s) dreipunktig oder von zweiter Ordnung. 3.10.4 Der Krümmungskreis c:~ x(s), s ∈ I, eine reguläre C 2-Kurve: Liegen ~ x(s), ~ x(s + h), ~ x(s + l) nicht auf einer Geraden, so bestimmen sie eindeutig einen Kreis k(s, h, l), für den gilt: limh,l→0 k(s, h, l), der Krümmungskreis von c an der Stelle s, existiert, wenn κ(s) 6= 0. Sein Mittelpunkt ist 1 ·~ n(s), κ(s) der Krümmungsmittelpunkt von c an der Stelle s. m(s) ~ := ~ x(s) + Sprechweise: c berührt an der Stelle s den Krümmungskreis dreipunktig oder von zweiter Ordnung. Vor.: c zusätzlich W-Punkt-frei. Die Kurve der Krümmungsmittelpunkte von c mit der PD m(s), ~ s ∈ I, heißt die Evolute von c. 3.11 Hauptsatz der Kurventheorie Vor.: I ein Intervall, κ : I → R eine C 1Funktion mit κ(s) > 0 ∀ s ∈ I, τ : I → R stetig. Beh.: Es gibt eine C 3-Kurve c : ~ x(s), s ∈ I, mit der Bogenlänge s, der Krümmung κ und der Torsion τ . Die Kurve ist eindeutig bestimmt bis auf gleichsinnige Bewegungen. Bew.: ohne; Skizze: Bei geg. κ und τ sind die FrenetGleichungen ein System von neun linearen Differentialgleichungen (Dgln) für die Koordinaten von ~t, ~ n, ~b. Nach einem Satz aus der Theorie der Dgln ist das System bei geg. Anfangswerten (AWen) eindeutig lösbar. Man muss dann noch zeigen: (1) Wählt man als AWe für ~t, ~ n, ~b eine ONB, so bilden ~t, ~ n, ~b auf ganz I eine ONB. R (2) Für c : ~ x(t) := ut0 ~t(u) du ist (~t, ~ n, ~b) ein begleitendes 3-Bein 3.12 Kurven mit Krümmung und Torsion konstanter Hauptsatzes der Kurventheorie und Berechnung von Krümmung und Torsion der Schraublinie ⇒ Jede Kurve mit konstanter Krümmung κ > 0 und konstanter Torsion τ ∈ R ist eine Schraublinie. Was ist noch zu zeigen? Wir wissen: Für die Schraublinie gilt: p r , τ = 2 κ= 2 r + p2 r + p2 (r > 0 Schraubradius, p ∈ R Schraubparameter) ⇒ pr = κτ ⇒ κ= 1 r 1 1 · ⇒ r = p 2 p 2 = 1 + (r ) κ 1 + (r ) = 1 κ 1 · = κ 1 + ( κτ )2 κ2 + τ 2 τ p= 2 κ + τ2 Damit ist zu geg. κ und τ die Schraublinie bestimmt. p = 0 . . . Kreis mit Radius 1 κ 3.13 Ebene Kurven 3.13.1 Raumkurven in einer Ebene Eine W-Punkt-freie C 3-Kurve c:~ x(t) (t ∈ I) in E3 ist in einer Ebene enthalten ⇔ τ = 0 ∀t ∈ I. Beweis: (⇒) Sei c in einer Ebene ε enthalten. ... ˙ ¨ Dann sind ~ x k ε , also linear x, ~ x und ~ abhängig. ... ˙ ¨ Daher ist det(~ x, ~ x, ~ x) = 0 und damit τ = 0. (⇐) Sei τ = 0. c besitzt ein begleitendes Dreibein (~t, ~ n, ~b) mit ~b 0 = −τ~ n=~ o, ⇒ ~b konstant. Die Schmiegebene σ(s) hat die Ebenengleichung ~b(s) · ~ y − ~b(s) · ~ x(s) = 0. (Gleichung in ~ y) ~b(s) ein Normaleneinheitsvektor und ~b(s)·~ x(s) ein vorzeichenbehafteter Abstand von σ(s) vom Ursprung. Noch zu zeigen: ~b · ~ x(s) konstant. d~ b·~ x(s) = ~ o·~ x(s) + ~b · ~t = 0. ds Daher ist σ(s) =: σ konstant und c eine Kurve, die in einer Ebene liegt, nämlich in der konstanten Schmiegebene σ. 3.13.2 Ebene Kurven als ebene Kurven c eine Kurve in einer Ebene ohne umgebenden Raum: Man kann • die Ebene orientieren durch Auszeichnung einer Rechts-Basis und • die Kurve beschreiben durch eine PD mit zwei Koordinatenfunktionen. Wir werden für ebene Kurven eine vorzeichenbehaftete Krümmung definieren. 3.13.3 Parameterdarstellung Kurven ebener Sei c : ~ x(t) (t ∈ I) eine reguläre C 1-PD einer ebenen Kurve. Dann ist x(t) y(t) ~ x(t) = ! . Ein Tangentenvektor von c an der Stelle t ist gegeben durch ẋ(t) ẏ(t) ~ x˙ (t) = ! , der Tangenteneinheitsvektor von c an der Stelle t ist gegeben durch ~ x˙ (t) ~t := = ˙ |~ x(t)| ẋ(t) ẏ(t) ! ·q 1 ẋ2(t) + ẏ 2(t) , der Hauptnormalenvektor von c an der Stelle t ist gegeben durch ~ n(t) := −ẏ(t) ẋ(t) ! 1 ·q . ẋ2(t) + ẏ 2(t) Die Vektoren (~t, ~ n) bilden eine RechtsONB, das begleitende Zweibein von c. 3.13.4 Die Frenetschen Ableitungsgleichungen für ebene Kurven Sei c : ~ x(s) (s ∈ I) eine reguläre C 2-PD einer ebenen Kurve. Dann ist ~ x(s) = x(s) y(s) ! . Tangenteneinheitsvektor von c an der Stelle s: ~t(s) = ~ x 0(s) = x 0(s) y 0(s) ! , Hauptnormalenvektor von c an der Stelle s: ~ n(s) := −y 0(s) x 0(s) ! . Da ~ x 02 = 1 auf I, ist ~ x 0~ x 00 = 0 auf I, also ~ x 00 = ~t 0 =: κ~ n. Dabei heißt κ(s) die Krümmung von c an der Stelle s. In Koordinaten: x 00 = −κy 0, y 00 = κx 0. Frenet-Gleichungen für ebene Kurve: ~t 0 = κ~ n, ~ n 0 = −κ~t. 3.13.5 Vorzeichen der Krümmung einer ebenen Kurve Sei c : ~ x(s) (s ∈ I) eine reguläre C 2-PD einer ebenen Kurve. Dann ist κ = κ det(~t, ~ n) = det(~ x 0, ~ x 00), also κ(s) = det(~ x 0(s), ~ x 00(s)). Die Krümmung κ(s) ( einer ) regulären ebe>0 nen C 2-Kurve ist ⇔ Die Vekto<0 ( ) Rechtsbasis ren (~ x 0, ~ x 00) bilden eine ⇔ Linksbasis Die Kurve c ist) an der Stelle s ( linksgekrümmt . rechtsgekrümmt Skizze 3.13.6 Die Krümmung einer ebenen Kurve bei allgemeinem Parameter Sei c : ~ x(t) (t ∈ I) eine reguläre C 2-PD einer ebenen Kurve. Dann ist ¨) det(~ x˙ , ~ x κ(t) = . |~ x˙ |3 Beweis: ¨) det(~ x 0 · ṡ, ~ x 00ṡ2 + ~ x 0s̈) det(~ x˙ , ~ x 0, ~ 00 ). = = det(~ x x ṡ3 |~ x˙ |3 3.13.7 Der Hauptsatz der Kurventheorie für ebene Kurven ( ) I→R s 7→ κ(s) stetig. Dann gibt es bis auf gleichsinnige Bewegungen genau eine Kurve in der Ebene mit der Krümmung κ(s) an jeder Stelle s ∈ I. Seien I ein Intervall und κ : Beweis: Sei α(s) der Winkel, den ~ x 0(s) mit der positiven x-Achse einschließt. Dann ist ~ x 0(s) = cos α(s) sin α(s) ! und ~ x 00 = − sin α(s) cos α(s) ! · α0(s). Folglich ist α0(s) = κ(s), also α(s) = Z s s0 κ(σ)dσ + α0. Damit ist ~ x(s) = Z s s0 ! Rσ cos( s0 κ(τ )dτ + α0) Rσ dσ + ~ x0 sin( s0 κ(τ )dτ + α0) mit Integrationskonstanten α0, ~ x0. Achtung: Die Bezeichnungen σ und τ haben nichts zu tun mit Schmiegebene oder Torsion. Zu integrieren ist über s, aber s ist die obere Grenze des Integrals. Daher die Bezeichnung der Integrationsvariablen mit dem entsprechenden griechischen Buchstaben σ. Der nächste Buchstabe im griechischen Alphabet ist τ . 3.13.8 Bem.: Aus einer vorgegebenen stetigen Krümmung lässt sich eine ebene Kurve bis auf ihre Lage eindeutig explizit berechnen (bis auf sogenannte Quadraturen = Integrationen).
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